§2.2.2 对数函数及其性质(第一、二课时)
一.教学目标
1.知识技能
①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律.
②掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题.
2.过程与方法
让学生通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数的性质.
3.情感、态度与价值观
①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力;
②培养学生严谨的科学态度.
二.学法与教学用具
1.学法:通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质;
2.教学手段:多媒体计算机辅助教学.
三.教学重点、难点
1、重点:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质.
2、难点:底数 a 对图象的影响及对数函数性质的作用.
四.教学过程
1.设置情境
在 2.2.1 的例 6 中,考古学家利用 估算出土文物或古遗址的年代,对于
每一个 C14 含量 P,通过关系式,都有唯一确定的年代 与之对应.同理,对于每一个对数
式 中的 ,任取一个正的实数值, 均有唯一的值与之对应,所以
的函数.
2.探索新知
一般地,我们把函数 ( >0 且 ≠1)叫做对数函数,其中 是自变量,函
数的定义域是(0,+∞).
提问:(1).在函数的定义中,为什么要限定 >0 且 ≠1.
(2).为什么对数函数 ( >0 且 ≠1)的定义域是(0,+∞).组织学生
充分讨论、交流,使学生更加理解对数函数的含义,从而加深对对数函数的理解.
答:①根据对数与指数式的关系,知 可化为 ,由指数的概念,要使
有意义,必须规定 >0 且 ≠1.
②因为 可化为 ,不管 取什么值,由指数函数的性质, >0,所以
.
例题 1:求下列函数的定义域
(1) (2) ( >0 且 ≠1)
15730 2
log P
t
logx
ay = x y log x
ay x= 关于
logay x= a a x
a a
logay x= a a
logay x= ya x=
ya x= a a
logay x= yx a= y ya
(0, )x∈ +∞
2log ay x= log (4 )ay x= − a a分析:由对数函数的定义知: >0; >0,解出不等式就可求出定义域.
解:(1)因为 >0,即 ≠0,所以函数 的定义域为 .
(2)因为 >0,即 <4,所以函数 的定义域为 < .
下面我们来研究函数的图象,并通过图象来研究函数的性质:
先完成 P81 表 2-3,并根据此表用描点法或用电脑画出函数 再利用
电脑软件画出
1 2 4 6 8 12 16
-1 0 1 2 2.58 3 3.58 4
y
0 x
注 意 到 : , 若 点 的 图 象 上 , 则 点
的图象上. 由于( )与( )关于 轴对称,因此,
的图象与 的图象关于 轴对称 . 所以,由此我们可以画出 的图象 .
先由学生自己画出 的图象,再由电脑软件画出 与 的图
象.
探究:选取底数 >0,且 ≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的
对数函数的图象.观察图象,你能发现它们有哪些特征吗?
.作法:用多媒体再画出 , , 和
2x 4 x−
2x x 2
log x
ay = { }| 0x x ≠
4 x− x (4 )log x
ay −= { |x x }4
2log xy = 的图象,
0.5log .xy = 的图象
x
1
2
y
0.5logy x=
2logy x=
1 2
2
log logy x x= = − 2( , ) logx y y x=在
1
2
( , ) logx y y x− =在 ,x y− ,x y− x 1
2
logy x=
2logy x= x 1
2
logy x=
1
2
logy x= 2logy x= 1
2
logy x=
(a a a
4logy x= 3logy x= 1
3
logy x= 1
4
logy x=
3logy x=提问:通过函数的图象,你能说出底数与函数图象的关系吗?函数的图象有何特征,
性质又如何?
先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质. (投影)
图象的特征 函数的性质
(1)图象都在 轴的右边 (1)定义域是(0,+∞)
(2)函数图象都经过(1,0)点 (2)1 的对数是 0
(3)从左往右看,当 >1 时,图象逐渐
上升,当 0< <1 时,图象逐渐下降 .
(3)当 >1 时, 是增函数,当
0< <1 时, 是减函数.
(4)当 >1 时,函数图象在(1,0)点
右边的纵坐标都大于 0,在(1,0)点左
边的纵坐标都小于 0. 当 0< <1 时,图
象正好相反,在(1,0)点右边的纵坐标
都小于 0,在(1,0)点左边的纵坐标都
大于 0 .
(4)当 >1 时
>1,则 >0
0< <1, <0
当 0< <1 时
>1,则 <0
0< <1, <0
由上述表格可知,对数函数的性质如下(先由学生仿造指数函数性质完成,教师适当
启发、引导):
>1 0< <1
图
象
4
2
-2
-4
-5 5
y
a
a
a logx
ay =
a logay x=
a
a
a
x loga x
x loga x
a
x loga x
x loga x
a a
4logy x=
1
4
logy x=
1
3
logy x=
0(1)定义域(0,+∞);
(2)值域 R;
(3)过点(1,0),即当 =1, =0;
性
质
(4)在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)是上减函数
例题训练:
1. 比较下列各组数中的两个值大小
(1)
(2)
(3) ( >0,且 ≠1)
分析:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成:
(1)解法 1:用图形计算器或多媒体画出对数函数 的图象.在图象上,横坐
标为 3、4 的点在横坐标为 8.5 的点的下方:
所以,
解 法 2 : 由 函 数 + 上 是 单 调 增 函 数 , 且 3.4 < 8.5 , 所 以
.
解法 3:直接用计算器计算得: ,
(2)第(2)小题类似
(3)注:底数是常数,但要分类讨论 的范围,再由函数单调性判断大小.
解法 1:当 >1 时, 在(0,+∞)上是增函数,且 5.1<5.9.
所以,
当 1 时, 在(0,+∞)上是减函数,且 5.1<5.9.
所以,
解法 2:转化为指数函数,再由指数函数的单调判断大小不一,
令 令 则
当 >1 时, 在 R 上是增函数,且 5.1<5.9
所以, < ,即 <
当 0< <1 时, 在 R 上是减函数,且 5.1>5.9
x y
2 2log 3.4 , log 8.5
0.3 0.3log 1.8 , log 2.7
log 5.1, log 5.9a a a a
2logy x=
2 2log 3.4 log 8.5<
2logy x R= 在
2 2log 3.4 log 8.5<
2log 3.4 1.8≈ 2log 8.5 3.1≈
a
a logay x=
log 5.1a
< log 5.9a
a < logay x=
log 5.1a
> log 5.9a
1
1 log 5.1, 5.1,b
ab a= =则 2
2 log 5.9, 5.9,b
ab a= =则 2 5.9ba =则
a xy a=
1b 2b log 5.1a log 5.9a
a xy a=所以, < ,即 >
说明:先画图象,由数形结合方法解答
课堂练习:P73 练习 第2,3题
补充练习
1.已知函数 的定义域为[-1,1],则函数 的定义域为
2.求函数 的值域.
3.已知 < <0,按大小顺序排列 m, n, 0, 1
4.已知 0< <1, b>1, ab>1. 比较
归纳小结:
② 对数函数的概念必要性与重要性;
②对数函数的性质,列表展现.
1b 2b log 5.1a log 5.9a
(2 )xy f= 2(log )y f x=
22 log ( 1)y x x= + ≥
log 7m log 7n
a 1log ,log ,loga a bbb
1的大小
b