《函数模型的应用实例》
一、教学内容分析：
本节课选自人民教育出版社 A 版的普通高中课程标准实验教科书· 数学必修 1 中
3．2．2 函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，
函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函
数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质
和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有
给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一
些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的
函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解
决问题．
例 5 所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数
学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建
立数学模型的方法．
例 6 与例 5 有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理
解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确
这一点．
整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应
用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题
的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团
队合作能力．
二、教学目标：
知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图．
2．会利用选择或建立的函数模型．
3．会运用函数模型解决实际问题．
过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模
型的合理性．
2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模
型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析
式，并应用模型解决实际问题．
情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服
务生活，体会数学的应用价值．
2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思
维和求真务实的科学态度．
3．提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态
度．
三、学生学情分析：
1． 已掌握了一些基本初等函数的相关知识，有相应的数学基础知识储备．
2． 在前面的学习中，初步体会了利用给定函数模型解决实际问题的经历，为本节课积累解
决问题的经验．
3． 学生从文字语言向图像语言和符号语言转化较弱；应用意识和应用能力不强；抽象概括
和局部处理能力薄弱．四、教学重点、难点
重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算
或计算机数据建立具体的函数解析式．
难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．
五、教学策略分析：
基于新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组
织者和合作者的教学理念和最近发展区理论，结合本节课的教学目标，采用如下教学方法：
1．问题教学法．
在例 1 的教学中，提出如何能更为直观的发现函数模型，引导学生思考，发现选择函数
模型的重要方法，即散点图图像，从而让学生有收获，有成就感．在例 2 的解决过程中，提
出一系列的问题串，学会对问题的剖析，直达问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引
导下的“再创造”过程，并使学生从中体会学习的兴趣．这样可以充分调动学生学习的主动
性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力．
2．分组讨论法．
在例 2 的教学中，遇到难以选择模型时，通过小组讨论，拓展思维，加强合作，解决问
题；在获得函数模型后和课堂总结中，组织小组讨论，相互交流成果，扩大成果影响力．这
样不仅能够培养学生对数学知识的探索精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，
培养其学习的主动性．
3．多媒体辅助教学法：
在教学过程中，采用多媒体教学工具，通过动态演示有利于引起学生的学习兴趣，激发学
生的学习热情，增大信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。通
过实物展台，增进交流，增加思维碰撞，优化学生思维，强化学生成就感和认同感，激发学
生学习兴趣．
六、教学过程：
问 题 设 计 意 图 师 生 活 动
上节课我们已经学习了应用已知函数模型解决实
际 问 题 ， 主 要 的 函 数 模 型 有 ，
， ， ．但在实际
解决问题中，我们常常碰到没有函数模型或不能建立确
切的函数模型，那我们又改如何选择和确定函数模型，
如何解决实际问题呢？
从温故的
角 度 自 然 地 复
习 已 经 学 习 的
函数模型内容，
进 入 学 习 函 数
模 型 实 际 应 用
的情景，以及为
本 节 课 中 选 择
函 数 模 型 作 好
铺垫．同时提出
没 有 函 数 模 型
或 不 能 建 立 确
切 的 函 数 模 型
的 实 际 问 题 如
何解决，明确本
节课的任务，以
及 点 出 本 节 课
师生共同回
顾已经学习的函
数模型，罗列已
经涉及过的函数
模型，为下面的
函数模型选择作
好铺垫．提出如
何解决没有函数
模型或确切的函
数模型的实际问
题．
y kx b= +
2y ax bx c= + + logay x= 0
rxy y e=的课题．
引入：日前，国际流行的体重指数法（BMI），即体
重（千克）与身高（米）平方的比值，结果大于 23 即
为超重，大于 25 即为肥胖，介于 18.5 至 22.9 之间属
于正常．
介绍体重指
数法，一则让学
生 熟 悉 问 题 背
景，为下面的问
题 铺 设 一 条 主
线，即体重与身
高；二则从学生
自 身 的 数 据 调
动 学 生 的 参 与
程 度 及 学 习 积
极性；三则依据
学 生 计 算 的 数
据 进 行 人 文 关
怀，拉近师生关
系，为下面良好
地 开 展 教 学 奠
定感情基础．
从生活出发，介
绍国际体重指数
法的计算方式，
熟悉问题背景，
