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21.4 第 1 课时 利用二次函数的最值解决实际问题
知识点 1 利用最值求几何图形的面积
1．一个矩形的面积 S 与其中一边的长 x 之间存在的二次函数关系为 S＝－(x－6)2＋36，
当一边长 x＝________时，矩形的面积有最大值，最大值是________．
2．将一根长为 16π厘米的细铁丝剪成两段，并把每段铁丝围成圆，设所得两圆的半径
分别为 r1 厘米和 r2 厘米．
(1)求 r1 与 r2 的关系式，并写出 r1 的取值范围；
(2)求两圆的面积和 S 关于 r1 的函数表达式，并求出 S 的最小值．
知识点 2 距离的最大(小)值
3．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 y(m)与水平距离 x(m)之
间的关系为 y＝－
1
12(x－4)2＋3，由此可知铅球能到达的最大高度是________m，铅球落地时，
测量小明推铅球的成绩是________ m.
4．竖直向上发射的小球的高度 h(m)关于运动时间 t(s)的函数表达式为 h＝at2＋bt，其
图象如图 21－4－1 所示，若小球在发射后第 2 秒与第 6 秒时的高度相等，则下列时刻中小球
的高度最高的是( )
A．第 3 秒 B．第 4 秒
C．第 4.5 秒 D．第 5 秒
图 21－4－1
5．军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行
时间 x(s)的关系满足 y＝－
1
5x2＋10x，则经过________s，炮弹到达它的最高点．
知识点 3 经济效益的最优方案
6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润 y(元)与每件销售价 x(元)之
间的关系满足 y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，价格只能在 15≤x≤22 范围内，那么
一周可获得的最大利润是( )
A．20 B．1508 C．1550 D．1558
7．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：
若无利润时，该旅游景点关闭．经跟踪测算，该旅游景点一年中某月的利润 W(万元)与月份 x
之间满足二次函数 W＝－x2＋16x－48，则该旅游景点一年中利润最大的月份是( )2
A．4 B．6 C．8 D．10
8．［2016·成都］某果园有 100 棵橙子树，平均每棵树结 600 个橙子，现准备多种一些
橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会
减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，假设果园多种了 x 棵
橙子树．
(1)直接写出平均每棵树结的橙子数 y(个)与 x 之间的表达式；
(2)果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？
9．如图 21－4－2 所示，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点 P 从点
A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点
C 以 4 mm/s 的速度移动(不与点 C 重合)．如果 P，Q 两点分别从点 A，B 同时出发，那么经过
________秒，四边形 APQC 的面积最小．
图 21－4－2
10．［2017·包头］某广告公司设计一幅周长为 16 米的矩形广告牌，广告设计费为每平
方米 2000 元．设矩形的一边长为 x 米，面积为 S 米 2.
(1)求 S 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2)设计费能达到 24000 元吗？为什么？
(3)当 x 是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
11．［教材习题 21.4 第 3 题变式］一种商品进价为每件 8 元，若商品售价为每件 10 元，
一周可卖出 50 件．市场调查表明：如果这种商品每件涨价 1 元，每周要少卖 5 件；每件降价3
1 元，每周要多卖 5 件．
(1)求该种商品一周的销售量 y(件)与商品价格 x(元)之间的函数表达式，并写出自变量
的取值范围；
(2)根据物价部门规定，该商品最高售价不超过 12 元，则怎样定价，可使每周的利润最
大？最大利润是多少？
12．某企业生产并销售某种产品．假设销售量与产量相等，如图 21－4－3 中折线 ABD、
线段 CD 分别表示该产品每千克生产成本 y1(单位：元)、销售价 y2(单位：元)与产量 x(单位：
kg)之间的函数关系．
(1)请解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义；
(2)求线段 AB 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式；
(3)当该产品的产量为多少时，所获得的利润最大？最大利润是多少？
图 21－4－34
教师详解详析
1．6 36
2．解：(1)依题意，得 2πr1＋2πr2＝16π， 化简得 r1＋r2＝8，r1 的取值范围为 0＜r1
＜8.
