§2.3 幂函数
一．教学目标：
1．知识技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.
2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.
3．情感、态度、价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．重点、难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
5．学法与教具
（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;
（2）教学用具：多媒体
三．教学过程：
引入新知
阅读教材 P77 的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
（1）它们的对应法则分别是什么？
（2）以上问题中的函数有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论
答：1、（1）乘以 1 （2）求平方 （3）求立方
（4）求算术平方根 （5）求－1 次方
2、上述的问题涉及到的函数，都是形如： ，其中 是自变量， 是常数.
探究新知
1．幂函数的定义
一般地，形如 （ R）的函数称为幂孙函数，其中 是自变量， 是常数.
如 等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
2．研究函数的图像
（1） （2） （3）
（4） （5）
一．提问：如何画出以上五个函数图像
引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电
脑软件画出以上五个数数的图像.
y xα= x α
y xα= x∈ x α
1 1
2 3 4, ,y x y x y x
−= = =
y x=
1
2y x= 2y x=
1y x−= 3y x=
2y x=让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研
究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图像，填 P91 探究中的表格
定义域 R R R
奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇
在第Ⅰ象限
单调增减性
在第Ⅰ象限
单调递增
在第Ⅰ象限
单调递增
在第Ⅰ象限
单调递增
在第Ⅰ象限
单调递增
在第Ⅰ象限
单调递减
定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因： ）；
（2） ＞0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐
渐上升）.
特别地，当 ＞1， ＞1 时， ∈（0，1）， 的图象都在 图象的下方，形状向下凸越大，
下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
当∠α＜1 时， ∈（0，1）， 的图象都在 的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程
度越大（你能说出原因吗？）
（3）α＜0 时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一家限内，当 向原点靠近时，图象在 轴的右方无限逼近 轴正半轴，当 慢慢地变大时，图
象在 轴上方并无限逼近 轴的正半轴.
例题：
1．证明幂函数 上是增函数
证：任取 ＜ 则
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5 5 10 15
y x= 2y x= 3y x= 1
2y x= 1y x−=
{ }| 0x x ≥ { }| 0x x ≠
1 1x =
x
x x x 2y x= y x=
x 2y x= y x=
x y y x
x x
( ) [0, ]f x x= +∞在
1 2 1, [0, ),x x x∈ +∞ 且 2x
y x=
1
2y x=
y=x3
y=x-1
0
=
=
因 ＜0， ＞0
所以 ，即 上是增函数.
思考：
我 们 知 道 ， 若 得 ， 你 能 否 用 这 种 作 比 的 方 法 来 证 明
上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？
2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小
（1） （2） （3）
分析：利用幂函数的单调性来比较大小.
5．课堂练习
画出 的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.
6．归纳小结：提问方式
（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？
（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？
作业：P79 习题 2.3 第 2、3 题
1 2 1 2( ) ( )f x f x x x− = −
1 2 1 2
1 2
( )( )x x x x
x x
− +
+
1 2
1 2
x x
x x
−
+
1 2x x− 1 2x x+
1 2( ) ( )f x f x< ( ) [0, ]f x x= + ∞在
1
2
( )( ) 0, 1( )
f xy f x f x
= >
2 2
2 4 4( 4) , 4a
− −+
2
3y x=
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