人教A版数学必修一教案：§1.3.2函数的奇偶性.doc

§1．3．2 函数的奇偶性 一．教学目标 1．知识与技能： 理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判 断函数的奇偶性； 2．过程与方法： 通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合 的数学思想． 3．情态与价值： 通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 二．教学重点和难点： 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 三．学法与教学用具 学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇 偶函数的概念． 教学用具：三角板 投影仪 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下 列各函数有什么共性？ 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． －1 0 通过讨论归纳：函数 是定义域为全体实数的抛物线；函数 是定 义域为全体实数的折线；函数 是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共 性为图象关于 轴对称．观察一对关于 轴对称的点的坐标有什么关系？ 归纳：若点 在函数图象上，则相应的点 也在函数图象上，即函数 2( )f x x= ( ) | | 1f x x= − 2 1( )x x x = y y y x x x 2( )f x x= ( ) | | 1f x x= − 2 1( )f x x = y y ( , ( ))x f x ( , ( ))x f x− －1 100图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． （二）研探新知 函数的奇偶性定义： 1．偶函数 一般地，对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 ，那么 就 叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数 一般地，对于函数 的定义域的任意一个 ，都有 ，那么 就 叫做奇函数． 注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任 意一个 ，则 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 3．具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维． 例 1．判断下列函数是否是偶函数． （1） （2） 解：函数 不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 函数 也不是偶函数，因为它的定义域为 ，并不关于 原点对称． 例 2．判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4） 解：（略） 小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ( )f x x ( ) ( )f x f x− = ( )f x ( )f x x ( ) ( )f x f x− = − ( )f x x x− y 2( ) [ 1,2]f x x x= ∈ − 3 2 ( ) 1 x xf x x −= − 2( ) , [ 1,2]f x x x= ∈ − 3 2 ( ) 1 x xf x x −= − }{ | 1x x R x∈ ≠且 4( )f x x= 5( )f x x= 1( )f x x x = + 2 1( )f x x =②确定 ； ③作出相应结论： 若 ； 若 ． 例 3．判断下列函数的奇偶性： ① ② 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察 ． 解：（1） ＞0 且 ＞ = ＜ ＜ ，它具有对称 性．因为 ，所以 是偶函数，不是奇函数． （2）当 ＞0 时，－ ＜0，于是 当 ＜0 时，－ ＞0，于是 综上可知，在 R－∪R+上， 是奇函数． 例 4．利用函数的奇偶性补全函数的图象． 教材 P35 思考题： 规律：偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据． 例 5．已知 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数． 证明： 在（－∞，0）上也是增函数． 证明：（略） 小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上 ( ) ( )f x f x− 与 的关系 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( )f x f x f x f x f x− = − − =或 则 是偶函数 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( )f x f x f x f x f x− = − − + =或 则 是奇函数 ( ) (4 ) (4 )f x lg x g x= + + − 2 2 1 1 ( 0)2( ) 1 1 ( 0)2 x x g x x x  + >=  − − + afaf )(xf )2()( −= xfxg 5)3( =f =)2001(f减函数，若 ab＜0，a+b≥0，求证：f（a）+f（b）≤0。 14．定义在（-2，2）上的偶函数 f（x），满足 f（1-a）＜f（a），又当 x≥0 时，f（x）是减 函数，求 a 的取值范围。 15．已知函数 f（x）对任意 x，y∈R，都有 f（x+y）=f（x）+f（y），若 x>0 时，f(x)