1
相似三角形的判定
一、比例线段与黄金分割
1. 在四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即
a
b＝
c
d，我们就把这四
条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
2. 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，如果
AC
AB＝
BC
AC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
方法归纳：比例的性质
①基本性质：如果
a
b＝
c
d，那么 ad＝bc。如果 ad＝bc（a、b、c、d 都不等于 0），那么
a
b＝
c
d。
②合比性质：如果
a
b＝
c
d，那么
a ± b
b ＝
c ± d
d 。
③等比性质：如果
a
b＝
c
d＝…＝
m
n（b＋d＋…＋n≠0），那么
a＋c＋…＋m
b＋d＋…＋n＝
a
b。
二、相似三角形的判定
相似三角形的判定分为：
①两角对应相等两三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等两三角形相似；
③三边对应成比例两三角形相似。
其中对两角对应相等两三角形相似的考查最为普遍。
方法归纳：
特殊三角形的相似：
①所有 的全等三角形都相似；
②所有的等边三角形都相似；
③所有的等腰直角三角形都相似。
总结：
1. 了解黄金分割，了解线段的比、比例线段，理解并掌握比例线段的基本性质及简单应
用。
2. 掌握两个三角形相似的判定条件。
例题 1 如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上的一点，连接 CD，请添加一个适当的条件
__________，使△ABC∽△ACD。（只填一个即可）2
解析：相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形
相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角
法：有两组角对应相等的两个三角形相似。由此得出可添加的条件。
解：由题意得，∠A＝∠A（公共角），则可添加：∠ACD＝∠ABC 或∠ADC＝∠ACB，利用
两角法可判定△ABC∽△ACD。
或添加：
AD
AC＝
AC
AB，利用两边及其夹角法判定△ABC∽△ACD。
答案：∠ACD=∠ABC 或∠ADC=∠ACB 或
点拨：本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种
判定方法，本题答案不唯一。
例题 2 如图，P 为线段 AB 的黄金分割点（PB＞PA），四边形 AMNB、四边形 PBFE 都为
正方形，且面积分别为 S1、S2。四边形 APHM、四边形 APEQ 都为矩形，且面积分别为 S3、
S4。下列说法正确的是（ ）
A. S2＝
5－1
2 S1 B. S2＝S3 C. S3＝
5－1
2 S D. S4＝
5－1
2 S1
解析：根据黄金分割的概念知：PB＝
5－1
2 AB，设 AB＝x，PB＝
5－1
2 x，PA＝（1－
5－1
2 ）
x，分别求出个四边形的面积即可求出比例关系。
解：根据黄金分割得出：PB＝
5－1
2 AB，设 AB＝x，PB＝
5－1
2 x，PA＝（1－
5－1
2 ）
x＝
3－ 5
2 x，∴S1＝x2，S2＝（
5－1
2 x）2＝
3－ 5
2 x2，S3＝
3－ 5
2 x2，S4＝
3－ 5
2 x×
5－1
2
x＝（ 5－2）x2。∴S2＝
3－ 5
2 S1，S2＝S3，S3＝
5＋1
2 S4，S4＝（ 5－2）S1，故正确选项
是 B。
答案：B
点拨：本题主要考查了线段的黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方
形、矩形的面积进行分析计算，难度适中，计算繁琐，认真观察你会发现一些运算技巧，如
计算 S3÷S4 时，我们用（
3－ 5
2 x2）÷（
3－ 5
2 x×
5－1
2 x）要简单很多，而不是用（
3－ 5
2
AD AC
AC AB
=
A B
E F
P
Q
M H N
S1
S2
S3
S43
x2）÷[（ 5－2）x2]。
识别三角形相似的思路：
①有一对等角，找{另一对等角
等角的两边对应成比例；
