第30练 直线与圆.docx

第30练　直线与圆 ‎[题型分析·高考展望]　直线与圆是解析几何的基础，在高考中，除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查.单独考查时，一般为选择题、填空题，难度不大，属低中档题.直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点.‎ 体验高考 ‎1.(2015·广东)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)‎ A.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0‎ B.2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0‎ C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0‎ D.2x－y＋＝0或2x－y－＝0‎ 答案　A 解析　设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，‎ 依题意有＝，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.‎ ‎2.(2015·课标全国Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于(　　)‎ A.2 B.8 C.4 D.10‎ 答案　C 解析　由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.‎ ‎3.(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)‎ A.－或－ B.－或－ C.－或－ D.－或－ 答案　D 解析　由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，‎ 则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，‎ 即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，‎ 则有d＝＝1，‎ 解得k＝－或k＝－，故选D.‎ ‎4.(2016·上海)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离为______.‎ 答案　 解析　d＝＝.‎ ‎5.(2016·课标全国丙)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.‎ 答案　4‎ 解析　设AB的中点为M，由题意知，‎ 圆的半径R＝2，|AB|＝2，‎ 所以|OM|＝3，解得m＝－，‎ 由 解得A(－3，)，B(0，2)，‎ 则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，‎ BD的直线方程为y－2＝－x，‎ 令y＝0，解得C(－2，0)，D(2，0)，‎ 所以|CD|＝4.‎ 高考必会题型 题型一　直线方程的求法与应用 例1　(1)若点P(1，1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(　　)‎ A.2x＋y－3＝0 B.x－2y＋1＝0‎ C.x＋2y－3＝0 D.2x－y－1＝0‎ 答案　D 解析　由题意知圆心C(3，0)，kCP＝－.‎ 由kCP·kMN＝－1，得kMN＝2，‎ 所以弦MN所在直线的方程是2x－y－1＝0.‎ ‎(2)已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程.‎ 解　设B(4y1－10，y1)，‎ 由AB中点在6x＋10y－59＝0上，‎ 可得：6·＋10·－59＝0，y1＝5，‎ ‎∴B(10，5).‎ 设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，‎ 则有⇒A′(1，7)，‎ ‎∵点A′(1，7)，B(10，5)在直线BC上，∴＝，‎ 故BC边所在直线的方程是2x＋9y－65＝0.‎ 点评　(1)两条直线平行与垂直的判定 ‎①若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1；‎ ‎②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.‎ ‎(2)求直线方程的常用方法 ‎①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；‎ ‎②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.‎ 变式训练1　已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.‎ ‎(1)求直线l的方程；‎ ‎(2)求直线l关于原点O对称的直线方程.‎ 解　(1)由解得 所以点P的坐标是(－2，2)，又因为直线x－2y－1＝0，‎ 即y＝x－的斜率为k′＝，‎ 由直线l与x－2y－1＝0垂直可得kl＝－＝－2，‎ 故直线l的方程为：y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)直线l的方程2x＋y＋2＝0在x轴、y轴上的截距分别是－1与－2，‎ 则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，‎ 所求直线方程为＋＝1，即2x＋y－2＝0.‎ 题型二　圆的方程 例2　(1)(2015·湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.‎ ‎①圆C的标准方程为________________.‎ ‎②圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.‎ 答案　①(x－1)2＋(y－)2＝2　②－－1‎ 解析　①由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝2＋12＝2，解得r＝.‎ 所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.‎ ‎②方法一　令x＝0，得y＝±1，所以点B(0， ＋1).又点C(1， )，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(＋1)＝x－0，即y＝x＋(＋1).‎ 令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.‎ 方法二　令x＝0，得y＝±1，所以点B(0，＋1).又点C(1，)，设过点B的切线方程为y－(＋1)＝kx，即kx－y＋(＋1)＝0.由题意，得圆心C(1，)到直线kx－y＋(＋1)＝0的距离d＝＝r＝，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(＋1)＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.‎ ‎(2)已知圆C经过点A(2，－1)，并且圆心在直线l1：y＝－2x上，且该圆与直线l2：y＝－x＋1相切.‎ ‎①求圆C的方程；‎ ‎②求以圆C内一点B为中点的弦所在直线l3的方程.‎ 解　①设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 则　解得 故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.‎ ‎②由①知圆心C的坐标为(1，－2)，‎ 则kCB＝＝－.‎ 设直线l3的斜率为k3，由k3·kCB＝－1，可得k3＝2.‎ 故直线l3的方程为y＋＝2(x－2)，‎ 即4x－2y－13＝0.‎ 点评　求圆的方程的两种方法 ‎(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.‎ ‎(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.‎ 变式训练2　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.‎ ‎(1)求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.‎ 解　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).‎ 因为P点在圆x2＋y2＝4上，‎ 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，‎ 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.‎ 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.‎ 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，‎ 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，‎ 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.‎ 题型三　直线与圆的位置关系、弦长问题 例3　(1)(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.2 答案　C 解析　根据直线与圆的位置关系求解.‎ 由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1).‎ ‎∴|AC|2＝36＋4＝40.‎ 又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.‎ ‎∴|AB|＝6.‎ ‎(2)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.‎ ‎①写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；‎ ‎②是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB(O为坐标原点).若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.‎ 解　①圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，‎ 则圆心C的坐标为(1，－2)，半径为3.‎ ‎②假设存在这样的直线m，‎ 根据题意可设直线m：y＝x＋b.‎ 联立直线与圆的方程 得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，‎ 因为直线与圆相交，所以Δ>0，‎ 即b2＋6b－9