24.1.4圆周角.docx

‎24.1.4　圆周角 知识点 1　圆周角的概念 ‎1．下列四个图中，∠α是圆周角的是(　　)‎ 图24－1－45‎ ‎2．如图24－1－46，图中有多少个圆周角？所对的圆周角有几个？所对的圆周角有几个？‎ 图24－1－46‎ 知识点 2　圆周角定理 ‎3．2017·徐州如图24－1－47，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB等于(　　)‎ 图24－1－47‎ A．28° B．54° C．18° D．36°‎ ‎4．如图24－1－48所示，把一个量角器放置在△ABC的上面，根据量角器的读数可得∠BAC的度数是(　　)‎ 图24－1－48‎ A．60° B．30° C．20° D．15°‎ ‎5．如图24－1－49，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为(　　)‎ 图24－1－49‎ A. B．2 C．2 D．4‎ ‎6．2017·义乌如图24－1－50，一块含45°角的三角尺，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠EOD＝________°.‎ 图24－1－50‎ 知识点 3　圆周角定理的推论 ‎7．如图24－1－51，在⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为(　　)‎ 图24－1－51‎ A．50° 　　　　B．55°‎ C．65° 　　　　D．75°‎ ‎8．如图24－1－52，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB＝40°，则∠ABC＝________°.‎ 图24－1－52‎ ‎9．2017·湖州如图24－1－53，已知在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC＝40°，则的度数是________度．‎ 图24－1－53‎ ‎10．如图24－1－54所示，已知四边形ABCD的四个顶点均在⊙O上，AB＝BC，BD交AC于点E.‎ 求证：DB平分∠ADC.‎ 图24－1－54‎ 知识点 4　圆内接多边形 ‎11．2017·淮安如图24－1－55，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是________°.‎ 图24－1－55‎ ‎12．如图24－1－56所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.‎ 求证：(1)AD＝CD；‎ ‎(2)AB是⊙O的直径．‎ 图24－1－56‎ ‎13．2017·云南如图24－1－57，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D.若∠BFC＝20°，则∠DBC＝(　　)‎ 图24－1－57‎ A．30° B．29° C．28° D．20°‎ ‎14．2017·西宁如图24－1－58，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.‎ 图24－1－58‎ ‎15．如图24－1－59，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD＝________°.‎ 图24－1－59‎ ‎16．已知：如图24－1－60，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.‎ ‎(1)求∠EBC的度数；‎ ‎(2)求证：BD＝CD.‎ 图24－1－60‎ ‎17．如图24－1－61，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F ‎，连接AC.求证：AF＝CF.‎ 图24－1－61‎ ‎18．2017·六盘水如图24－1－62，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．‎ ‎(1)利用尺规作图，确定当PA＋PB最小时点P的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)；‎ ‎(2)求PA＋PB的最小值．‎ 图24－1－62‎ 教师详解详析 ‎1．C　[解析] 根据圆周角的定义，顶点在圆上，可排除选项D.根据两边都与圆相交可排除选项A，B.故选C.‎ ‎2．解：图中有8个圆周角，所对的圆周角有1个，是∠BDC；所对的圆周角有2个，分别是∠CBD，∠CAD.‎ ‎3．D　[解析] 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB＝∠AOB＝×72°＝36°.‎ ‎4．D ‎5．C　[解析] 如图，连接OA，OB.因为∠APB和∠AOB分别是所对的圆周角和圆心角，所以∠AOB＝2∠APB＝2×45°＝90°.在Rt△AOB中，OA＝OB＝2，由勾股定理，得AB＝2 .故选C.‎ ‎6．90　[解析] ∠EOD＝2∠A＝2×45°＝90°.‎ ‎7．C　[解析] ∵＝，∴AB＝AC.∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝(180°－50°)＝65°，∴∠AEC＝∠ABC＝65°.故选C.‎ ‎8．50　[解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－∠CAB＝90°－40°＝50°.‎ ‎9．140　[解析] 连接AD，OD.∵AB为圆的直径，∴∠ADB＝90°.又∵AB＝AC，∠BAC＝40°，根据“等腰三角形三线合一”得到AD平分∠BAC，∴∠OAD＝20°.又∵OA＝OD，∴∠BOD＝2∠OAD＝40°，∴∠AOD＝140°.即的度数是140度．‎ ‎10．证明：∵AB＝BC，∴＝，∴∠ADB＝∠BDC，‎ 即DB平分∠ADC.‎ ‎11．120　[解析] 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°.因为∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，所以∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为4∶3∶5∶6，所以∠D＝×180°＝120°.‎ ‎12．证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠D＝180°－∠B＝130°.‎ 又∵∠ACD＝25°，‎ ‎∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°，‎ ‎∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.‎ ‎(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，‎ ‎∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°，‎ ‎∴AB是⊙O的直径．‎ ‎13．A　[解析]∵∠BFC＝20°，‎ ‎∴∠BAC＝2∠BFC＝40°.‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°.‎ 又∵EF是线段AB的垂直平分线，‎ ‎∴AD＝BD，‎ ‎∴∠A＝∠ABD＝40°，‎ ‎∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.‎ 故选A.‎ ‎14．60　[解析] ∵∠BOD＝120°，∴∠BAD＝60°.又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠BAD＝60°.‎ ‎15．61　[解析] 设AB的中点为O，连接OD.∵三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴点C在以AB为直径的圆上．‎ ‎∵点D对应的刻度是58°，∴∠DCB＝×58°＝29°，∴∠ACD＝90°－29°＝61°.‎ ‎16．解：(1)∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB＝90°.‎ 又∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°.‎ ‎∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67.5°，‎ ‎∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝67.5°－45°＝22.5°.‎ ‎(2)证明：连接AD.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC.‎ 又∵AB＝AC，‎ ‎∴BD＝CD.‎ ‎17．证明：如图，连接BC.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ 即∠ACF＋∠BCD＝90°.‎ ‎∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°，‎ ‎∴∠ACF＝∠B.‎ ‎∵C为的中点，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠B＝∠CAE，‎ ‎∴∠ACF＝∠CAE，‎ ‎∴AF＝CF.‎ ‎18．[解析] (1)画出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P.‎ ‎(2)利用∠AMN＝30°得∠AON＝∠A′ON＝60°，又由B为的中点，可得∠BON＝30°，∴∠A′OB＝90°，再由勾股定理求得PA＋PB的最小值为2 .‎ 解：(1)如图，点P即为所求．‎ ‎(2)如图，连接OA，OA′，OB.‎ 由(1)可得，PA＋PB的最小值即为线段A′B的长．∵点A′和点A关于MN对称且∠AMN＝30°，∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝60°.又∵B为的中点，∴∠BON＝∠AON＝30°，∴∠A′OB＝90°.∵MN＝4，∴OB＝OA′＝2.在Rt△A′OB中，由勾股定理得A′B＝＝2 .∴PA＋PB的最小值是2 .‎