第1课时　等边三角形的性质与判定.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎13.3.2　等边三角形 第1课时　等边三角形的性质与判定 ‎01　　基础题 知识点1　等边三角形的性质 ‎1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(A)‎ A．60° B．90° C．120° D．150°‎ ‎2．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A)‎ A．100° B．80° C．60° D．40°‎ ‎3．如图，△ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝90°，∠CBD＝30°.‎ ‎　　‎ ‎4．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝3．‎ ‎5．如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝75°．‎ ‎　　‎ ‎6．如图所示，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.求证：BF＝EF.‎ 证明：∵BD是等边△ABC的中线，‎ ‎∴BD平分∠ABC.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠DBE＝∠ABC＝30°.‎ 又∵CE＝CD，‎ ‎∴∠E＝∠ACB＝30°.‎ ‎∴∠DBE＝∠E.‎ ‎∴DB＝DE.‎ ‎∵DF⊥BE，‎ ‎∴DF为底边上的中线．‎ ‎∴BF＝EF.‎ 知识点2　等边三角形的判定 ‎7．下列推理错误的是(B)‎ A．在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形 B．在△ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形 C．在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形 D．在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形 ‎8．在△ABC中，AB＝BC，∠B＝∠C，则∠A的度数是60°．‎ ‎9．如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形．‎ 证明：∵DC＝DB，‎ ‎∴∠B＝∠DCB＝30°，‎ ‎∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.‎ 又∵AD＝DC，‎ ‎∴△ADC是等边三角形．‎ ‎10．如图所示，锐角△ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎△ABC是等边三角形．‎ 证明：∵OB＝OC，‎ ‎∴∠OBC＝∠OCB.‎ ‎∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，‎ ‎∴∠BEC＝∠BDC＝90°.‎ 又∵∠BOE＝∠COD，‎ ‎∴∠EBO＝∠DCO.‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB.‎ ‎∴AB＝AC.‎ ‎∴△ABC是等腰三角形．‎ ‎∵∠A＝60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎ ‎02　　中档题 ‎11．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确结论的个数为(A)‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎12．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于P，连接CD，分别交BE，AE于Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为(B)‎ A．45° B．60° C．75° D．90°‎ ‎　　　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎13．如图，将边长为5 cm的等边△ABC，沿BC向右平移3 cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是等边三角形，DM＝3cm.‎ ‎14．如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.‎ ‎(1)求证：AE＝CF；‎ ‎(2)求∠ACF的度数．‎ 解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝CB，∠ABE＋∠EBC＝60°.‎ ‎∵△BEF是等边三角形，‎ ‎∴EB＝FB，∠CBF＋∠EBC＝60°.‎ ‎∴∠ABE＝∠CBF.‎ 在△ABE和△CBF中，‎ ，‎ ‎∴△ABE≌△CBF(SAS)．∴AE＝CF.‎ ‎(2)∵等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°.‎ ‎∵△ABE≌△CBF，‎ ‎∴∠BCF＝∠BAE＝30°.‎ ‎∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝30°＋60°＝90°.‎ ‎03　　综合题 ‎15．(泰安中考)(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)．求证：BE＝AD；‎ ‎(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由．‎ 图1　　　　　　　图2‎ 解：(1)证明：过点D作BC的平行线交AC于点F.‎ ‎∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°.‎ ‎∵DF∥BC，‎ ‎∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∠FDC＝∠DCE.‎ ‎∴△ADF是等边三角形．‎ ‎∴AD＝DF，∠AFD＝60°.‎ ‎∴∠DFC＝180°－60°＝120°.‎ ‎∵∠EBD＝180°－60°＝120°，∴∠DFC＝∠EBD.‎ ‎∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，‎ ‎∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.‎ ‎∴△DBE≌△CFD(AAS)．‎ ‎∴BE＝DF.∴BE＝AD.‎ ‎(2)BE＝AD成立．理由如下：‎ 过点D作DG∥BC交AC的延长线于点G.‎ 同(1)可证△ADG是等边三角形，‎ ‎∴AD＝DG，∠AGD＝60°.‎ ‎∵∠DBE＝∠ABC＝60°，‎ ‎∴∠DBE＝∠AGD.‎ ‎∵∠GDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，‎ ‎∴∠GDC＝∠DEC，ED＝CD.‎ ‎∴△DBE≌△CGD(AAS)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BE＝DG.∴BE＝AD.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费