九年级数学上册专题突破讲练解决方位角问题试题（青岛版）.doc

1 解决方位角问题 方位角 方位角：指北（或指南）方向线与目标方向线所成的小于 90°的角叫做方位角。如图 中的目标方向线 OA、OB、OC 分别表示北偏东 60°，南偏东 30°，北偏西 70°。特别地， 若目标方向线与指北（或指南）的方向线成 45°的角，如图的目标方向线 OD 与正南方向线 成 45°角，通常称为西南方向。 方法归纳：方位角可以看成是将正北或正南方向的射线旋转一定角度而形成的。故在应 用中，一要确定其始边是正北还是正南；二要确定其旋转方向是向东还是向西；三要确定旋 转角度的大小。 总结： 1. 能够根据题意作出方位角，分清图形中的方位角。 2. 合理构造直角三角形，会解与方位角有关的三角函数问题 。 例题 据气象台预报，一强台风的中心位于 A 市的东南方向（36 6＋108 2）km 的海 面上 P 处。目前台风中心以 20km/h 的速度向北偏西 60°的方向移动，距台风中心 50km 的 圆形区域均会受到强袭击。已知 B 市位于 A 市的正南方向 72km 处，C 市位于 B 市的北偏东 60°方向 56km 处。那么，会受到这次强台风袭击的城市是（ ） A. 只有 A 市 B. 只有 B 市 C. B 市和 C 市 D. A 市、B 市和 C 市 解析：分别过点 A、B、C 构造直角三角形，计算点 A、B、C 到直线 PQ 的距离，比较它 北 西 南 东 A B C D O 60¡ã70¡ã 30¡ã 45¡ã B A P Q C ± ±2 们与 50 的大小关系即可。 答案：如图，过 P 作 PO⊥AB 于 O。∠OAP＝∠APO＝45°。∴OA＝OP＝APsin45°＝（36 6＋108 2）× 2 2 ＝（36 3＋108）。BO＝AO－AB＝36 3＋108－72＝（36 3＋36）。设 台风方向 PQ 与 AO 交点为 M，∠MPO＝90°－60°＝30°，OM＝OPtan30°＝（36 3＋108） × 3 3 ＝（36 3＋36）。∴OM＝OB，∴点 M 和 B 重合，∴台风中心必经过 B 市。过 C 作 CD⊥PQ 于 D，∠CBD＝90°－60°＋30°＝60°，CD＝CBsin60°＝56× 3 2 ＝28 3＜50，∴C 市也 受台风影响。过点 A 作 AG⊥PQ 于点 G，AG＝ABsin60°＝72× 3 2 ＝36 3＞ 50，∴A 市不受 台风袭击。选 C。 点拨：解答这类问题时必须要明确两点，一是台风行进的路线，二是某点到台风行进路 线的距离。所以，其解题思路一般都是围绕某条直线和某些点构造直角三角形，运用三角函 数及勾股定理求解。 解答方位角问题一定要结合图形，只要确定了方向线与南北方向线的夹角，就可解决问 题。但关键还是构造直角三角形，将方位角转化为直角三角形的内角。 满分训练 阅读下列材料，并解决后面的问题。 在锐角△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c。过 A 作 AD⊥BC 于 D（如图）， 则 sinB＝ AD c ， sinC ＝ AD b ， 即 AD＝csinB，AD＝ bsinC，于是 csinB＝bsinC，即 b sinB＝ c sinC。 同理有 c sinC＝ a sinA， 所以 a sinA＝ b sinB＝ c sinC。 即：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。 （1）在锐角三角形中，若已知三个元素 a、b、∠A，运用上述结论和有关定理就可以 求出其余三个未知元素 c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 第一步：由条件 a、b、∠A，用关系式__________求出∠B； 第二步：由条件∠A、∠B，用关系式__________求出∠C； 第三步：由条件__________，用关系式__________求出 c。 （2）一艘货轮在 C 处测得灯塔 A 在货轮的北偏西 30°的方向上，随后货轮以 28.4 海 里/时的速度按北偏东 45°的方向航行，半小时后到达 B 处，此时又测得灯塔 A 在货轮的北 偏西 70°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔 A 的距离 AB（结果精确到 0.1，参考数据： sin4 0°＝0.643，sin65°＝0.906，sin70°＝0.940，sin75°＝0.966）。 