24.1.3弧、弦、圆心角.docx

‎24.1.3　弧、弦、圆心角 知识点 1　圆心角的概念及其计算 ‎1．下面四个图中的角，是圆心角的是(　　)‎ 图24－1－30‎ ‎2．如图24－1－31，已知AB为⊙O的直径，点D为半圆周上的一点，且所对圆心角的度数是所对圆心角度数的2倍，则圆心角∠BOD＝________°.‎ 图24－1－31‎ ‎3．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆心角的度数为________．‎ 知识点 2　弧、弦、圆心角之间的关系 ‎4．如图24－1－32，AB，CD是⊙O的两条弦．‎ ‎(1)∵∠AOB＝∠COD，∴________，________．‎ ‎(2)∵＝，∴____________，____________．‎ ‎(3)∵AB＝CD，∴____________，____________．‎ 图24－1－32‎ ‎5．已知：如图24－1－33，AB是⊙O的直径，C，D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE等于(　　)‎ 图24－1－33‎ A．40° B．60° C．80° D．120°‎ ‎6．如图24－1－34，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠B等于(　　)‎ 图24－1－34‎ A．50° B．60° C．70° D．80°‎ ‎7．如图24－1－35，在⊙O中，C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝________°.‎ 图24－1－35‎ ‎8．如图24－1－36所示，在⊙O中，弦AB与弦CD相等．求证：＝.‎ 图24－1－36‎ ‎9．已知：如图24－1－37，在⊙O中，＝，则下列结论：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝.其中正确的有(　　)‎ 图24－1－37‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎10．如图24－1－38所示，在⊙O中，如果＝2，那么(　　)‎ 图24－1－38‎ A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB2AC ‎11．如图24－1－39，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，则所对的圆心角为________度．‎ 图24－1－39‎ ‎12．如图24－1－40所示，A，B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形AOBC的周长等于________．‎ 图24－1－40‎ ‎13．2017·牡丹江如图24－1－41，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：AD＝BE.‎ 图24－1－41‎ ‎14．如图24－1－42，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE.求证：BD＝DE.‎ 图24－1－42‎ ‎15．已知：如图24－1－43，在⊙O中，M，N分别是半径OA，OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB.求证：＝.‎ 图24－1－43‎ ‎16．如图24－1－44所示，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，AB与OC，OD分别交于点E，F.‎ 求证：AE＝BF＝CD.‎ 图24－1－44‎ 教师详解详析 ‎1．D　[解析] ∵圆心角的顶点必须在圆心，‎ ‎∴选项A，B，C均不对．故选D.‎ ‎2．60‎ ‎3．60°　[解析] 如图，连接OA，OB.‎ ‎∵OA＝OB＝AB＝2，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°.‎ 故弦AB所对的圆心角的度数为60°.‎ ‎4．(1)＝　AB＝CD ‎(2)∠AOB＝∠COD　AB＝CD ‎(3)∠AOB＝∠COD　＝ ‎5．C　[解析] ∵C，D是的三等分点，‎ ‎∴＝＝，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.‎ ‎∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝(180°－∠AOE)＝(180°－60°)＝40°，‎ ‎∴∠COE＝80°.‎ ‎6．B 　[解析] 连接OC，OD.∵BC＝CD＝DA，∴∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝×180°＝60°，∴△OBC，△OCD，△AOD都是等边三角形，∴∠B＝60°.‎ ‎7．40　[解析] ∵在⊙O中，OA＝OB，∠A＝50°，∴∠B＝50°，‎ ‎∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝80°.‎ ‎∵C是的中点，‎ ‎∴∠BOC＝∠AOB＝40°.‎ ‎8．证明：∵AB＝CD，∴＝，‎ ‎∴－＝－，即＝.‎ ‎9．D　[解析] ∵＝，根据同弧所对的弦相等，∴AB＝CD，故①正确．∵－＝－，∴＝，故④正确．根据同弧所对的弦、圆心角都相等，得②③正确．‎ ‎10．C　[解析] 取的中点D，连接AD，BD，则＝＝，∴AD＝BD＝AC.又∵在△ABD中，AB＜AD＋BD，∴AB＜2AC.‎ ‎11．70‎ ‎12．12　[解析] ∵C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC.又∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∴△AOC和△BOC都是等边三角形，∴OA＝OB＝CA＝CB＝3，∴四边形AOBC的周长等于12.‎ ‎13．证明：连接OC，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠AOC＝∠BOC.‎ ‎∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，‎ ‎∴∠CDO＝∠CEO＝90°.‎ 在△COD与△COE中，‎ ‎∵ ‎∴△COD≌△COE(AAS)，‎ ‎∴OD＝OE.‎ ‎∵AO＝BO，‎ ‎∴AO－OD＝BO－OE，即AD＝BE.‎ ‎14．证明：如图，连接OE.‎ ‎∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA.‎ ‎∵AE∥CD，‎ ‎∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA，‎ ‎∴∠BOD＝∠DOE，∴BD＝DE.‎ ‎15．证明：连接OC，OD，则OC＝OD.‎ ‎∵M，N分别是半径OA，OB的中点，‎ ‎∴OM＝ON.‎ ‎∵CM⊥OA，DN⊥OB，‎ ‎∴∠OMC＝∠OND＝90°.‎ 在Rt△OMC和Rt△OND中，‎ ‎∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，‎ ‎∴∠MOC＝∠NOD，∴＝.‎ ‎16．证明：连接AC，BD.‎ ‎∵C，D是的三等分点，‎ ‎∴AC＝CD＝BD，且∠AOC＝×90°＝30°.‎ ‎∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝75°.‎ ‎∵∠AOB＝90°，OA＝OB，‎ ‎∴∠OAE＝∠OBF＝45°，‎ ‎∴∠AEC＝∠OAE＋∠AOC＝45°＋30°＝75°，‎ ‎∴AE＝AC.‎ 同理可证BF＝BD，∴AE＝BF＝CD.‎