24.1.2垂直于弦的直径.docx

‎24.1.2　垂直于弦的直径 知识点 1　圆的对称性 ‎1．下列说法中，不正确的是(　　)‎ A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D．圆的每一条直径都是它的对称轴 知识点 2　垂径定理 ‎2．如图24－1－14，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是(　　)‎ 图24－1－14‎ A．CM＝DM B.＝ C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB ‎3．如图24－1－15所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长度为(　　)‎ 图24－1－15‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎4．2017·泸州如图24－1－16，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是(　　)‎ 图24－1－16‎ A. B．2 C．6 D．8‎ ‎5．2017·金华如图24－1－17，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(　　)‎ 图24－1－17‎ A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm ‎6．2017·长沙如图24－1－18，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为________．‎ 图24－1－18‎ ‎7．2016·宿迁如图24－1－19，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．‎ 图24－1－19‎ ‎8．如图24－1－20，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．‎ 求证：AC＝BD.‎ 图24－1－20‎ ‎9．如图24－1－21，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE＝OF.求证：AB＝CD.‎ 图24－1－21‎ 知识点 3　垂径定理的推论 ‎10．下列说法正确的是(　　)‎ A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 ‎11．如图24－1－22所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(　　)‎ 图24－1－22‎ A．8 cm 　　B. cm C．6 cm 　　D．2 cm ‎12．如图24－1－23所示，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，D是弦AC的中点，则∠DOC＝________°.‎ 图24－1－23‎ ‎　　　‎ ‎13．2017·西宁如图24－1－24，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(　　)‎ 图24－1－24‎ A. B．2 C．2 D．8‎ ‎14．已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB与CD之间的距离为(　　)‎ A．17 cm B．7 cm C．12 cm D．17 cm或7 cm ‎15．如图24－1－25，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．‎ 图24－1－25‎ ‎16．如图24－1－26，⊙O的直径为10 cm，弦AB＝8 cm，P是弦AB上的一个动点，则OP长的取值范围是________________．‎ 图24－1－26‎ ‎17．如图24－1－27，点A，B，C，D在⊙O上，AB是⊙O的直径，BE＝CE.‎ ‎(1)请写出四个不同类型的正确结论；‎ ‎(2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长．‎ 图24－1－27‎ ‎18．如图24－1－28，一条公路的转弯处是一段圆弧.‎ ‎(1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心O(要求保留作图痕迹，不写作法)；‎ ‎(2)若的中点C到弦AB的距离为20 m，AB＝80 m，求所在圆的半径．‎ 图24－1－28‎ ‎19．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24－1－29所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．‎ 图24－1－29‎ 教师详解详析 ‎1．D ‎2．D　[解析] ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立．由已知得B为的中点，即＝，选项B成立．在△ACM和△ADM中，∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立．而OM与MB不一定相等，选项D不成立．故选D.‎ ‎3．A　[解析] 因为ON⊥AB，所以AN＝AB＝×24＝12，∠ANO＝90°.在Rt△AON中，由勾股定理，得ON＝＝＝5.故选A.‎ ‎4．B　[解析] 连接OC，则OC＝4，OE＝3，在Rt△OCE中，CE＝＝＝.因为CD⊥AB，所以CD＝2CE＝2 .‎ ‎5．C　[解析] 如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D.‎ ‎∵CD＝8 cm，OD＝13 cm，‎ ‎∴OC＝5 cm.