B M A PO Q C G ± ± D3 解析：（1）只要读清题意，填写此问应该不难；（2）本题要构建出直角三角形，使 得已知和所求的条件都转移到直角三角形中进行计算。 答案：（1） a sinA＝ b sinB；∠A＋∠B＋∠C＝180°；a、∠A、∠C 或 b、∠B、∠C； c sinC ＝ a sinA或 b sinB＝ c sinC。 （2）如图所示，依题意：∠FBC＝180°－∠ECB＝135°，∵∠FBA＝70°，∴∠ABC＝65°， ∴∠A＝180°－∠ACB－∠ABC＝40°，BC＝14.2。过 B 作 BD⊥AC 于 D，在 Rt△BCD 中，∵BC ＝28.4× 1 2＝14.2，∴BD＝BC•sin75°≈13.7，在 Rt△ABD 中，AB＝BD÷sin40°≈21.3（海 里）。 答：货轮距灯塔 A 的距离约为 21.3 海里。 点拨：本题考查了三角函数以及解直角三角形的应用，注意解直角三角形的应用关键是 构建直角三角形，以便把条件和问题都放到直角三角形中进行解决。 一、选择题 1.某时刻海上点 P 处有一客轮，测得灯塔 A 位于客轮 P 的北偏东 30°方向，且相距 20 海 里。客轮以 60 海里/小时的速度沿北偏西 60°方向航行 2 3小时到达 B 处，那么 tan∠ABP＝ （ ）4 A. 1 2 B. 2 C. 5 5 D. 2 5 5 2. 如图，学校在小明家北偏西 30°方向，且距小明家 6 千米，那么学校所在位置 A 点坐 标为（ ） A. （3，3 3） B. （－3，－3 3） C. （3，－3 3） D. （－3，3 3） *3.如图，某天然气公司的主输气管道从 A 市的北偏东 60°方向直线延伸，测绘员在 A 处 测得要安装天然气的 M 小区在 A 市的北偏东 30°方向，测绘员沿主输气管道步行 1000 米到 达点 C 处，测得 M 小区位于点 C 的北偏西 75°方向 ，试在主输气管道上寻找支管道连接点 N，使到该小区铺设的管道最短，此时 AN 的长约是（ ）米 A. 366 B. 650 C. 634 D. 700 **4.一渔船在海岛 A 南偏东 20°方向的 B 处遇险，测得海岛 A 与 B 的距离为 20 海里，渔 船将险情报告给位于 A 处的救援船后，沿北偏西 80°方向向海岛 C 靠近，同时，从 A 处出 发的救援船沿南偏西 10°方向匀速航行，20 分钟后，救援船在海岛 C 处恰好追上渔船，那 么救援船航行的速度为（ ） A. 10 3海里/小时 B. 30 海里/小时 C. 20 3海里/小时 D. 30 3海里/小时 二、填空题 5. 如图，一天，我国一渔政船航行到 A 处时，发现正东方向的我领海区域 B 处有一可疑5 渔船，正在以 16 海里/小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东 60°方向航行， 1.5 小时后，在我领海区域的 C 处截获可疑渔船。我渔政船的航行路程是__________海里。 6. 如图，在港口 M 的南偏西 60°方向有一座小岛 P，一船以每小时 20 千米的速度从港口 M 出发，沿正西方向行驶，半个小时后，这艘船在 A 处测得小岛在船的正南方向，那么小岛 P 与港口 M 相距__________千米。 7. 如图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地经过 C 地沿折线 A→C→B 行驶， 现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶。已知 AC＝10 千米，∠A＝30°，∠B＝45°。则隧 道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走__________千米。（结果保留根号） *8.