1
切线长定理与三角形的内心
1. 切线长的概念
经过圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
说明：“切线”和“切线长”是两个不同的概念，“切线”是直线，不可度量，是无限
长的；而“切线长”是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量，是
有一定长度的。
2. 切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切
线的夹角。
符号语言：∵PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，∴PA ＝ PB，∠1＝∠2。
说明：（1）从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切线。
（2）“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依
据。
3. 三角形的内心
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，
是三角形的三个内角角平分线的交点。
说明：⑴三角形的内心一定在三角形的内部；⑵三角形的内心，是三角形的三个内角角
平分线的交点；⑶三角形的内心到三边的距离相等且都等于三角形内切圆的半径。
4. 切线长定理的基本图形研究
如图，P 是⊙O 外一点，PA、PB 是⊙O 的两条切线，直线 OP 交⊙O 于 D、E，交弦 AB 于
C，则：2
⑴由切线长定理得：PA＝PB
⑵由等腰三角形三线合一性质得：PC⊥AB，AC＝BC
⑶由垂径定理得： ；AD＝BD
⑷由切线性质定理得：OA⊥AP，OB⊥BP
⑸∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8
⑹由 AD、BD 分别平分∠PAB 和∠PBA 得点 D 为△ABP 的内心。
例题 如图，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与两直角边 AB、BC 分别相切于点 D、E，过劣弧DE⌒
（不包括端点 D、E）上任一点Ｐ作⊙O 的切线 MN 与 AB、BC 分别交于 点 M、N，若⊙O 的半
径为 r，则 Rt△MBN 的周长为（ ）
A. r B. C. 2r D.
解析：在切线性质定理中，常见的辅助线是连接经过切点的半径，结合切线长定理可知
， ，再根据三角形周长的定义及等量代换即可求解。
解 ： 连 接 OD 、 OE ， 的 内 切 圆 ， ∴ OD ⊥ AB ， OE ⊥ BC 。 又
的切线，且 、 是切点，∴MD＝MP，同理可得 。
＝ BD
＋BE＝2r。 选 C。
答案：C
M
N E
D O
B
A
C
P
AD=BD
r2
3 r2
5
MD MP= NP NE=
O Rt ABC∆ 是
,MD MP O 都是 D P NP NE=
Rt MBNC MB BN NM MB BN NP PM MB MD BN NE∆∴ = + + = + + + = + + +
∴3
点拨：涉及到圆的切线性质定理或判定定理时，最常见的辅助线添法是连接经过切点的
半径，而且半径与切线垂直。对直角三角形来说，内切圆的半径 （a、b 是直
角边， 是斜边）。
利用切线长定理进行推理证明
“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌
握并能灵活应用它进行相关的计算和证明。
满分训练 已知⊙O 中，AC 为直径，MA、MB 分别切⊙O 于点 A、B。
（Ⅰ）如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB 的大小；
（Ⅱ）如图②，过点 B 作 于点 E，交⊙O 于点 D，若 BD＝MA，求∠AMB 的大
小。
图① 图②
解析：（1）由切线与经过切点的半径垂直，∠BAC＝25°，易算∠MAB，再由切线长定
理，可得 MA＝MB，则∠MBA＝∠MAB 得解。（2）连接 BA、BD，可得平行四边形 BMAD 是菱形，
由 ，可得 BA＝AD＝BD，可得⊿BAD 为等边三角形，从而可得∠AMB＝60°。
答案：解：（Ⅰ）∵MA 切⊙O 于点 A，有 。又∠BAC＝25°，
∴ 。∵MA、MB 分别切⊙O 于点Ａ、B。
∴MA＝MB，有 ，∴ 。
（Ⅱ）如图，连接 AD、AB。
∵ ，又 ，∴BD∥MA。又 BD＝MA。 ∴四边形 MADB 是平行四边形。
∵MA ＝ MB ， ∴ 四 边 形 MADB 是 菱 形 ， 有 AD ＝ BD 。 又 AC 为 直 径 ， ， 得