‎ 又∵OB＝13 cm，‎ 在Rt△BCO中，‎ 根据勾股定理，得BC＝＝＝12(cm)‎ ‎.∵OC⊥AB，‎ ‎∴AB＝2BC＝24 cm.‎ ‎6．5　[解析] 如图，连接OC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，‎ ‎∴CE＝DE＝CD＝×6＝3.‎ 设⊙O的半径为x，‎ 则OC＝x，OE＝OB－BE＝x－1.‎ 在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋CE2，‎ 即x2＝(x－1)2＋32，‎ 解得x＝5，‎ ‎∴⊙O的半径为5.‎ ‎7．2 　[解析] 如图，作CE⊥AB于点E.∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°.‎ 在Rt△BCE中，‎ ‎∵∠CEB＝90°，∠B＝30°，BC＝2，‎ ‎∴CE＝BC＝1，BE＝＝.‎ ‎∵CE⊥BD，∴BD＝2BE＝2 .‎ ‎8．证明：过点O作OH⊥AB于点H，如图，‎ 则AH＝BH，CH＝DH，‎ ‎∴AH－CH＝BH－DH，即AC＝BD.‎ ‎9．证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，‎ ‎∴AE＝BE，CF＝DF.‎ 在Rt△OBE与Rt△ODF中，∵ ‎∴Rt△OBE≌Rt△ODF(HL)，‎ ‎∴BE＝DF，∴2BE＝2DF，即AB＝CD.‎ ‎10．D ‎11．A　[解析] 如图所示，连接OA.‎ ‎∵⊙O的直径CD＝10 cm，‎ ‎∴⊙O的半径为5 cm，即OA＝OC＝5 cm.‎ ‎∵OM∶OC＝3∶5，∴OM＝3 cm.‎ ‎∵AM＝BM，∴AB⊥CD.‎ 在Rt△AOM中，AM＝＝4(cm)，‎ ‎∴AB＝2AM＝2×4＝8(cm)．故选A.‎ ‎12．48　[解析] ∵AD＝CD，∴OD⊥AC.‎ ‎∴∠CDO＝90°，∴∠DOC＋∠ACO＝90°.‎ ‎∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝42°，‎ ‎∴∠DOC＝90°－∠ACO＝48°.‎ ‎13．C　[解析] 作OH⊥CD于点H，连接OC，如图，‎ ‎∵OH⊥CD，∴HC＝HD.‎ ‎∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，‎ ‎∴OP＝OA－AP＝2.‎ 在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，‎ ‎∴OH＝OP＝1.‎ 在Rt△OHC中，∵OC＝OA＝4，OH＝1，‎ ‎∴CH＝＝，‎ ‎∴CD＝2CH＝2 .‎ ‎14．D　[解析] ①当弦AB和CD的位置如图①所示时，过点O作OE⊥AB于点E，‎ 延长OE交CD于点F，则OF⊥CD.‎ ‎∵AB＝24 cm，CD＝10 cm，‎ ‎∴AE＝12 cm，CF＝5 cm.‎ ‎∵OA＝OC＝13 cm，‎ ‎∴OE＝5 cm，OF＝12 cm，‎ ‎∴EF＝12－5＝7(cm)．‎ ‎②当弦AB和CD的位置如图②所示时，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，则OF⊥CD.‎ ‎∵AB＝24 cm，CD＝10 cm，‎ ‎∴AE＝12 cm，CF＝5 cm.‎ ‎∵OA＝OC＝13 cm，‎ ‎∴OE＝5 cm，OF＝12 cm，‎ ‎∴EF＝OF＋OE＝17(cm)．‎ ‎∴AB与CD之间的距离为7 cm或17 cm.‎ ‎15. 4　[解析] ∵OC⊥AP，OD⊥PB，‎ ‎∴AC＝PC，PD＝BD，‎ ‎∴CD是△ABP的中位线．‎ ‎∵AB的长为8，‎ ‎∴CD＝AB＝4.‎ ‎16．3 cm≤OP≤5 cm　[解析] 作直径MN⊥弦AB，垂足为D.‎ 由垂径定理，得AD＝DB＝AB＝4 cm.‎ 由⊙O的直径为10 cm，连接OA，可得OA＝5 cm.‎ 由勾股定理，得OD＝＝3 cm.‎ ‎∵垂线段最短，半径最长，‎ ‎∴OP长的取值范围是3 cm≤OP≤5 cm.‎ ‎17．解：(1)不同类型的正确结论有：BE＝BC，＝，BD＝CD，OD⊥BC，△BOD是等腰三角形，△BDE≌△CDE，OB2＝OE2＋BE2等(答案不唯一，合理即可)．‎ ‎(2)∵AB是⊙O的直径，∴OA＝OB.‎ ‎∵BE＝CE，∴OD⊥BC，OE为△ABC的中位线，‎ ‎∴OE＝AC＝×6＝3.‎ 在Rt△OBE中，由勾股定理，得 OB＝＝＝5，‎ ‎∴OD＝OB＝5，‎ ‎∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.‎ ‎18．解：(1)如图①，连接AC，BC，作线段AC，BC的垂直平分线交于点O，点O即为所求．‎ ‎(2)如图②，连接OA，AB，OC，OC交AB于点D.∵C为的中点，∴OC⊥AB，‎ ‎∴AD＝BD＝AB＝40 m.‎ 设⊙O的半径为r m，‎ 则OA＝r m，OD＝OC－CD＝(r－20)m.‎ 在Rt△OAD中，∵OA2＝OD2＋AD2，‎ ‎∴r2＝(r－20)2＋402，解得r＝50.‎ 即所在圆的半径是50 m.‎ ‎19．解：不需要采取紧急措施．理由：‎ ‎∵CD为弓形的高，∴所在圆的圆心在直线CD上．设圆心为O，连接OA，OC，‎ OM.‎ 设OA＝R m，在Rt△AOC中，AC＝AB＝30 m，OC＝OD－CD＝(R－18)m，‎ ‎∴R2＝302＋(R－18)2，‎ 解得R＝34.‎ 设CD交MN于点E，DE＝x m，在Rt△MOE中，ME＝MN＝16 m，OE＝OD－DE＝(34－x)m，‎ ‎∴342＝162＋(34－x)2，即x2－68x＋256＝0，‎ 解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，‎ ‎∴DE＝4 m．∵4 m＞3.5 m，‎ ‎∴不需要采取紧急措施．‎