如图，某海监船向正西方向航行，在 A 处望见一艘正在作业的渔船 D 在南偏西 45°方 向，海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东 45°方向，又航行了半小时到达 C 处，望见 渔船 D 在南偏东 60°方向，若海监船的速度为 50 海里/小时，则 A，B 之间的距离为 __________海里（取 3≈1.7，结果精确到 0.1 海里）。 三、解答题 9. 如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道 AB，现决定从小岛 架一座与观光小道垂直的小桥 PD，小张在小道上测得如下数据：AB＝80.0 米，∠PAB＝3 8.5°，∠PBA＝26.5°。请帮助小张求出小桥 PD 的长并确定小桥在小道上的位置。（以 A， B 为参照点，结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin38.5°＝0.62，cos38.5°＝0.78， tan38.5°＝0.80，sin26.5°＝0.45，cos26.5°＝0.89，tan26.5°＝0.50）6 10.2013 年 3 月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用 生命探测仪在地面 A、B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象。已知 A、B 两点相距 4 米， 探 测线与地面的夹角分别是 30°和 45°，试确定生命所在点 C 的深度。（精确到 0.1 米，参考 数据： 2≈1.41， 3≈1.73） *11. 如图，马路的两边 CF、DE 互相平行，线段 CD 为人行横道，马路两侧的 A、B 两点分 别表示车站和超市。CD 与 AB 所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽 20 米，A， B 相距 62 米，∠A＝67°，∠B＝37°。 （1）求 CD 与 AB 之间的距离； （2）某人从车站 A 出发，沿折线 A→D→C→B 去超市 B，求他沿折线 A→D→C→B 到达 超市比直接横穿马路多走多少米？（参考数据：sin67°≈ 12 13，cos67°≈ 5 13，tan67°≈ 12 5 ， sin37°≈ 3 5，cos37°≈ 4 5，tan37°≈ 3 4） **12. 机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心 O 出发，先沿北偏西 67.4°方向行走 13 米至点 A 处，再沿正南方向行走 14 米至点 B 处，最 后沿正东方向行走至点 C 处，点 B、C 都在圆 O 上。（本题参考数据：sin67.4°＝ 12 13， cos67.4°＝ 5 13， tan67.4°＝ 12 5 ）7 （1）求弦 BC 的长； （2）求圆 O 的半径长。8 1. A 解析：∵灯塔 A 位于客轮 P 的北偏东 30°方向，且相距 20 海里。∴PA＝20，∵客 轮以 60 海里/小时的速度沿北偏西 60°方向航行 2 3小 时到达 B 处，∴∠APB＝90°，BP＝60× 2 3＝40，∴tan∠ABP＝ AP BP＝ 20 40＝ 1 2。 2. D 解析：∵学校在小明家北偏西 30°方向，且距小明家 6 千米，∴∠BOA＝30°，OA ＝6。 ∵∠ABO＝90°，∴AB＝3，OB＝OAcos30°＝3 3。即 A 点坐标为（－3，3 3）。 3. C 解析：如图：过点 M 作 MN⊥AC 于点 N，根据题意得：∠MAN＝60°－30°＝30°， ∠BCM＝75°，∠DCA＝60°，∴∠MCN＝180°－75°－60°＝45°，设 MN＝x 米，在Rt△ AMN 中，AN＝ MN tan30°＝ 3x（米），在 Rt△CMN 中，CN＝ MN tan45°＝x（米），∵AC＝1000 米， ∴ 3x＋x＝1000，解得：x＝500（ 3－1），∴AN＝ 3x≈634（米）。 4. D 解析：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D。设 AC＝x 海里。在△ACD 中，∠ADC＝90°，∠CAD ＝10°＋20°＝30°，∴CD＝ACsin∠CAD＝ 1 2AC＝ 1 2x 海里，AD＝ACcos∠CAD＝ 3 2 x 海里。