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课时提升作业 九
二维形式的柯西不等式
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(2016·泰安高二检测)若3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是 ( )
A.[0,] B.[-,0]
C.[-,] D.[-5,5]
【解析】选C.|3x+2y|≤·≤,从而-≤3x+2y≤.
2.设a,b∈R,a2+b2=3,则3a-b的最大值为 ( )
A.30 B.-30 C. D.-
【解析】选C.3a-b=3a+(-1)·b≤·==,当且仅当3b=-a,即a=,b=-时等号成立.
3.(2016·长春高二检测)已知a,b,c,d,m,n都是正实数,P=+,
Q=·,则P与Q的大小关系为 ( )
A.P≤Q B.P0,y>0,且+=1,则2x+y的最小值为________.
【解析】2x+y=(2x+y)
=[()2+()2]
≥
=3+2,
当且仅当·=·时,等号成立,
又+=1,则此时
答案:3+2
【一题多解】2x+y=(2x+y)
=++3≥2+3
=2+3.
当且仅当=,即2x2=y2时取等号.
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又+=1,
则此时
答案:2+3
【拓展延伸】利用柯西不等式的关键
利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别对数字1的增补:a=1·a)、变形等.
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.(2016·天津高二检测)已知m>0,n>0,m+n=p,
求证:+≥,指出等号成立的条件.
【解析】根据柯西不等式,得(m+n)≥=4,
于是+≥=,
当m=n=时等号成立.
7.求函数f(x)=-的最大值.
【解题指南】由二维形式的三角不等式稍作变化,
即得-≤
.
【解析】由于f(x)=-
=-
=-≤=.
8.已知函数f(x)=|x-4|.
(1)若f(x)≤2,求x的取值范围.
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(2)在(1)的条件下,求g(x)=2+的最大值.
【解析】(1)由已知得,|x-4|≤2,即-2≤x-4≤2,
即2≤x≤6,即x的取值范围为[2,6].
(2)由2≤x≤6可得g(x)=2+,
由柯西不等式,
得g(x)≤=2.
当且仅当=,即x=时,g(x)的最大值为2.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知a,b,x1,x2为互不相等的正数,若y1=,y2=,则y1y2与x1x2的关系为 ( )
A.y1y2x1x2 D.不能确定
【解析】选C.因为a,b,x1,x2为互不相等的正数,
所以y1y2=·=
=
>==x1x2.
【补偿训练】已知a,b∈R,且P=,Q=,则P,Q的大小关系是 ( )
A.P≥Q B.P>Q
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C.P≤Q D.P0,y>0,且x+y=2,求+的最小值.
【解题指南】利用柯西不等式求最小值,需要出现(a2+b2)(c2+d2)的结构,我们把+看作一部分,利用x+y=2构造出一部分(2-x+2-y).
【解析】因为x+y=2,根据柯西不等式,有
[(2-x)+(2-y)]=
[()2+()2][()2+()2]
≥=(x+y)2=4,
所以+≥
===2.
当且仅当·=·,
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即x=y=1时,等号成立.
所以当x=y=1时,+有最小值2.
6.求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.
【证明】设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.
因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0.由柯西不等式,得
(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]
≥[A(x-x0)+B(y-y0)]2
=[(Ax+By)-(Ax0+By0)]2
=(Ax0+By0+C)2,
所以|PQ|≥.
当且仅当=时,取等号,|PQ|取得最小值.
因此,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.
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