§3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）
一、 教学目标：
1. 知识与技能 能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二
次函数模型解决实际问题.
2．过程与方法 感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数
模型在数学和其他学科中的重要性.
3．情感、态度、价值观 体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题
的实用价值.
二、 教学重点与难点：
1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
2. 教学难点：将实际问题转变为数学模型.
三、 学法与教学用具
1. 学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.
2. 教学用具：多媒体
四、 教学设想
（一）创设情景，揭示课题
引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：
“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有
若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的
方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了
“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，
就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.
比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.
可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.
（二）结合实例，探求新知
例 1. 某列火车众北京西站开往石家庄，全程 277km，火车出发 10min 开出 13km 后，
以 120km/h 匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系式，并求
火车离开北京 2h 内行驶的路程.
探索：
1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；
2）所涉及的变量的关系如何？
3）写出本例的解答过程.
老师提示：路程 S 和自变量 t 的取值范围（即函数的定义域），注意 t 的实际意义.
学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.
例 2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价 20 元，茶杯每只定价 5 元，该商店制定
了两种优惠办法：
1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？
2）本例涉及到几个函数模型？
3）如何理解“更省钱？”；
4）写出具体的解答过程.
在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模
型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。数学模型可采用各种形式，
如方程（组），函数解析式，图形与网络等 .
课堂练习 1 某农家旅游公司有客房 300 间，每间日房租为 20 元，每天都客满. 公司
欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加 2 元，客房出租数就会减少 10 间. 若不考
虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
引导学生探索过程如下：
1）本例涉及到哪些数量关系？
2）应如何选取变量，其取值范围又如何？
3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？
4）“总收入最高”的数学含义如何理解？
根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行
评析.
[略解：]
设客房日租金每间提高 2 元，则每天客房出租数为 300－10 ，由 ＞0，且 300－10
＞0 得：0＜ ＜30
设客房租金总上收入 元，则有：
=（20+2 ）(300－10 )
=－20( －10)2 ＋ 8000（0＜ ＜30）
由二次函数性质可知当 =10 时， =8000.
所以当每间客房日租金提高到 20＋10×2=40 元时，客户租金总收入最高，为每天 8000
元.
课堂练习 2 要建一个容积为 8m3，深为 2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造
价每平方米分别为 120 元和 80 元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最
低造价.
（三）归纳整理，发展思维.
引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：
1） 合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为
函数模型问题：
2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；
3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；
4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的
x x x
x x
y
y x x
x x
x maxy
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