在 △BCD 中，∠BDC＝90°，∠CBD＝80°－20°＝60°，∴BD＝ CD tan∠CBD＝ 3 6 x 海里。 ∵AD＋BD＝AB，∴ 3 2 x＋ 3 6 x＝20，解得 x＝10 3（海里），∴救援船航行的速度为：10 3 ÷ 20 60＝30 3（海里/小时）。9 5. 24 2 解析：如图，作 CD⊥AB 于点 D，垂足为 D，∵在直角三角形 BCD 中，BC＝ 16×1.5＝24（海里），∠CBD＝45°，∴CD＝BC•sin45°＝24× 2 2 ＝12 2（海里），∴在 直角三角形 ACD 中，AC＝ CD sin30°＝12 2×2＝24 2（海里）。 6. 20 3 3 解析：在直角△APM 中，AM＝20× 1 2＝10 千米，∠P＝60°，则 PM＝ AM sin60°＝ 20 3 3 （千米）。 7. 5＋5 2－5 3 解析：过 C 作 CD⊥AB 于 D，在 Rt△ACD 中，∵AC＝10，∠A＝30°， ∴DC＝ACsin30°＝5，AD＝ACcos30°＝5 3，在 Rt△BCD 中， ∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝ 5，BC＝5 2，则用 AC＋BC－（AD＋BD）＝10＋5 2－（5 3＋5）＝5＋5 2－5 3（千 米）。 8. 67.5 解析：∵∠DBA＝∠DAB＝45°，∴△DAB 是等腰直角三角形，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则 DE＝ 1 2AB，设 DE＝x，则 AB＝2x，在 Rt△CDE 中，∠DCE＝30°，则 CE＝ 3DE＝ 3x，在Rt△BDE 中，∠DAE＝45°，则 DE＝BE＝x，由题意得，CB＝CE－BE＝ 3x－x＝50× 1 2，解得：x＝ 25（ 3 + 1） 2 ，故 AB＝25（ 3＋1）＝67.5（海里）。10 9. 解：设 PD＝x 米，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠BDP＝90°，在 Rt△PAD 中，tan∠PAD＝ x AD， ∴AD＝ x tan38.5°≈ x 0.80＝ 5 4x，在 Rt△PBD 中，tan∠PBD＝ x DB，∴DB＝ x tan26.5°≈ x 0.50＝ 2x，又∵AB＝80.0 米，∴ 5 4x＋2x＝80.0，解得： x≈24.6，即 PD≈24.6 米，∴DB＝2x＝ 49.2。 答：小桥 PD 的长度约为 24.6 米，位于 AB 之间距 B 点约 49.2 米处。 10. 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，设 CD＝x，在 Rt△ACD 中，∠CAD＝30°，则 AD＝ 3CD ＝ 3x，在 Rt△BCD 中，∠CBD＝45°，则 BD＝CD＝x，由题意得， 3x－x＝4，解得：x＝ 4 3－1＝2（ 3＋1）≈5.5。答：生命所在点 C 的深度为 5.5 米。 11. 解：（1）设 CD 与 AB 之间的距离为 x，则在 Rt△BCF 和 Rt△ADE 中， CF BF＝tan37°， DE EA＝tan67°，∴BF＝ CF tan37°＝ 4 3x，AE＝ DE tan67°＝ 5 12x，又∵AB＝62，CD＝20，∴ 4 3x＋ 5 12x＋ 20＝62，解得 x＝24，故 CD 与 AB 之间的距离为 24 米； （2）在 Rt△BCF 和 Rt△ADE 中，∵BC＝ CF sin37°＝24× 5 3＝40，AD＝ DE sin67°＝ 24 12 13 ＝26， ∴AD＋DC＋CB－AB＝40＋20＋26－62＝24（米）。 答：他沿折线 A→D→C→B 到达超市比直接横穿马路多走 24 米。 12. 解：（1）连接 OB，过点 O 作 OD⊥AB，∵AB∥SN，∠AON＝67.4°，∴∠A＝67.4°。 ∴OD＝AO•sin67.4°＝13× 12 13＝12。又∵BE＝OD，∴BE＝12。根据垂径定理，BC＝2×12＝24 （米） （2）∵AD＝AO•cos67.4°＝13× 5 13＝5，∴OD＝ 132－52＝12，BD＝AB－AD＝14－5＝ 9。∴BO＝ 92＋122＝15。故圆 O 的半径长 15 米。11