第三章 函数的应用
一、课程要求
本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法,使学生体会函数与方程之间的关系,通过一些函数模
型的实例,让学生感受建立函数模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的广泛应用,进一步认
识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 .
1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数
零点与方程根的联系.
2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初
步体会算法思想.
3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆
炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .
4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知
识解决实际问题的意识.
二、 编写意图和教学建议
1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系(比如函数、方程、不等式之间的关系,图
象零点与方程根的关系).
2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗
透了配方法、待定分数法等数学思想方法.
3.教材高度重视信息技术在本章教学中的作用,比如,利用计算机创设问题情境,增加了学生的学
习兴趣,利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况,展示 的不同取值而动态变化的
规律,形象、生动,利于学生深刻理解. 因此,教师要积极开发多媒体教学课件,提高课堂教学效率.
4.教材安排了“阅读与思考”的内容,肯在提高学生的数学文化素养,教师应引导学生通过查阅、
收集、整理、分析相关材料,增强信息处理的能力,培养探究精神,提高数学素养.
5.本章最后安排了实习作业,学生通过作业实践,体会函数模型的建立过程,真实感受数学的应用
价值. 教师可指导学生分组完成,并认真小结,展示、表扬优秀的作业,并借以充实自己的教学案例 .
三、教学内容与课时的安排建议
全章教学时间约需 9 课时.
3.1 函数与方程 3 课时
3.2 函数模型及其应用 4 课时
实习作业 1 课时
小结 1 课时
logx
aa x a与 随§3.1.1 方程的根与函数的零点
一、教学目标
1. 知识与技能
①理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,掌握零点存在的
判定条件.
②培养学生的观察能力.
③培养学生的抽象概括能力.
2. 过程与方法
①通过观察二次函数图象,并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点,找到连续函数在某个
区间上存在零点的判断方法.
②让学生归纳整理本节所学知识.
3. 情感、态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.
二、教学重点、难点
重点 零点的概念及存在性的判定.
难点 零点的确定.
三、学法与教学用具
1. 学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从而完成本
节课的教学目标。
2. 教学用具:投影仪。
四、教学设想
(一)创设情景,揭示课题
1、提出问题:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?
2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:
(用投影仪给出)
①方程 与函数
②方程 与函数
③方程 与函数
1.师:引导学生解方程,画函数图象,分析方程的根与图象和 轴交点坐标的关系,引出零点的概
念.
生:独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流.
师:上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样?
(二) 互动交流 研讨新知
函数零点的概念:
0322 =−− xx 322 −−= xxy
0122 =+− xx 122 +−= xxy
0322 =+− xx 322 +−= xxy
x对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点.
函数零点的意义:
函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标.
即:
方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.
函数零点的求法:
求函数 的零点:
①(代数法)求方程 的实数根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用
函数的性质找出零点.
1.师:引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中的思想方法.
生:认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法:
①代数法;
②几何法.
2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概括形成结论.
二次函数的零点:
二次函数
.
(1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数
有两个零点.
(2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,
二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.
3.零点存在性的探索:
(Ⅰ)观察二次函数 的图象:
① 在区间 上有零点______;
_______, _______,
· _____0(<或>=).
② 在区间 上有零点______;
· ____0(<或>=).
))(( Dxxfy ∈= 0)( =xf x ))(( Dxxfy ∈=
)(xfy = 0)( =xf )(xfy = x
0)( =xf ⇔ )(xfy = x ⇔ )(xfy =
)(xfy =
0)( =xf
)(xfy =
)0(2 ≠++= acbxaxy
02 =++ cbxax x
02 =++ cbxax x
02 =++ cbxax x
32)( 2 −−= xxxf
]1,2[−
=− )2(f =)1(f
)2(−f )1(f
]4,2[
)2(f )4(f(Ⅱ)观察下面函数 的图象
① 在区间 上______(有/无)零点;
· _____0(<或>=).
② 在区间 上______(有/无)零点;
· _____0(<或>=).
③ 在区间 上______(有/无)零点;
· _____0(<或>=).
由以上两步探索,你可以得出什么样的结论?
怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间上是否存在零点?
4.生:分析函数,按提示探索,完成解答,并认真思考.
师:引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在之间
的关系.
生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析.
师:引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用.
(三)、巩固深化,发展思维
1.学生在教师指导下完成下列例题
例 1、求函数 f(x)=㏑x+2x -6 的零点个数。
问题:
(1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数?
(2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性?
例 2.求函数 ,并画出它的大致图象.
师:引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象,结合图象对
函数有一个零点形成直观的认识.
生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用函数单调性判断
零点的个数.
2.P88 页练习第二题的(1)、(2)小题
(四)、归纳整理,整体认识
1. 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些,所涉及到的主要数学思想又有哪些;
2. 在本节课的学习过程中,还有哪些不太明白的地方,请向老师提出。
)(xfy =
],[ ba
)(af )(bf
],[ cb
)(bf )(cf
],[ dc
)(cf )(df
22 23 +−−= xxxy(五)、布置作业
P88 页练习第二题的(3)、(4)小题。