同时学生计算自
己的体重指数法，
并个别分享数据，
进行点评和关怀．
思考计算体重指数法的身高数据是什么时候测量？
是否有长高的的可能性？身体上是否有其它数据能反
应身高？
提 出 对 计
算 数 据 时 效 性
的怀疑，激发学
生的思考；同时
沿 用 已 有 的 问
题背景，为引入
正 题 进 行 铺
垫．
教师利用学
生的体重指数，
提出对计算数据
的怀疑，引发学
生积极思考．
例 1 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的
距离称为指距．下表是测得指距与身高的一组数据：
指距/cm 20 21 22 23
身高/cm 160 169 178 187
(1) 观察表格数据思考指距与身高之间有何关系？
利 用 问 题
串 引 导 学 生 分
析 问 题 所 提 供
的数据特点，由
数 据 特 点 抽 象
出函数模型，培
养 学 生 建 模 能
力，从而提高解
决 问 题 的 能
力．学生独立思
考 与 学 生 小 组
合作，即锻炼学
生的思考能力，
又 加 强 学 生 的
小组合作，学会
团结合作，为下
一 种 选 择 函 数
模 型 作 好 必 要
教师提出问
题：①思考指距
与身高之间有什
么关系？学生思
考 后 单 独 回 答
（可能不准确）；
进一步补充提问：
指距和身高分别
是怎么变化的？
学 生 独 立 回
答．②指距和身
高是怎样的变化
关系？你能联想
到什么知识？学
生小组讨论后回
答．③你是如何
得到得到一次函
数模型？你认为知 识 和 能 力 铺
垫．利用图像发
现函数模型，渗
透 数 形 结 合 思
想，同时加深对
函数的表格、解
析式、图像的三
种表示形式．
所得一次函数模
型符合实际吗？
学生小组交流、
讨论后回答．④
有么有更加直观
的方法发现一次
函数模型，学生
独立思考与交流
相 结 合 后 回
答．教师板书解
题的过程．
回答(2)某人身高为 196cm，一般情况下他的指距
应该是多少？书写完整的解答过程．
计 算 问 题
(2)，让学生应
用 数 学 建 模 后
的成果，感受数
学 源 自 生 活 有
服务生活，体会
数 学 的 应 用 价
值，同时为最后
总 结 应 用 函 数
模 型 解 决 实 际
问 题 基 本 过 程
的 用 模 提 供 了
素材，有利学生
总 结 出 基 本 过
程．书写解答过
程，并投影展示，
规范学生答题，
养 成 良 好 的 学
习习惯．
教师提出问
题(2)，学生独立
思考与计算，教
师点名回答问题，
教师与学生共同
总结感受，数学
来自生活，又服
务于生活，体会
数 学 的 应 用 价
值．教师提出完
整的书写解答过
程，并投影展示，
肯定好的方面，
同时提出解答规
范性，为高中数
学的规范解答提
供模板，养成良
好的学习习惯．
例 2 以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均
值表：
身
高
/cm
60 70 80 90 100 110
体
重
/kg
6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身
高
/cm
120 130 140 150 160 170
体
重
/kg
20.92 26.86 31.33 38.85 47.25 55.05
与 书 上 例
6 相比，此处删
去第(1)小题，
为 了 让 问 题 更
加 贴 近 生 活 实
际情况，经历一
个 较 为 完 整 的
建 立 函 数 模 型
解 决 问 题 的 过
程，培养学生对
实 际 问 题 的 思
维方式，优化学
生 解 决 问 题 的
思维方式，提高
教师展示例
2，请同学思考后
提出①要判断该
名未成年男性体
重是否正常需知
道什么数据？②
如何预测该地区
身高为 175 cm 未
成年男性的体重
平均值？③观察
表中身高和体重
数据的变化，回
顾例 1 的解决实
际问题的郭晨个，根据表格数据，若体重超过相同身高男性体重的
1.2 倍为偏胖，低于 0.8 倍为偏瘦，那么这个地区一名
身高为 175 cm 体重为 78 kg 的未成年的男性的体重是否
正常？
学 生 解 决 实 际
问题的能力．利
用 选 择 函 数 模
型 的 类 型 和 待
定 系 数 确 定 函
数中系数，反复
地 让 学 生 思 考
和交流，亲身体
验 建 模 的 过 程
的难点，突破知
识难点，加深理
解，从而培养学
生 探 索 精 神 和
钻研品质．利用
动 态 数 学 软 件
展示，加深数形
结合思想理解，
促 进 对 数 学 问
题 解 决 与 优 化
的探索．小组合
作 与 成 果 交 流
促进优化思维，
培 养 团 队 合 作
能力．
你认为是什么类
型的函数模型？
（学生画图，教
师应用软件展示
图像）④你能和
小组的其他同学
交流一下你的模
型并说明其合理
性吗？（学生探
索验证方法）⑤
你对目前建立的
函 数 模 型 满 意
吗？是否有更好
的 函 数 模 型 ？
（学生不断完善
和 改 进 函 数 模
型）．师生共同得
出问题的答案．
应用函数模型解决实际问题基本过程 回 顾 解 题
过程，系统总结
一 个 较 为 完 整
的 建 立 函 数 模
型 解 决 问 题 的
过程，学生理解
从 解 题 过 程 上
升为解题策略，
培 养 学 生 的 反
思 和 总 结 能
力．
师生共同回
顾例 1，例 2 的
解答过程，分析
它们的共性，总
结应用函数模型
解决实际问题基
本过程．教师进
一步提炼基本过
程为选模、解模、
验模、用模等四
步骤．
练习 某地区今年 1 月，2 月，3 月患某种传染病的人数
分别为 52，61，68．为了预测以后各月的患病人数，
甲 选 择 了 模 型 ， 乙 选 择 了 模 型
，（其中 是患病人数， 为月份数，
都是常数) ．结果 4 月，5 月，6 月份的
通过练习，
学以致用，加深
对 应 用 函 数 模
型 解 决 实 际 问
题 基 本 过 程 的
理解，让学生感
受更加深刻，并
从 中 体 会 数 学
教师展示练
习，学生独立思
考，并给出确定
模型和验证模型
的思路，教师进
行点评．
2y ax bx c= + +
xy pq r= + y x
, , , , ,a b c p q r
选 模
解 模
验 模
用 模
收集数据
画散点图
选择函数模型
求函数模型
检验
用函数模型解实际问题
符合实际
不
符
合
实
际患病人数分别为 74，78，83，你认为谁选择的模型较
好？
的实用性．
小结：你能和大家分享今天的收获吗？ 让 学 生 学
会反思与总结，
回顾知识、思维、
能 力 和 情 感 上
的收获，及时巩
固与提炼；学会
与 同 伴 分 享 成
果，提高学习的
成就感，激发学
习兴趣．
教师提问：
今天这堂课收获
了什么？给你印
象最深刻的是什
么？通过个别提
问和小组交流后
提问相结合．
作业：1. 收集生活中数据进行函数建模并尝试拟合
2、课本：P107A 组 1，2, B 组 1
常 规 练 习
进 行 巩 固 所 学
知识与思维；解
决 生 活 实 例 培
养 学 生 动 手 能
力、分析能力和
解 决 问 题 的 能
力．
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