（江苏版）2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题3.2 利用导数研究函数的极值与最值（练）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专题3.2 利用导数研究函数的极值与最值 基础巩固题组 一、填空题 ‎1．下列函数：‎ ‎①y＝x3；②y＝ln(－x)；③y＝xe－x；④y＝x＋.‎ 其中，既是奇函数又存在极值的是________(填序号)．‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】由题意可知，②，③中的函数不是奇函数，①中，函数y＝x3单调递增(无极值)，④中的函数既为奇函数又存在极值．‎ ‎2．(2017·海门中学适应性训练)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________.‎ ‎【答案】5‎ ‎3．(2016·北京卷改编)设函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】当x>0时，f(x)＝－2x0，则t＝ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．‎ ‎5．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 令f′(x)＝－a＝0，得x＝，‎ 当0时，f′(x)0时，－ex0)．‎ ‎(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎10．(2017·衡水中学二调)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．‎ ‎(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；‎ ‎(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值．‎ 解　(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e.‎ 又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，‎ 故切线的斜率为g′(1)＝4e.‎ 所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.‎ ‎(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极小值  ‎①当t≥时，在区间 [t，t＋2]上f(x)为增函数，‎ 所以f(x)min＝f(t)＝tln t.‎ ‎②当00；②a>0，b0，b>0，c>0，d0，f(0)＝d>0.‎ 又x1，x2是函数f(x)的极值点，‎ 且f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0，‎ ‎∴x1，x2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．‎ 由图象知，x1>0，x2>0‎ ‎∴因此b0.‎ ‎13．(2017·镇江期末)若函数f(x)＝－2x3＋2tx2＋1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为________．‎ ‎【答案】 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14．(2017·苏北四市调研)如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数模型y＝x＋(1≤x≤9)，设 PM＝x，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元．题中所涉及长度单位均为百米．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价．‎ 解　(1)在题图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为y＝x＋(1≤x≤9)，PM＝x，所以点P坐标为，‎ 直线OB的方程为x－y＝0，‎ 则点P到直线x－y＝0的距离为＝＝，又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．‎ 则两条道路总造价为f(x)＝5x＋40·＝5 (1≤x≤9)．‎ ‎(2)因为f(x)＝5，‎ 所以f′(x)＝5＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 令f′(x)＝0，解得x＝4，列表如下：‎ x ‎(1,4)‎ ‎4‎ ‎(4,9)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极小值  所以当x＝4时，函数f(x)有最小值，且最小值为f(4)＝5＝30，即当x＝4时，总造价最低，最低造 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费