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第三章 函 数
第四讲 二次函数
玩转广东省卷6年中考真题（2011~2016）
命题点1 二次函数的图象及性质(省卷6年5考)
1. (2014省卷10，3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是( )
A. 函数有最小值
B. 对称轴是直线x＝
C. 当x＜时，y随x的增大而减小
D. 当－1＜x＜2时，y＞0
第1题图
【拓展猜押】已知二次函数y＝x2－4x＋a，下列说法错误的是( )
A. 当x＜1时，y随x的增大而减小
B. 若图象与x轴有交点，则a≤4
C. 当a＝3时，不等式x2－4x＋a＞0的解集是1＜x＜3
D. 若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，
－2)，则a＝－3
命题点3 二次函数与方程、不等式的关系(省卷仅2011年考查)
2. (2011省卷15，6分)已知抛物线y＝x2＋x＋c与x轴没有交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx＋1经过的象限，并说明理由．
命题点4 二次函数综合题(省卷6年3考)
3. (2013省卷23，9分)已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
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第3题图
4. (2012省卷22，9分)如图，抛物线y＝x2－x－9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.
(1)求AB和OC的长；
(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留π)．
第4题图
5. (2011省卷22，9分)如图，抛物线y＝－x2＋x＋1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0)．
(1)求直线AB的函数关系式；
(2)动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向点C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O、点C重合的情况)，连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否为菱形？请说明理由．
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第5题图
【答案】
1．D 【解析】A.由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B.由图象可知，对称轴为x＝，正确，故本选项不符合题意；C.因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D.由图象可知，当－1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．
【拓展猜押】 C 【解析】∵y＝x2－4x＋a，∴对称轴x＝2，画二次函数的草图如解图，A.当x＜1时，y随x的增大而减小，所以A选项正确；B.∵b2－4ac＝16－4a≥0，即a≤4时，二次函数和x轴有交点，所以B选项正确；C.当a＝3时，不等式x2－4x＋a＞0的解集是x＜1或x＞3，所以C选项错误；D.y＝x2－4x＋a配方后是y＝(x－2)2＋a－4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y＝(x＋1)2＋a－3，把(1，－2)代入函数解析式，易求a＝－3，所以D选项正确，故选C.
拓展猜押题解图
2．解：(1)∵抛物线y＝x2＋x＋c与x轴没有交点，
∴方程x2＋x＋c＝0无解，…………………………………(2分)
即b2－4ac＝1－2c＜0，解得c＞；…………………………(3分)
(2)直线y＝cx＋1经过一、二、三象限，理由如下：
∵c＞＞0，则一次函数y＝cx＋1中c＞0，b＝1＞0，
∴直线y＝cx＋1经过一、二、三象限．……………………(6分)
3．解：(1) 把点O(0，0)代入解析式y＝x2－2mx＋m2－1，
得0＝m2－1，解得m＝±1，
∴二次函数解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；……………(3分)
(2)当m＝2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴点D的坐标为(2，－1)，
当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标为(0，3)；………………………………………(6分)
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(3)存在．………………………………………………………(7分)
如解图，连接CD，交x轴于点P，则点P为所求．
设直线CD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点C(0，3)、D(2，
－1)代入，得
，解得，
∴直线CD的解析式为y＝－2x＋3.
当y＝0时，－2x＋3＝0，x＝，
∴P点的坐标为(，0)．………………………………………(9分)
第3题解图
4．解：(1)令y＝0，则有x2－x－9＝0，
解得x1＝－3，x2＝6，
∴点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(6，0)，
∴AB＝9，………………………………………………………(1分)
∵抛物线与y轴的交点坐标是(0，－9)，
∴OC＝9；……………………………………………………(2分)
(2)设△ADE的边AE上的高为h，
∵直线l∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴h＝m，………………………………………………………(4分)
∴S＝m2(0＜m＜9)；…………………………………………(5分)
(3)∵＝－＝m－m2
＝－(m－)2＋(0＜m＜9)，
∴当m＝时，△CDE的面积最大，最大面积是，………(7分)
∴BE＝AB－AE＝，
∴＝××9＝，
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∵BC＝＝＝3，
∴点E到BC的距离为2×÷3＝，
∴以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为π×()2＝π.
…………………………………………………………………(9分)
5．解：(1)设直线AB的函数关系式为y＝ax＋b(a≠0)，
对于抛物线y＝－x2＋x＋1，
令x＝0，得y＝1，即有A(0，1)，
将点A的坐标代入直线AB的函数关系式，得b＝1，
令x＝3，得y＝，即有B(3，)，
将点B的坐标代入直线AB的函数关系式，得a＝，
∴直线AB的函数关系式为y＝x＋1；………………………(3分)
(2)显然OP＝t，即P(t，0)，
将x＝t代入抛物线解析式可得y＝－t2＋t＋1，
即N(t，－t2＋t＋1)，
将x＝t代入直线AB的函数关系式可得y＝t＋1，
即M(t，t＋1)，
∴s＝MN＝－t2＋t＋1－(t＋1)，
∴s＝－t2＋t(0≤t≤3)；……………………………………(6分)
(3)显然NM∥BC，
∴要使得四边形BCMN为平行四边形，只要MN＝BC，
即s＝－t2＋t＝，
解得t＝1或t＝2.
①当t＝1时，M(1，)，
∴MP＝，CP＝OC－OP＝2.
在Rt△MPC中，CM＝＝＝BC，
∴四边形BCMN为菱形；
②当t＝2时，M(2，2)，
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∴MP＝2，CP＝1.
在Rt△MPC中，CM＝＝≠BC.
∴四边形BCMN不是菱形．
综上，当t＝1或t＝2时，四边形BCMN为平行四边形；当t＝1
时，平行四边形BCMN为菱形．……………………………(9分)
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