（江苏版）2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题3.2 利用导数研究函数的极值与最值（讲）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专题3.2 利用导数研究函数的极值与最值 ‎【考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A　　‎ B　　‎ C　　‎ 导数及其应用　　‎ 利用导数研究函数的单调性与极值 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎【直击考点】‎ 题组一　常识题 ‎1．[教材改编] 函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间是______________．‎ ‎【解析】 f′(x)＝ex－2，令f′(x)>0，解得x>ln 2，则函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间为(ln 2，＋∞)．‎ ‎2．[教材改编] 函数f(x)＝x3－12x的极小值是________，极大值是________．‎ ‎【解析】 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，‎ ‎3．[教材改编] 一条长为‎2a的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长分别是________，________．‎ ‎【解析】设两段铁丝的长分别为x，‎2a－x.则两个正方形的面积之和为S＝＋＝－＋，则S′(x)＝－，令S′(x)＝0得x＝a.当x0.所以S在x＝a处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是a.‎ 题组二　常错题 ‎4．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为______________．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】 y＝x2－ln x，y′＝x－＝＝(x>0)．令y′＜0，得00时，－ex0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．‎ ‎②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.‎ x∈(－∞，ln a)，f′(x)0，‎ 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，‎ 故f(x)在x＝ln a处取得极小值，‎ 且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 综上，当a ≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．‎ ‎【2-2】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝__________.‎ ‎【答案】18‎ ‎【思想方法】‎ 求函数极值的步骤:‎ ‎(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)求方程f′(x)＝0的根；‎ ‎(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；‎ ‎(4)由f′(x)＝0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况．‎ ‎【温馨提醒】判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．‎ 考点3 运用导数求函数的最值 【3-1】 已知函数f(x)＝(x－k)ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．‎ ‎【答案】(1) 单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2) (1－k)e. ‎ ‎【解析】(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.‎ 令f′(x)＝0，得x＝k－1.‎ f(x)与f′(x)的情况如下：‎ x ‎(－∞，k－1)‎ k－1‎ ‎(k－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  ‎－ek－1‎  所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；‎ 当0