人教A版数学必修一教案：§2.1.2指数函数及其性质（1）.doc

2.1.2 指数函数及其性质（2 个课时） 一. 教学目标： 1．知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景； ②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力. 3．过程与方法 展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. 二．重、难点 重点：指数函数的概念和性质及其应用. 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、学法与教具： ①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体. 第一课时 一．教学设想： 1. 情境设置 ①在本章的开头，问题（1）中时间 与 GDP 值中的 ，请问这两个函数有什么共同特征. ②这两个函数有什么共同特征 ，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量 为指数，即都可以用 （ ＞0 且 ≠1 来表示）. 二．讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数 （ ＞0 且 ≠1）叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义 域为 R. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （ ＞1，且 ） x 1.073 ( 20)xy x x= ∈ ≤ 与问题(2) ]t5 1 301中时间t和C-14含量P的对应关系P=[( ) 2 1 57301] [( ) ]2 tP = t 57301把P=[( ) 变成 2 xy a= a a xy a= a a x 22xy += ( 2)xy = − 2xy = − xy π= 2y x= 24y x= xy x= ( 1)xy a= − a 2a ≠小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为 ＞0， 是任意一个实数时， 是一个 确定的实数，所以函数的定义域为实数集 R. 若 ＜0，如 在实数范围内的函数值不存在. 若 =1, 是一个常量，没有研究的意义，只有满足 的形式才能称为指数函数， 不 符合 . 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研 究. 下面我们通过 先来研究 ＞1 的情况 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数 的图象 1 2 4 再研究，0＜ ＜1 的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数 的图象. 1 2 4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a x xa 0 00, 0 x x aa x a  >=  ≤ x当 时, 等于若 当 时, 无意义 a 1( 2) , , 8 xy x x= − =1先时,对于 = 等等, 6 a 1 1,xy = = ( 0, 1)xy a a a= > ≠且 5, , 3 , 3 1x x xa y x y y+= = = + 1 x x为常数,象y=2-3 ,y=2 等等, ( 0 1)xy a a a= > ≠且 的形式, 所以不是指数函数 a 2xy = x 3.00− 2.50− 2.00− 1.50− 1.00− 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2xy = 1 8− 1 4 1 2 a 1( )2 xy = x 2.50− 2.00− 1.50− 1.00− 0.00 1.00 1.50 2.00 2.50 1( )2 xy = 1 4 1 2 - - - - - - ---- --- - x y 0 y=2x - - - - - - ---- --- - x y 0 1 2 x y  =    - - - - - - ---- --- - x y 0从图中我们看出 通过图象看出 实质是 上的 讨论： 的图象关于 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？ ② 利 用 电 脑 软 件 画 出 的 函 数 图 象 . 问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 从 图 上 看 （ ＞ 1 ） 与 （ 0 ＜ ＜ 1 ） 两 函 数 图 象 的 特 征 . 问题 2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、 奇偶性. 问题 3：指数函数 （ ＞0 且 ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系. 图象特征 函数性质 ＞1 0＜ ＜1 ＞1 0＜ ＜1 向 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 轴不对称 非奇非偶函数 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 12 ( )2 x xy y= =与 的图象有什么关系? 12 ( )2 x xy y y= =与 的图象关于 轴对称, 2xy = x,y点( - ) xy x,y y1与 =( ) 上点( - ) 关于 轴对称.2 12 ( )2 x xy y= =与 y 1 15 , 3 , ( ) , ( )3 5 x x x xy y y y= = = = xy a= a xy a= a xy a= a a a a a a x y 3xy = 5xy = 1 3 x y  =    1 5 x y  =    0 ( 1)xy a a= >(0 1)xy a a= < < 0函数图象都在 轴上方 函数的值域为 R+ 函数图象都过定点（0，1） =1 自左向右， 图象逐渐上升 自左向右， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 ＞0， ＞1 ＞0， ＜1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 ＜0， ＜1 ＜0， ＞1 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在 （ ＞0 且 ≠1）值域是 （2）若 （3）对于指数函数 （ ＞0 且 ≠1），总有 （4）当 ＞1 时，若 ＜ ，则 ＜ ； 例题： 例 1：（P56 例 6）已知指数函数 （ ＞0 且 ≠1）的图象过点（3，π）， 求 分析：要求 再把 0，1，3 分别 代入 ，即可求得 提问：要求出指数函数，需要几个条件？ 课堂练习：P58 练习：第 1，2，3 题 补充练习：1、函数 2、当 解（1） （2）（－ ，１） 例 2：求下列函数的定义域： （1） （2） 分析：类为 的定义域是 R，所以，要使（1），（2）题的定义域，保 x 0a x xa x xa x xa x xa [ , ] xa b f x a上, ( ) = a a [ ( ), ( )] [ ( ), ( )];f a f b f b f a或 0,x f x f x x≠ ≠ ∈则 ( ) 1; ( ) 取遍所有正数当且仅当 R; ( ) xf x a= a a (1) ;f a= a 1x 2x 1( )f x 2( )f x ( ) xf x a= a a (0), (1), ( 3)f f f − 的值. (0), (1), ( 3) , ,xf f f a x π− 1 3的值,只需求出 得出f( )=( ) x (0), (1), ( 3)f f f − . 1( ) ( )2 xf x = 的定义域和值域分别是多少? [ 1,1] , ( ) 3 2xx f x∈ − = −时 函数 的值域是多少? , 0x R y∈ > 5 3 4 42 xy −= | |2( )3 xy = ( 1, 0)xy a a a= ≠ >要使其指数部分有意义就得 . 3．归纳小结 作业：P59 习题 2.1 A 组第 5、6 题 1、理解指数函数 2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的 数学思想 . ( 0), 1 0 1xy a a a a= > > <