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专题3.2 利用导数研究函数的极值与最值
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
(满分100分,测试时间50分钟)
一、填空题:请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题,每小题6分,共计60分).
1. 【2017课标II,理11改编】若是函数的极值点,则的极小值为______
【答案】
【解析】
2. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】对于函数,若存在区间,当时的值域为(),则称为倍值函数.若是倍值函数,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】
试题分析:由题意得有两个不同的解,,则,因此当时,,当时,,从而要使有两个不同的解,需
3. 【南京市2017届高三年级学情调研】已知函数,当时,的取值范围为,则实数的取值范围是 .
【答案】[-2,8]
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【解析】
试题分析:,;由,所以当时,;当时,;当时,;因此实数的取值范围是
4. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数在处取得极小值10,则的值为 ▲ .
【答案】
【解析】
5. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】定义在上的可导函数,已知的图象如图所示,则的增区间是 ▲ .
【答案】(﹣∞,2)
【解析】
试题分析:由,,所以的增区间是(﹣∞,2)
6. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】若实数满足,则的最小值为 ▲ .
【答案】5
【解析】
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7. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知函数,若函数在上有极值,则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】
试题分析:由题意得在上有零点,即
8. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】已知函数,当时,的取值范围为,则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
试题分析: 因为当时,,所以当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;函数在处取最小值.画出函数的图象,结合函数的图象可以看出当,函数总能取到最小值,故应填答案.
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9.已知函数 ,如果当时,不等式恒成立,则实数的取值范围________.
【答案】
10.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】因为函数有两个极值点,由.所以有两个不同的正实数根,令,所以.令所以(小于零不成立).所以可得,解得.综上所以.
二、解答题:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。(共4题,每小题10分,共计40分).
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11.若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.
【答案】(1) a=0,b=-3. (2) g(x)的极值点为-2.
【解析】(1)由题设知f′(x)=3x2+2ax+b,且f′(-1)=3-2a+b=0,
f′(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x.因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g′(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,于是函数g(x)的极值点只可能是1或-2.
当x<-2时,g′(x)<0;当-2<x<1时,g′(x)>0,故-2是g(x)的极值点.
当-2<x<1或x>1时,g′(x)>0,故1不是g(x)的极值点.
所以g(x)的极值点为-2
12.【2016高考新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数的单调性,并证明当时,;
(Ⅱ)证明:当时,函数有最小值.设的最小值为,求函数的值域.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
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因此,存在唯一使得即,
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13. 【2016高考天津理数】(本小题满分14分)
设函数,,其中
(I)求的单调区间;
(II) 若存在极值点,且,其中,求证:;
(Ⅲ)设,函数,求证:在区间上的最大值不小于.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)详见解析
【解析】(Ⅰ)解:由,可得.
下面分两种情况讨论:
(1)当时,有恒成立,所以的单调递增区间为.
(2)当时,令,解得,或.
当变化时,,的变化情况如下表:
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.
(Ⅱ)证明:因为存在极值点,所以由(Ⅰ)知,且,由题意,得,
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,所以.
(2)当时,,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
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14【2016高考江苏卷】
已知函数.
设.
(1)求方程的根;
(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的最大值;
(3)若,函数有且只有1个零点,求的值。
【答案】(1)①0 ②4(2)1
【解析】(1)因为,所以.
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①方程,即,亦即,
所以,于是,解得.
②由条件知.
因为对于恒成立,且,
因而函数在上是单调减函数,在上是单调增函数.
下证.
若,则,于是,
又,且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和之间存在的零点,记为. 因为,所以,又,所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.
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