②有两边对应成比例，找{夹角相等
第三边成比例；
③直角三角形，找一对锐角相等；④等腰三角形，找{顶角相等
一对底角相等
底和腰成比例
。
满分训练 如图所示，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EF⊥AE，EF 分别交 AC、CD 于点
M、F，BG⊥AC，垂足为 G，BG 交 AE 于点 H。
求证：（1）△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；
（3）若 E 是 BC 中点，BC＝2AB，AB＝2，求 EM 的长。
解析：（1）证∠ BAE＝∠CEF；（2）由条件易证∠ABH＝∠ECM 而∠BAH＝∠CEM，故
△ABH∽△ECM；（3）作 MR⊥BC，则 MR＝
1
2RC，在 Rt△EMR 中求出 EM 的长。
答案：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE＝∠ECF＝90°。∵AE⊥EF，∠AEB＋
∠FEC＝90°，∴∠AEB＋∠BAE＝90°。∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF；
（2）解：△ABH∽△ECM。证明：∵BG⊥AC，∴∠ABG＋∠BAG＝90°，又∠BAG＋∠ECM＝
90°，∴∠ABH＝∠ECM。由（1）知，∠BAH＝∠CEM，∴△ABH∽△ECM；
（3）解：作 MR⊥BC 于点 R，△CMR∽△CAB 且△MRE 是等腰直角三角形。∵AB＝BE＝EC
＝2，∴AB∶BC＝MR∶RC＝1∶ 2，∠AEB＝45°，∴MR＝ER＝
1
2RC＝
2
3，∴EM＝ ER2＋MR2＝
2
3
2。
点拨：在判定两个三角形相似时，如果没有边的关系，一般需证明有两个角对应相等，
利用“两角对应相等的两个三角形相似”判定相似三角形。
A
B C
D
E
FG
H M
R4
（答题时间：30 分钟）
一、选择题
1. 有四 组线段， 每组线段长度如下：①2，1， 2， 2；②3，2，6，4；③
1
2，1， 5，
2；④1，3，5，7 能组成比例线段的有（ ）
A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组
*2. 已知
b＋c
a ＝
a＋c
b ＝
a＋b
c ＝k（a＋b＋c≠0），那么 y＝kx＋k 的图象一定不 经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
**3.如图所示，平行四边形 ABCD 中，G 是 BC 延长线上一点，AG 与 BD 交于点 E，与 DC 交
于点 F，则图中相似 的三角形共有（ ）
A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对
**4. 如图所示，在△ABC 中，P 为 AB 上一点，在下列 5 个条件中，①∠ACP＝∠B；②∠APC
＝∠ACB；③∠CAP＝∠BAC；④
PC
BC＝
AC
AB＝
AP
AC；⑤AC2＝AP·AB 根据相似三角形的定义，能得
到△APC 和△ACB 相似的是（ ）
A. ①②④⑤ B. ①③④⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③⑤
二、填空题
5. 如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割。已知 AB＝10cm，则 AC 的
长约为__________cm。（结果精确到 0.1cm）
*6. 如图所示，BC 平分∠ABD，AB＝4，BD＝5，当 BC＝__________时，△ABC∽△CBD。
*7. 在△ABC 中，AB>BC>AC，D 是 AC 的中点，过点 D 作直线 l，使截得的三角形与原三角
形相似，这样的直线 l 有__________条。
A
B C
P
A
B C
D
G
E F
A
B
C
D5
*8. 如图所示，四边形 ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点，P 是 BC 上的一点，要使△ABP 与
△ECP 相似，还需具备的一个条件是__________。
三、解答题
9. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB 于 E。求证：△ABD∽△CBE。
