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第31练　椭圆问题中最值得关注的基本题型 ‎[题型分析·高考展望]　椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解.‎ 体验高考 ‎1.(2015·广东)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m等于(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.9‎ 答案　B 解析　由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.‎ ‎2.(2015·福建)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.‎ ‎∵|AF|＋|BF|＝4，‎ ‎∴|AF|＋|AF0|＝4，‎ ‎∴a＝2.‎ 设M(0，b)，则≥，‎ ‎∴1≤b＜2.‎ 离心率e＝＝＝ ＝ ∈，‎ 故选A.‎ ‎3.(2016·课标全国丙)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，‎ 与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.‎ ‎4.(2015·浙江)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).‎ 解　(1)由题意知m≠0，‎ 可设直线AB的方程为y＝－x＋b.‎ 由消去y，‎ 得x2－x＋b2－1＝0.‎ 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①‎ 将线段AB中点M 代入直线方程y＝mx＋，‎ 解得b＝－，②‎ 由①②得m＜－或m＞.‎ ‎(2)令t＝∈∪，‎ 则|AB|＝·，‎ 且O到直线AB的距离为d＝.‎ 设△AOB的面积为S(t)，‎ 所以S(t)＝|AB|·d＝ ≤.‎ 当且仅当t2＝时，等号成立.‎ 故△AOB面积的最大值为.‎ ‎5.(2016·北京)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.‎ ‎(1)解　由已知＝，ab＝1.‎ 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　由(1)知，A(2，0)，B(0，1).‎ 设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1.‎ 当x0≠0时，直线PA方程为y＝(x－2)，‎ 令x＝0得yM＝.‎ 从而|BM|＝|1－yM|＝.‎ 直线PB方程为y＝x＋1，‎ 令y＝0得xN＝.‎ ‎∴|AN|＝|2－xN|＝.‎ ‎∴|AN|·|BM|＝·＝· ‎＝＝＝4.‎ 当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，‎ ‎∴|AN|·|BM|＝4.‎ 故|AN|·|BM|为定值.‎ 高考必会题型 题型一　利用椭圆的几何性质解题 例1　如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值.‎ 解　设P点坐标为(x0，y0).由题意知a＝2，‎ ‎∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.‎ 所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.‎ 又F(－1，0)，A(2，0)，＝(－1－x0，－y0)，‎ ＝(2－x0，－y0)，‎ ‎∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.‎ 当x0＝2时，·取得最小值0，‎ 当x0＝－2时，·取得最大值4.‎ 点评　熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.‎ 变式训练1　如图，F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)若△AF1B的面积为40，求椭圆C的方程.‎ 解　(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，‎ a＝2c，所以e＝.‎ ‎(2)方法一　a2＝4c2，b2＝3c2，‎ 直线AB的方程可为y＝－(x－c)，‎ 将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，‎ 得B(c，－c)，‎ 所以|AB|＝·|c－0|＝c，‎ 由＝|AF1|·|AB|sin ∠F1AB ‎＝a·a·＝a2＝40，‎ 解得a＝10，b＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ 方法二　设|AB|＝t，因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a，‎ 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，‎ 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，‎ t＝a，由＝|AF1|·|AB|sin ∠F1AB ‎＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ 题型二　直线与椭圆相交问题 例2　(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，)在C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.‎ ‎(1)解　由题意得＝，＋＝1，‎ 解得a2＝8，b2＝4.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).‎ 将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.‎ 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.‎ 于是直线OM的斜率kOM＝＝－，‎ 即kOM·k＝－.‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.‎ 点评　解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式.‎ 变式训练2　椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过其右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设点P是椭圆C的一个动点，直线l：y＝x＋与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值.‎ 解　(1)∵椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，‎ ‎∴e＝＝，∴2c＝a，即4c2＝3a2，‎ 又∵过椭圆右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2，‎ ‎∴＋＝1，∴＋＝1，‎ 即b2＝4，又a2－b2＝c2，‎ ‎∴a2＝b2＋c2＝4＋a2，即a2＝16，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)联立直线l：y＝x＋与椭圆C的方程，‎ 得消去y，‎ 整理可得7x2＋12x－52＝0，‎ 即(7x＋26)(x－2)＝0，解得x＝2或x＝－，‎ ‎∴不妨设A(2，)，B(－，－)，‎ 则|AB|＝ ＝，‎ 设过P点且与直线l平行的直线L的方程为y＝x＋C，L与l的距离就是P点到AB的距离，‎ 即△PAB的边AB上的高，只要L与椭圆相切，‎ 就有L与边AB的最大距离，即得最大面积.‎ 将y＝x＋C代入＋＝1，‎ 消元整理可得：7x2＋8Cx＋16C2－64＝0，‎ 令判别式Δ＝(8C)2－4×7×(16C2－64)＝－256C2＋28×64＝0，‎ 解得C＝± ＝± .‎ ‎∴L与AB的最大距离为＝，‎ ‎∴△PAB面积的最大值为××＝(2＋).‎ 题型三　利用“点差法，设而不求思想”解题 例3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点.‎ ‎(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；‎ ‎(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.‎ 解　(1)由已知得b＝4，且＝，即＝，‎ ‎∴＝，解得a2＝20，‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.‎ 则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，‎ 消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，‎ ‎∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.‎ ‎(2)如图，椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，‎ 由三角形重心的性质知＝2，‎ 又B(0，4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2，‎ 即得Q的坐标为(3，－2).‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，‎ 且＋＝1，＋＝1，‎ 以上两式相减得＋＝0，‎ ‎∴kMN＝＝－·＝－×＝，‎ 故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，‎ 即6x－5y－28＝0.‎ 点评　当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解.‎ 变式训练3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)，焦点在直线x－2y－2＝0上，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)过P(3，1)作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程.‎ 解　(1)∵椭圆＋＝1(a>b>0)，‎ 焦点在直线x－2y－2＝0上，‎ ‎∴令y＝0，得焦点(2，0)，∴c＝2，‎ ‎∵离心率e＝＝，∴＝，‎ 解得a＝4，∴b2＝16－4＝12，‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎∵过P(3，1)作直线l与椭圆交于A，B两点，‎ P为线段AB的中点，‎ ‎∴由题意，x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，‎ ‎∴＋＝0，‎ ‎∴kl＝＝－，‎ ‎∴l的方程为y－1＝－(x－3)，‎ 即9x＋4y－31＝0.‎ 高考题型精练 ‎1.(2016·课标全国乙)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b.‎ 在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，‎ 即cb＝a·b，代入解得a2＝4c2，‎ 故椭圆离心率e＝＝，故选B.‎ ‎2.已知椭圆＋＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1，1)为椭圆内一点，点P为椭圆上一点，则|PA|＋|PF1|的最大值是(　　)‎ A.6 B.6＋2 C.6－ D.6＋ 答案　D 解析　|PA|＋|PF1|＝|PA|＋2a－|PF2|≤2a＋|AF2|＝6＋，‎ 当P，A，F2共线时取最大值，故选D.‎ ‎3.已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0，2)，当△APF的周长最大时，直线AP的方程为(　　)‎ A.y＝－x＋2 B.y＝x＋2 C.y＝－x＋2 D.y＝x＋2 答案　D 解析　椭圆＋＝1中a＝3，b＝，c＝＝2，‎ 由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF′|‎ ‎＝4＋6＋|PA|－|PF′|≤10＋|AF′|‎ ‎(A，P，F′三点共线，且P在AF′的延长线上时，取等号)，‎ 直线AP的方程为＋＝1，‎ 即y＝x＋2，故选D.‎ ‎4.如果椭圆＋＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是(　　)‎ A.x－2y＝0 B.x＋2y－4＝0‎ C.2x＋3y－14＝0 D.x＋2y－8＝0‎ 答案　D 解析　设这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 斜率为k，则 两式相减再变形得＋k＝0，‎ 又弦中点坐标为(4，2)，故k＝－，‎ 故这条弦所在的直线方程为y－2＝－(x－4)，‎ 整理得x＋2y－8＝0，故选D.‎ ‎5.设F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　∵线段PF1的中点在y轴上，‎ 设P的横坐标为x，F1(－c，0)，∴－c＋x＝0，‎ ‎∴x＝c，∴P与F2的横坐标相等，‎ ‎∴PF2⊥x轴，‎ ‎∵∠PF1F2＝30°，∴|PF2|＝|PF1|，‎ ‎∵|PF2|＋|PF1|＝2a，∴|PF2|＝a，‎ tan ∠PF1F2＝＝＝，‎ ‎∴＝，∴e＝＝.‎ ‎6.过点M(0，1)的直线l交椭圆C：＋＝1于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当△ABF1周长最大时，直线l的方程为______________.‎ 答案　x＋y－1＝0‎ 解析　设右焦点为F2(1，0)，则|AF1|＝4－|AF2|，|BF1|＝4－|BF2|，‎ 所以|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝8＋|AB|－(|AF2|＋|BF2|)，‎ 显然|AF2|＋|BF2|≥|AB|，‎ 当且仅当A，B，F2共线时等号成立，‎ 所以当直线l过点F2时，△ABF1的周长取最大值8，‎ 此时直线方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.‎ ‎7.(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.‎ 答案　 解析　联立方程组解得B、C两点坐标为 B，C，又F(c，0)，‎ 则＝，＝，‎ 又由∠BFC＝90°，可得·＝0，代入坐标可得：‎ c2－a2＋＝0， ①‎ 又因为b2＝a2－c2.‎ 代入①式可化简为＝，‎ 则椭圆离心率为e＝＝＝.‎ ‎8.P为椭圆＋＝1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2＝1的任一条直径，则·的取值范围是________.‎ 答案　[3，15]‎ 解析　圆心C(1，0)为椭圆的右焦点，‎ ·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－1，‎ 显然||∈[a－c，a＋c]＝[2，4]，‎ 所以·＝||2－1∈[3，15].‎ ‎9.设椭圆的中心为原点O，焦点在x轴上，上顶点为A(0，2)，离心率为.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设B1(－2，0)，B2(2，0)，过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程.‎ 解　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ ‎∵＝，∴1－＝，‎ 即＝，又∵b2＝4，∴a2＝20，‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意知直线l的倾斜角不为0，‎ 故可设直线l的方程为：x＝my－2.‎ 代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝，y1·y2＝－，‎ 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，‎ 所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2‎ ‎＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－－＋16＝－，‎ 由PB2⊥QB2得·＝0，‎ 即16m2－64＝0，解得m＝±2，‎ ‎∴直线l的方程为x＝±2y－2，即x±2y＋2＝0.‎ ‎10.(2016·课标全国乙)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ 解　(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.‎ 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.‎ 由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：＋＝1(y≠0).‎ ‎(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).‎ 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以|MN|＝|x1－x2|＝.‎ 过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，‎ 点A到m的距离为，‎ 所以|PQ|＝2＝4.‎ 故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.‎ 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8).‎ 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.‎ 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8).‎ ‎11.(2015·安徽)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)‎ ‎，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率e；‎ ‎(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，‎ 证明：MN⊥AB.‎ ‎(1)解　由题设条件知，点M的坐标为，‎ 又kOM＝，从而＝.‎ 进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.‎ ‎(2)证明　由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝，‎ 又＝(－a，b)，‎ 从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2).‎ 由(1)的计算结果可知a2＝5b2，‎ 所以·＝0，故MN⊥AB.‎