(2)两圆的面积和 S＝πr12＋πr22＝π[r12＋(8－r1)2]＝2π[(r1－4)2＋16]．
当 r1＝4 时，S 有最小值，为 32π平方厘米．
3．3 10 [解析] 抛物线的顶点(4，3)是最高点，令 y＝0 时，得－
1
12(x－4)2＋3＝0，
解得 x1＝10，x2＝－2(舍去)．
4．B [解析]求出抛物线的对称轴是直线t＝
2＋6
2 ＝4，对称轴与抛物线的交点是抛物线
的顶点，故第 4 秒时，小球最高．
5．25 [解析] 求出二次函数图象的顶点的横坐标即可．
6．D
7．C [解析] 由 W＝－x2＋16x－48＝－(x－8)2＋16＝0，∴利润最大的是 8 月份．
8．解：(1)平均每棵树结的橙子数 y(个)与 x 之间的关系式为 y＝600－5 x(0≤x＜
120)．
(2)设果园多种 x 棵橙子树时，橙子的总产量为 w 个，
则 w＝(100＋x)y＝(100＋x)(600－5x)
＝－5x2＋100x＋60000
＝－5(x－10)2＋60500，
则果园多种 10 棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为 60500 个．
9． 3
[解析] 利用等量关系“四边形 APQC 的面积＝三角形 ABC 的面积－三角形 PBQ 的面积”
列出函数表达式求最小值．
10．解：(1)∵矩形的一边为 x 米，周长为 16 米，
∴另一边长为(8－x)米，
∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x(0＜x＜8)．
(2)能．理由如下：
当设计费为 24000 元时，面积为 24000÷2000＝12(米 2)，
即－x2＋8x＝12，
解得 x1＝2，x2＝6.
∴设计费能达到 24000 元．
(3)∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，
∴当 x＝4 时，S 最大值＝16，
即当 x＝4 米时，矩形的最大面积为 16 米 2，此时设计费最多，最多是 32000 元．
11．解：(1)根据如果这种商品每件涨价 1 元，每周要少卖 5 件；每件降价 1 元，每周要
多卖 5 件．可知销售量与售价之间是一次函数关系，设 y＝kx＋b(k≠0)，代入(10，50)，
(11，45)，得{10k＋b＝50，
11k＋b＝45，
解得{k＝－5，
b＝100.
∴y＝－5x＋100(8≤x≤20)．
(2)设每周的利润为 w(元)，则 w＝(x－8)(－5x＋100)＝－5x2＋140x－800＝－5(x－14)25
＋180.
由于 8≤x≤12，当 x＜14 时，w 随 x 的增大而增大，故当 x＝12 时，w 有最大值，最大
值为－5(12－14)2＋180＝160.
答：定价为 12 元时，可使每周的利润最大，最大利润为 160 元．
12．解：(1)点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为 130 kg 时，该产品每千克生
产成本与销售价相等，都为 42 元．
(2)设线段 AB 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式为 y1＝k1x＋b1(k1≠0)．
∵函数 y1＝k1x＋b1 的图象经过点(0，60)与(90，42)，
∴{b1＝60，
90k1＋b1＝42.
解得{k1＝－0.2，
b1＝60.
∴y1 与 x 之间的函数表达式为 y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)．
(3)设 y2 与 x 之间的函数表达式为 y2＝k2x＋b2(k2≠0)．
∵该直线经过点(0，120)与(130，42)，
∴{b2＝120，
130k2＋b2＝42.
解得{k2＝－0.6，
b2＝120.
∴y2 与 x 之间的函数表达式为 y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)．
设产量为 x kg 时，获得的利润为 W 元，
①当 0≤x≤90 时，W＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2250，
∴当 x＝75 时，W 的值最大，最大值为 2250；
②当 90≤x≤130 时，W＝x[(－0.6x＋120)－42]＝－0.6(x－65)2＋2535，
∴当 x＝90 时，W＝－0.6×(90－65)2＋2535＝2160.
由－0.6＜0 知，当 x＞65 时，W 随 x 的增大而减小，
∴当 90≤x≤130 时，W≤2160，
即当 x＝90 时，W 有最大值 2160.
∵2160＜2250，
∴当 x＝75 时，W 的值最大，最大值为 2250.
因此，当该产品的产量为 75 kg 时，获得的利润最大，最大利润为 2250 元．
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