*10. 网格图中每个方格都是边长为 1 的正方形。若 A、B、C、D、E、F 都是格点，试说明
△ABC∽△DEF。
**11. 如图所示，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝a，BC＝b，当 BD 与 a、b 之间满足怎样的关系
时，这两个三角形相似？
**12. 四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，∠1＝∠2，∠3＝∠4，指出图中有哪些
相似三角形，并说明理由。如图所示。
A
B C
D
E
P
A B
C
DE
F
A
B D
C6
A
B C
D
E
O
1
2
3
47
1. B 解析：①线段从小到大排列 ，因为 1×2＝ 2× 2＝2，线段成比例，故①正确；
②线段从小到大排列，因为 2×6＝3×4＝12，线段成比例，故②正确；③线段从小到大排
列，因为
1
2× 5≠1× 2，线段不成比例，故③不正确；④线段从小到大排列，因为
1×7≠3×5，线段不成比 例，故④不正确。所以①②正确，③④不正确，成比例的有 2 组。
故选 B。
2. D 解析：当 a＋b＋c≠0 时，根据比例的等比性质，得 k＝
2a＋2b＋2c
a＋b＋c ＝2，则直线解
析式是 y＝2x＋2，根据 k 和 b 的符号，图象一定经过一、二、三象限。故选 D。
3.D 解析：由 AD∥BG，可得∠DAE＝∠G，∠ADB＝∠DBG，可推出△AED∽△GEB，同理可
推出△AFD∽△GFC；由 AB∥DC 可得到△AEB∽△FED 和△ABG∽△FCG，由相似图形的传递性，
知△GAB∽△AFD，又△ABD∽△CDB，∴图中共有 6 对相似三角形，故正确答案为 D。
4. A 解析：①中，∠ACP=∠B，又有一公共角∠A，所以相似，①对；②APC=∠ACB，且
有一公共角∠A，②对；④中三边对应成比例，可以直接证得相似；⑤中 ，且∠A
为其公共角，⑤对；所以正确的条件为①②④⑤。
5. 6.2 或 3.8 解析：AC≈0.618AB＝6.2（cm）或 AC=10－6.2=3.8。
6. 2 5 解析：因为 BC 平分∠ABD，所以得到∠ABC＝∠CBD，又题目中给出的条件是边，
所以要使△ABC∽△CBD，只要两边对应成比例且夹角相等即可，所以只需
AB
BC＝
BC
BD，即 BC2＝
AB·BD。又 AB＝4，BD＝5，所以 BC2＝4×5＝20，所以 BC＝2 5。
7. 4 解析：如图所示：
8. ∠BAP＝∠CEP 或∠APB＝∠EPC 或
AB
EC＝
BP
CP 解析：由已知条件 ABCD 为正方形，可得∠B
＝∠C＝90°，现已有一组角相等，因此要使△ABP 与△ECP 相似，可以再找一组相等的角，
也可以找相等角的两边对应成比例，所以此题答案不唯一。
9. 证明：在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE。
10. 解：∵AC＝ 2，BC＝ 12＋32＝ 10，AB＝4，DF＝ 22＋22＝2 2，EF＝ 22＋62＝
2 10，ED＝8，∴
AC
DF＝
BC
EF＝
AB
DE＝
1
2，∴△ABC∽△DEF。
11. 解：①∵∠ABC＝∠D＝90°，∴当
AB
BD＝
AC
BC时，△ABC∽△BDC，即当
a2－b2
BD ＝
a
b时，
△ABC∽△BDC，∴BD＝
b a2－b2
a 。②∵∠ABC＝∠D＝90 °，∴当
AC
BC＝
BC
DB时，△ABC∽△CDB。
即当
a
b＝
b
DB时，△ABC∽△BDC，∴BD＝
b2
a 。注意：斜边和一组直角边对应成比例的两个直角
三角形相似。
A
B C
D
AC AB
AP AC
=8
12. 解：（1）△ABO∽△DCO，因为∠1＝∠2，∠AOB＝∠DOC，所以△ABO∽△DCO。（2）
△AOD∽△BOC。由（1）知△ABO∽△DCO，则
AO
DO＝
BO
CO，又因为∠AOD＝∠BOC，所以△AOC∽△BOC
（3）△ACD∽△BCE。由（2）知△AOD∽△BOC，则∠DAO＝∠CBO，又因为∠3＝∠4，所以
△ACD∽△BCE。（4）△ABC∽△DEC。因为∠3＝∠4，所以∠3＋∠ECO＝∠4＋∠ECO，即∠BCA
＝∠ECD。又因为∠1＝∠2，所以△ABC∽△DEC。
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