一元一次不等式的解法(提高)知识讲解.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 一元一次不等式的解法（提高）知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：吴婷婷 ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解一元一次不等式的概念；‎ ‎2.会解一元一次不等式．‎ ‎【要点梳理】‎ ‎【高清课堂：一元一次不等式 370042 一元一次不等式 】‎ 要点一、一元一次不等式的概念 ‎ 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．‎ 要点诠释：‎ ‎(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；‎ ‎②只含有一个未知数；‎ ‎③未知数的最高次数为1．‎ ‎(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：‎ 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．‎ 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．‎ 要点二、一元一次不等式的解法 ‎1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．‎ ‎2.一元一次不等式的解法：‎ 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.‎ 要点诠释：‎ ‎（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．‎ ‎（2）解不等式应注意：‎ ‎①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；‎ ‎②移项时不要忘记变号；‎ ‎③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；‎ ‎④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．‎ ‎3.不等式的解集在数轴上表示：‎ ‎ 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．‎ 要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：‎ ‎（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；‎ ‎（2）方向：大向右，小向左．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、一元一次不等式的概念 ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？‎ ‎（1） （2） （3） （4） （5）‎ ‎【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次项不是1次，（4）不等式左边含有两个未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程．‎ ‎【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可． ‎ 类型二、解一元一次不等式 ‎2.解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． ‎ ‎【思路点拨】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分数线兼有括号的作用．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：将分母变为整数，得：‎ ‎ 去分母，得：‎ ‎ 去括号，合并同类项，得：‎ ‎ 系数化1，得：‎ 这个不等式的解集表示在数轴上，如下图：‎ ‎【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】解不等式：‎ ‎【答案】‎ 解：去括号，得 移项、合并同类项得：‎ 系数化1，得 故原不等式的解集是 ‎3.m为何值时，关于x的方程：的解大于1？‎ ‎【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m表示x），然后解不等式．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案与解析】‎ 解： x‎-12m+2=6x‎-15m+3‎ ‎ 5x=‎3m-1‎ ‎ 由 ‎ 解得m＞2‎ ‎【总结升华】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知关于方程的解是非负数，是正整数，则 ．‎ ‎【答案】1或2‎ ‎4.已知关于的方程组的解满足，求的取值范围．‎ ‎【思路点拨】先解出方程组再解不等式．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：由，解得：‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴的取值范围为 ‎【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出的具体值．‎ 类型三、解含字母的一元一次不等式 ‎5．解关于x的不等式：(1-m)x>m-1‎ ‎【思路点拨】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化1即可，两边同时除以（1-m），但由不等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方向得改变，这里1-m的符号我们不知道？故需分类讨论．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：当1- m ＞0既m ＜1时，原不等式的解集为：x＞-1；‎ 当1- m ＜0既m ＞1时，原不等式的解集为：x＜-1；‎ 当1-m=0既m=1时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解．‎ ‎【总结升华】不难发现，我们可以总结概括，如下：‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 若ax＞b（a≠0），‎ 当时，不等式的解集是；‎ 当时，不等式的解集是．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】解关于x的不等式m（x-2）＞x-2. 【答案】‎ 解: 化简，得（m-1）x＞2（m-1）， 　　① 当m-1＞0时，x＞2； 　　② 当m-1＜0时，x＜2； 　　③ 当m-1=0时，无解.‎ ‎【高清课堂：一元一次不等式 370042 例8】‎ ‎【变式2】(1)已知x＜a的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是______；‎ ‎(2)已知x＞a的解集中最小整数为－2，则a的取值范围是______．‎ ‎【答案】（1）3＜a≤4；（2）﹣3≤a＜﹣2．‎ 类型四、逆用不等式的解集 ‎6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集 ．‎ ‎【思路点拨】先根据第一个不等式确定的关系或符号，再代入第二个不等式进行求解．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：由的解集为可知得：，，即 将上式代入，‎ 化简整理得：，又 所以 ‎【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知的解集中的最大整数为3，则的取值范围是 ．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