§1．3．1 函数的最大（小）值
一．教学目标
1．知识与技能：
理解函数的最大（小）值及其几何意义．
学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．过程与方法：
通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借
助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．
3．情态与价值
利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极
性．
二．教学重点和难点
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
三．学法与教学用具
1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．
2．教学用具：多媒体手段
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题．
画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
① ②
③ ④
（二）研探新知
1．函数最大（小）值定义
最大值：一般地，设函数 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
（1）对于任意的 ，都有 ；
（2）存在 ，使得 ．
那么，称 M 是函数 的最大值．
思考：依照函数最大值的定义，结出函数 的最小值的定义．
注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 ，使得 ；
② 函 数 最 大 （ 小 ） 应 该 是 所 有 函 数 值 中 最 大 （ 小 ） 的 ， 即 对 于 任 意 的 ， 都 有
( ) 3f x x= − + ( ) 3 [ 1,2]f x x x= − + ∈ −
2( ) 2 1f x x x= + + 2( ) 2 1 [ 2,2]f x x x x= + + ∈ −
( )y f x=
x I∈ ( )f x M≤
0x I∈ 0( )f x M=
( )y f x=
( )y f x=
0x I∈ 0( )f x M=
x I∈．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法 ②换元法 ③数形结合法
（三）质疑答辩，排难解惑．
例 1．（教材 P30 例 3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解（略）
例 2．将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时，能卖出 500 个，若此商品每个涨价 1 元，其销售量减
少 10 个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
解 ： 设 利 润 为 元 ， 每 个 售 价 为 元 ， 则 每 个 涨 （ － 50 ） 元 ， 从 而 销 售 量 减 少
∴
＜100）
∴
答：为了赚取最大利润，售价应定为 70 元．
例 3．求函数 在区间[2，6] 上的最大值和最小值．
解：（略）
例 4．求函数 的最大值．
解：令
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）求函数 的最大值和最小值．
( ) ( ( ) )f x M f x m≤ ≥
y x x
10( 50) ,x − 个 共售出500-10(x-50)=100-10x(个)
y=( x- 40) ( 1000- 10x)
9000 (50 x+ ≤2=- 10( x- 70)
max70 9000x y= =时
2
1y x
= −
1y x x= + −
21 0 1t x x t= − ≥ = − +有 则
2 21 51 ( ) 02 4y t t t t= − + + = − − + ≥
21( ) 02t∴− − ≤
21 5 5( )2 4 4t∴− − + ≤
.∴ 5原函数的最大值为
4
| 3| | 1|y x x= − − +（2）如图，把截面半径为 25cm 的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为 ，面积为 ，试将
表示成 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？
（五）归纳小结
求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定
函数的最值．
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．
（六）设置问题，留下悬念．
1．课本 P39（A 组） 5.
2．求函数 的最小值．
3．求函数 ．
① ② ③
A 组
一、选择题：
1．若一次函数 上是单调减函数，则点 在直角坐标平面的（ ）
A．上半平面 B．下半平面 C．左半平面 D．右半平面
2．函数 y=x2+x+2 单调减区间是( )
A ．[－ ,+∞] B．（－1，+∞） C．（－∞，－ ） D．（－∞，+∞）
3．下列函数在（0，3）上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 在区间（-∞，4）上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．a≥3 B．a≤-3 C．a≥-3 D．a≤5
5．设 A=[1，b]（b＞1）， ，若 f（x）的值域也是 A，则 b 值是（ ）
x y y
x
2 1y x x= + −
2 2 3y x x x= − + 当自变量 在下列范围内取值时的最值
1 0x− ≤ ≤ 0 3x≤ ≤ ( , )x∈ −∞ +∞
),()0( +∞−∞≠+= 在kbkxy ),( bk
2
1
2
1
xy 1= 2xy += 2xy −= 122 −−= xxy
2)1(2)( 2 +−+= xaxxf
)(1)1(2
1)( 2 Axxxf ∈+−=
25 1
y
x2 3 4
1
2
3
4
5
-1-2-3-4-5
-1
-2
-3
-4
-5
o
A． B．2 C．3 D．
6．定义在 R 上的 f（x）满足 f（－x）＝f（x），且在（－∞，0）上是增函数，若 ，则 a
的取值范围是（ ）
A． B．|a|>2 C． D．
二、填空题：
7．若函数 f(x)=(-k2+3k+4)x+2 是增函数，则 k 的范围是
8．定义在区间[a、b]上的增函数 f（x），最大值是________，最小值是________。
定义在区间[c，d]上的减函数 g（x），最大值是________，最小值是________。
9．一般地，家庭用电量 y（千瓦）与气温 x（℃）有函数关系 。图（1）表示某年 12 个月中每月
的平均气温，图（2）表示某家庭在 12 个月中每月的用电量. 试在数集 是 2.5 的
整数倍}中确定一个最小值 和最大值 ，使 上的增函数，则区间[ ，x2]= .
10．读图分析：设定义在 的函数 的图象
如图所示（图中坐标点都是实心点），请填写以下几个空格：
（1）若 ， ，则 ___________。
（2）若 的定义域为 ，则函数
的定义域为____________。
（3）该函数的单调增区间为__________、
__________、_________。
（4）方程 （ ）的解个数为____(个)。
11．函数 在区间[-3，a]上是增函数，则 a 的取值范围是________。
2
3
2
7
)1()1( 2 faf
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