2018年秋九年级数学上册第2章对称图形—圆2.5直线与圆的位置关系第3课时三角形的内切圆同步练习（新版）苏科版.doc

1 第 2 章 对称图形——圆 2.5　第 3 课时　三角形的内切圆 知识点 1　三角形内切圆的概念 图 2－5－21 1．[2017·广州] 如图 2－5－21，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点 O 是△ABC 的(　　) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 知识点 2　三角形内切圆的应用 2．教材练习第 1 题变式如图 2－5－22，点 O 是△ABC 的内心，∠A＝62°，则∠BOC＝ (　　) A．59° B．31° C．124° D．121° 图 2－5－22 　　　 图 2－5－23 3．如图 2－5－23，⊙O 是△ABC 的内切圆，与 AB，BC，CA 分别切于点 D，E，F，∠DOE＝ 120°，∠EOF＝110°，则∠A＝______°，∠B＝______°，∠C＝______°. 4．教材例 4 变式如图 2－5－24，⊙O 是△ABC 的内切圆，与边 BC，CA，AB 的切点分别 为 D，E，F.若∠A＝70°，则∠EDF 的度数为________． 5．△ABC 的三边长分别为 a，b，c，⊙I 是△ABC 的内切圆，半径为 r，则 S△ABC＝ ______________． 6 ． 已 知 直 角 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 3 ， 4 ， 5 ， 则 这 个 三 角 形 的 内 切 圆 半 径 是 ________．2 图 2－5－24 　　 图 2－5－25 7．如图 2－5－25，已知⊙O 是边长为 2 的等边三角形 ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为 ________． 8．如图 2－5－26，点 O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，求∠BOC 的度数． 图 2－5－26 9．如图 2－5－27，I 是△ABC 的内心，∠BAC 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，BD 与 ID 相等吗？为什么？ 图 2－5－27 3 图 2－5－28 10．[2016·河北]如图 2－5－28 为 4×4 的网格图，点 A，B，C，D，O 均在格点上，点 O 是(　　) A．△ACD 的外心 B．△ABC 的外心 C．△ACD 的内心 D．△ABC 的内心 11．[2017·武汉] 已知一个三角形的三边长分别为 5，7，8，则其内切圆的半径为(　　) A. 3 2 B. 3 2 C. 3 D．2 3 12．如图 2－5－29，在△ABC 中，AB＝AC，⊙O 是△ABC 的内切圆，它与 AB，BC，CA 分 别相切于点 D，E，F. (1)求证：BE＝CE； (2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O 的半径． 图 2－5－29 13．如图 2－5－30，在等腰三角形 ABC 中，AE 是底边 BC 上的高，点 O 在 AE 上，⊙O 与 AB，BC 分别相切于点 D，E. (1)⊙O 是否为△ABC 的内切圆？请说明理由； (2)若 AB＝5，BC＝4，求⊙O 的半径．4 图 2－5－30 14．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式 ——海伦公式 S＝ p（p－a）（p－b）（p－c）(其中 a，b，c 是三角形的三边长，p＝ a＋b＋c 2 ，S 为三角形的面积)，并给出了证明． 例如：在 Rt△ABC 中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算： ∵a＝3，b＝4，c＝5， ∴p＝ a＋b＋c 2 ＝6， ∴S＝ p（p－a）（p－b）（p－c）＝ 6 × 3 × 2 × 1＝6. 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦 九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 如图 2－5－31，在△ABC 中，BC＝5，AC＝6，AB＝9. (1)用海伦公式求△ABC 的面积； (2)求△ABC 的内切圆半径 r. 图 2－5－315 详解详析 1．B　2.D 3．50　60　70 4．55°　[解析] 连接 OE，OF.∵∠A＝70°，⊙O 与边 BC，CA，AB 的切点分别为 D，E， F， ∴∠EOF＝180°－70°＝110°， ∴∠EDF＝ 1 2∠EOF＝55°. 5. 1 2r(a＋b＋c) 6．1 7． 3 3 [解析] 设⊙O 与 BC 的切点为 D.连接 OC，OD. ∵CA，CB 都与⊙O 相切， ∴∠OCD＝∠OCA＝30°. 在 Rt△OCD 中，CD＝ 1 2BC＝1，∠OCD＝30°， ∴OD＝ 3 3 . 8．解：∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100°. ∵点 O 是△ABC 的内切圆的圆心， ∴BO，CO 分别平分∠ABC，∠BCA， ∴∠OBC＋∠OCB＝50°， ∴∠BOC＝130°. 9．解：BD＝ID. 理由：连接 BI. ∵点 I 是△ABC 的内心， ∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI， ∴BD︵ ＝CD︵ ， ∴∠BAD＝∠DBC. ∵∠BID＝∠BAI＋∠ABI，∠IBD＝∠CBI＋∠DBC，∴∠IBD＝∠BID， ∴BD＝ID. 10．B　[解析] 由图可得 OA＝OB＝OC，所以点 O 是△ABC 的外心．故选 B. 11．C 12．解：(1)证明：如图，连接 OB，OC，OE. ∵⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB，6 ∴∠OBC＝ 1 2∠ABC，∠OCB＝ 1 2∠ACB. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC， 又∵⊙O 与 BC 相切于点 E， ∴OE⊥BC，∴BE＝CE. (2)如图，连接 OD，OF. ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F， ∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°. 又∵OD＝OF，∴四边形 ODAF 是正方形． 在 Rt△OBD 和 Rt△OBE 中，{OD＝OE， OB＝OB， ∴△OBD≌△OBE， ∴BD＝BE，同理 CE＝CF. 设 OD＝AD＝AF＝r， 则 BE＝BD＝CF＝CE＝2－r. 在△ABC 中，∠A＝90°， ∴BC＝ AB2＋AC2＝2 2. 又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝2 2，解得 r＝2－ 2， ∴⊙O 的半径是 2－ 2. 13．解：(1)⊙O 是△ABC 的内切圆． 理由：∵⊙O 与 AB 相切于点 D， 连接 OD，则 OD⊥AB 于点 D，过点 O 作 OF⊥AC 于点 F. ∵AE 是底边 BC 上的高， ∴AE 也是顶角∠BAC 的平分线， ∴OF＝OD，∴⊙O 与 AC 相切于点 F. 又∵⊙O 与 BC 相切， ∴⊙O 是△ABC 的内切圆． (2)连接 OB，OC，设⊙O 的半径为 r. ∵D，E，F 是切点，∴OD＝OE＝OF＝r. 由题意得 AB＝AC＝5，EC＝BE＝ 1 2AB＝2. 在 Rt△ABE 中 ，AE＝ AB2－BE2＝ 21， ∴ 1 2r(AC＋BC＋AB)＝ 1 2AE·BC， 解得 r＝ 2 21 7 . 14．解：(1)∵BC＝5，AC＝6，AB＝9， ∴p＝ BC＋AC＋AB 2 ＝ 5＋6＋9 2 ＝10， ∴S＝ p（p－a）（p－b）（p－c）＝ 10 × 5 × 4 × 1＝10 2， 故△ABC 的面积 10 2. (2)∵S＝ 1 2r(BC＋AC＋AB)，7 ∴10 2＝ 1 2r(5＋6＋9)，解得 r＝ 2， 故△ABC 的内切圆半径 r＝ 2.