第二课时
提问:
1.复习初中时的整数指数幂,运算性质?
什么叫实数?
有理数,无理数统称实数.
2.观察以下式子,并总结出规律: >0
① ②
③ ④
小结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式,
(分数指数幂形式).
根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如:
即:
为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为:
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即:
规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义.
说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的
一种新的写法,而不是
由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂
的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:
(1)
0 0, 1 ( 0) ,0na a a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ = ≠ 无意义
1 ( 0)n
na aa
− = ≠
; ( )m n m n m n mna a a a a+⋅ = =
( ) , ( )n m mn n n na a ab a b= =
a
10
5 10 2 5 25 5( )a a a a= = =
8
8 4 2 4 2( )a a a a= = =
12
12 3 4 34 4 4( )a a a a= = = 5
10
5 10 2 5 2 5( )a a a a= = =
2
3 2 3 ( 0)a a a= = >
1
2 ( 0)b b b= = >
5
54 4 ( 0)c c c= = >
*( 0, , 1)
m
n m na a a n N n= > ∈ >
*( 0, , )
m
n mna a a m n N= > ∈
*1 ( 0, , )
m
n
m
n
a a m n N
a
− = > ∈
1 1 1
( 0)
n
m m m ma a a a a= ⋅ ⋅⋅⋅ >
( 0, , )r s r sa a a a r s Q+⋅ = > ∈(2)
(3)
若 >0,P 是一个无理数,则 P 该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读课
本 P62——P62.
即: 的不足近似值,从由小于 的方向逼近 , 的过剩近似值从大于 的
方向逼近 .
所以,当 不足近似值从小于 的方向逼近时, 的近似值从小于 的方向逼近
.
当 的过剩似值从大于 的方向逼近 时, 的近似值从大于 的方向逼近
,(如课本图所示)
所以, 是一个确定的实数.
一般来说,无理数指数幂 是一个确定的实数,有理数指数
幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过
剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考: 的含义是什么?
由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实
数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即:
3.例题
(1).(P51,例 2)求值
解:①
②
③
( ) ( 0, , )r S rsa a a r s Q= > ∈
( ) ( 0, 0, )r r ra b a b Q b r Q⋅ = > > ∈
a
2 2 2 2 2
2
2 2 25 25
25
2 2 2 25 25
25
25
( 0, )pa a p> 是一个无理数
32
( 0, , )r s r sa a a a r R s R+⋅ = > ∈ ∈
( ) ( 0, , )r s rsa a a r R s R= > ∈ ∈
( ) ( 0, )r r ra b a b a r R⋅ = > ∈
2 2 233 23 3 38 (2 ) 2 2 4
×= = = =
1 1 12 ( )2 12 2 2 125 (5 ) 5 5 5
− − × − −= = = =
5 1 5 1 ( 5)1( ) (2 ) 2 322
− − − − × −= = =④
(2).(P51,例 3)用分数指数幂的形式表或下列各式( >0)
解:
分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算.
课堂练习:P54 练习 第 1,2,3 题
补充练习:
1. 计算: 的结果
2. 若
小结:
1.分数指数是根式的另一种写法.
2.无理数指数幂表示一个确定的实数.
3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的.
作业:P59 习题 2.1 第 2 题
3 34 ( ) 34 416 2 2 27( ) ( ) ( )81 3 3 8
− × − −= = =
a
1 1 733 3 2 2 2.a a a a a a
+= ⋅ = =
2 2 8232 2 2 3 3 3a a a a a a
+⋅ ⋅ ⋅ = =
3
1 4 4 21
3 3 3 32( )a a a a a a a= ⋅ = = =
1 2 2 1
2
1(2 ) ( )2
4 8
n n
n
+ +
−
⋅
1
310 7
3 10 3
3
3, 384, [( ) ]naa a a a
−= = ⋅求 的值