，有 AB＝AD。∴ 是等边三角形，有 。∴在菱形 MADB 中，∠AMB
＝ 。
点拨：利用切线长定理时，恰当的添加辅助线，构造特殊的图形，有利于问题的
快速解决。
2
a b cr
+ −=
c
BD AC⊥
AB AD=
90∠ = °MAC
65∠ = ∠ − ∠ = °MAB MAC BAC
MAB MBA∠ = ∠ 180 ( ) 50∠ = °− ∠ + ∠ = °AMB MAB MBA
MA AC⊥ BD AC⊥
BD AC⊥
AB AD= ABD∆ 60∠ = °D
60∠ = °D4
（答题时间：30 分钟）
1. 一个钢管放在 V 形架内（如图），O 为钢管的圆心。如果钢管的半径为 25 cm，∠MPN＝
60，则 OP＝（ ）
A. 50 cm B. 25 cm C. cm D. 50 cm
2. 如图，O 是△ABC 的内心，过点 O 作 EF∥AB，与 AC、BC 分别交于点 E、F，则（ ）
A. EF＞AE＋BF B. EF＜AE＋BF
C. EF＝AE＋BF D. EF≤AE＋BF
3.如图，AB 为半圆 O 的半径，AD、BC 分别切 于 A、B 两点，CD 切 于点 E，AD 与
CD 相交于 D，BC 与 CD 相交于 C，连接 OD、OC，对于下列结论：① ；②
；③ ；④ ；⑤ 。其中正确
的结论有（ ）
A. ①②⑤ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①④⑤
4. （武汉中考）如图，⊙A 与⊙B 外切于点 D，PC、PD、PE 分别是圆的切线，C、D、E 是
切点，若∠CED＝ °，∠ECD＝ °，⊙B 的半径为 R，则 的长度是（ ）
A. B. C. D.
3 3
x y
( )
90
90 Rx−π ( )
90
90 Ry−π ( )
180
180 Rx−π ( )
180
180 Ry−π
3
350
O O
2OD DE CD=
AD BC CD+ = OD OC= 1
2ABCDS CD OA= 梯形 90DOC∠ = °
∩
DE5
5. 如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，若∠P＝46°，则∠BAC
＝ 。
6. 如图，⊙O 的外切梯形 ABCD 中，若 ，那么 的度数为 。
7. 如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆， E、F、G、H 是切点，点 P 是优弧 EFH 上异于 E、
H 的点。若∠A＝50°，则∠EPH＝ 。
8.（恩施州中考）如图所示，一半径为 1 的圆内切于一个圆心角为 60°的扇形，则扇形
的周长为 。
9. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM、BN 分别与⊙O 相切于点 A、B，CD 交 AM、BN 于点 D、C，
DO 平分∠ADC。
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若 AD＝4，BC＝9，求⊙O 的半径 R。
图6
P
O
H G
F
E
D
C
B
A
BCAD // DOC∠6
10. 如图，AB 是⊙O 的直径， AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点 E，交 AM 于点 D，
交 BN 于点 C，
（1）求证：OD∥BE；（2）如果 OD＝6cm，OC＝8cm，求 CD 的长。
11.（雅安中考）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD＝CB，
延长 CD 交 BA 的延长线于点 E。
（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若 BD 的弦心距 OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影
部分的面积。（结果保留π）7
1. A 解析：由切线长定理知：∠OPN＝ ∠MPN＝30，所以在 Rt△OPN 中，OP＝2ON＝
50 cm，故选 A。
2. C 解析：如下图，连接 OA、OB，则 OA、OB 分别是∠CAB 与∠CBA 的平分线，则∠EAO
＝∠OAB，又 EF∥AB，则∠EOA＝∠OAB＝∠EAO，则 EA＝EO，同理可求出：FO＝FB，则 EF＝
AE＋FB；
3. A 解析：如图，连接 OE，①中结论可由切线性 质及切线长定理可得 OE⊥CD，∠1＝
∠2，∠3＝∠4，所以∠2＋∠3＝90°，可证△OED∽△COD，得 ；根据切线
长定理可得 AD＝DE，BC＝CE，所以 ，③中结论不正确，④中高应该是 AB，
而不是 OA。故选 A。
4. B 解析：由切线长定理，知：PE＝PD＝PC，设∠PEC＝z°，所以，∠PED＝∠PDE＝
（x＋z）°，∠PCE＝∠PEC＝z°，∠PDC＝∠PCD＝（y＋z）°，∠DPE＝（180－2x－2z）
°，∠DPC＝ （180－2y－2z）°，在△PEC 中，2z°＋（180－2x－2z）°＋（180－2y－
2z）°＝180°，
化简，得：z＝（90－x－y）°，在四边形 PEBD 中，∠EBD＝（180°－∠DPE）＝180°
－（180－2x－2z）°＝（2x＋2z）°＝（2x＋180－2x－2y）＝（180－2y）°，所以，弧
DE 的长为： ＝ ，故选 B。
5. 23° 解析：由 PA、PB 是⊙O 是切线，∴PA＝PB，又∠P＝46°，∴∠PAB＝∠PBA＝
67°，又 PA 是⊙O 是切线，AO 为半径，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB
＝90°－67°＝23° 。
6. 90° 解析：∵若 ∴∠ADC＋∠DCB＝180° 又∵DA、DC 与⊙O 相切，∴∠ODC
＋∠OCD＝ （∠ADC＋∠DCB）＝ 90°，∴ ＝90°。
7. 65° 解析：连接 OH、OE，因为⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，所以 OH⊥AD，OE⊥AB，
而∠A＝50º，所以∠HOE＝130º，所以∠EPH＝ ∠HOE＝65º。
( )
90
90 Ry−π
1
2
2OD DE CD=
AD BC CD+ =
(180 2 )
180
y Rπ−
BCAD //
1
2 DOC∠
1
28
8. 6＋π 解析：如图所示：设⊙O 与扇形相切于点 A、B，则∠CAO＝90°，∠ACB＝
30°，
∵一半径为 1 的圆内切于一个圆心角为 60°的扇形，∴AO＝1，∴CO＝2AO＝2，
∴BC＝2＝1＝3，∴扇形的弧长为： ＝π，∴则扇形的周长为：3＋3＋π＝6＋
π。
9. 解析：（1）证明：过点 O 作 OE⊥CD 于点 E。
∵AM 且⊙O 于点 A，∴OA⊥AD。又∵DO 平分∠ADC，∴OE＝OA。又∵OA 是⊙O 的半径。
∴CD 是⊙O 的切线。
（2）解：过点 D 作 DF⊥BC 于点 F。（如上图）∵AM、BN 分别切⊙O 于点 A、B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形 ABFD 是矩形。∴AD＝BF，AB＝DF。又∵AD＝4，BC＝9。
∴FC＝9－4＝5。又∵AM、BN、DC 分别切⊙O 于点 A、B、E。∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝
AD＋BC＝4＋9＝13。在 Rt△DFC 中，DC2＝DF2＋FC2。
∴DF＝ ＝12。∴AB＝12。∴⊙O 的半径 R 是 6。
10. 解析：（1）证明：连接 OE，∵AD 和 DE 是⊙O 的两条切线，∴∠AOD ＝∠EOD＝ ∠
AOE，∵弧 AE 所对的圆心角是∠AOE，弧 AE 所对的圆周角是∠ABE，∴∠ABE＝ ∠AOE，∴∠
AOD ＝∠ABE，∴OD∥BE。
2 2 2 2- 13 5=DC FC －
2
1
2
19
（2）如下图，∵BC 和 CE 是⊙O 的两条切线，∴CE＝CB，∴点 C 是线段 BE 垂直平分线
上的一点，又∵OB＝OE，∴点 O 是线段 BE 垂直平分线上的一点，∴线段 OC 是线段 BE 的垂
直平分线，∴OC⊥BE，∵OD∥ B E；∴OC⊥O D 在 Rt△OCD 中，OD＝6cm，OC＝8cm，根据勾股
定理，得 CD＝ ＝10 cm。
11. 解析：（1） 证明：连接 OD，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°，∵CD＝CB，
∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠O BD＝∠ODB，∴∠ODC ＝∠ABC＝90°，
∴CD 是⊙O 的切线。
（2）在 Rt△OBF 中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60º，OB＝2，BF＝ ，
∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2 ＝ ，∠BOD＝2∠BOF＝120°，
∴S 阴＝S 扇 形 BOD －S△ BOD ＝
22 OCOD +
3
× 3 2 3
2120 2 1 2 3 1360 2
×= − × ×π 4 33
−π
微信/支付宝扫码支付