第11章 比例与相似-1.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第11章 比例与相似 ‎§11.1比例线段 ‎11.1.1‎‎★在中，角平分线与交于，，，，求、之长度(用、、表示)．‎ 解析 如图，易知有，，故，．‎ ‎11．1．2★已知：等腰梯形中，、分别是腰、的中点，，且交于，求证：．‎ 解析 如图，不妨设，则，，故，．‎ ‎11．1．3★在中，，的平分线交于，过分别作、的平行线交、‎ 于、，和的延长线交于，求证：．‎ 解析 如图，由，及平分，知，故，因此．‎ ‎11．1．4★设为的边的中点，过作一直线，交、或其延长线于、‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，又过作，交的延长线于，则．‎ 解析 由平行知．‎ 于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论．‎ ‎11．1．5★已知是平行四边形内的任意一点，过点作，分别交、于、，又过作，分别交、于、；连结，交于；连结，交于．如果，求证：平行四边形是菱形．‎ 解析 如图，易知，．‎ 由于，，故，于是，四边形是菱形．‎ ‎11．1．6★中，．是的角平分线．是的中点，过作直线平行于交、或延长线于和．求证：．‎ 解析 如图，易知比靠近，在上，而在延长线上．易知，而，故，同理，也是此值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 评注 不用比例线段的方法是：延长一倍至，则，再证和均为等腰三角形．‎ ‎11．1．7★凸四边形中，，，平行于交延长线于点，平行于交延长线于点，连结、，证明：．‎ 解析 如图，设、交于，则由平行线性质，知，，同理，，故，故．‎ ‎11．1．8★★如图，在中．，、为的三等分角线，交的平分线于、，连结并延长交于，求证：．‎ 解析 易知关于对称．‎ 又设，则，故 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，于是由角平分线之性质，知，于是．‎ ‎11．1．9★★梯形中，()，和交于，过作，交、于、，和交于，过作，交、于、．求证：．‎ 解析 ，故，同理，故，同理，两式相加并整理即得结论．‎ ‎11．1．10★设、、分别是的三边的长，且，求它的内角、．‎ 解析 由条件，得，即，所以．‎ 如图，延长至，使，于是．因此在与，，且为公共角，所以∽，．而，故．‎ ‎11．1．11★设凸四边形，对角线交于，过作直线与平行，交、及延长线于、、．若，，求．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 延长与延长线交于，则有．‎ 设，则，代人上式，便得．故．‎ ‎11．1．12★★为等腰三角形底边上的高，为的平分线，作于，又作与直线交于，求证：．‎ 解析 如图，设，，则由角平分线性质知，‎ 故．‎ 又取中点，连结，，，故，，故，从而，故．于是．‎ ‎11.1.13‎‎★★足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系．跳起来呢?‎ 解析 设运动员在矩形球场内，如图(a)，过作，在上，在上，则，或．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又设灯高为，运动员身高为，点处的灯造成的影子长为′，如图(b)，则，得，同理，故四个影子的关系是．‎ 跳起来时，不妨设脚底离地，此时点处的灯造成的影子长度为′″，如图(c)，则 ‎，，于是 ‎，‎ 同理，所以′+=仍旧成立．‎ ‎11．1.14★★求日高公式．‎ 解析 如图所示，设太阳高度为，杆′=直立在地上，影子的长度分别为，′′，两杆距离为．所谓日高公式就是用、、、表示，这里假定大地为平面，且、′′与在同一平面上．‎ 易知，代入得，故；同理，′．由 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎′′，代入得，由此解得．‎ ‎11.1.15‎‎★★设梯形ABCD，E、F分别在AB、CD上，且，若，，，，梯形和梯形的周长相等，求．‎ 解析 如图，作平行四边形，在上，则，．设与交于．‎ 易知梯形的周长为的周长加上6，梯形的周长为梯形的周长加6，故的周长=梯形的周长，也即周长的一半即．‎ 又，故．，．‎ ‎11．1．16★★如图，已知中，、交于，、交于，过作，交于，交于，求证：．‎ 解析 设与交于，与直线交于，则．‎ 于是．‎ ‎11.1.17‎‎★四边形为正方形，、在延长线上，，，、分别是、与的交点．求证：为等腰三角形．‎ 解析 如图，不妨设正方形边长为1，则，，．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 作，交于．则．‎ 于是，即为直角三角形斜边之中点，于是．‎ ‎11.1.18‎‎★★在中，，，，是内一点，、、分别在、、上，且，，．若，求．‎ 解析 如图，延长交于′(同理定义′、′，图中未画出)，设，则，同理，，，由于，故，．‎ ‎11.1.19‎‎★内有一点，的延长线交边于点′，的延长线交边于点′，的延长线交边于点′．若，求的值(用表示)．‎ 解析 如图，设，，，则，而，即，展开得 ‎，‎ 故．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11.1.20‎‎★已知的三边长分别为、、，三角形中有一点，过作三边的平行线，长度均为，试用、、来表示．‎ 解析 设延长后与交于′(同理定义′与′)，则，同理，‎ ‎，三式相加，得，‎ 所以．‎ 评注 存在的条件是，，，代人得：、、可组成三角形三边之长．‎ ‎11.1.21‎‎★已知、、分别是锐角三角形的三边、、上的点，且、、相交于点，．设，，，，求的大小．‎ 解析 由熟知结论，得，因此，即 ‎=24．‎ ‎11.1.22‎‎★如图，正方形边长为1，为延长线上一点，与、分别交于点、，(点是与交点)与交于点，若，求的长．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 连结，则由，得，于是，，为中点，所以．‎ ‎11.1.23‎‎★★如图，已知，、分别在、上，则下面任两条可推出第三条：‎ ‎(1)、、共点；（2）；（3）．‎ 解析 (1)，(2)(3)：，则，故．‎ ‎（2），（3）（1）：，故可设、延长后交于，、延长后交于，，与重合．‎ ‎(1)，(3)(2)：若与不平行，作，在上，在上，则有，得，即，矛盾．‎ ‎11.1.24‎‎★中，为的平分线，在、上取，、分别为、的中点，则．‎ 解析 如图，连结，设中点为，连结、，则，所以，且．‎ 取上的点，使，则等腰∽等腰，且对应边，，故第三边也平行，即．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11.1.25‎‎★★★已知：中，，为上一点，且非中点，，为中点，求证：，平分．‎ 解析 如图，作，与延长线交于，延长交于，则由，，有．又，故．‎ 由条件，知，于是，，四边形乃等腰梯形(若四边形是菱形，则，为中点，与题设矛盾)，．‎ 又为中点，显然(比如由全等)有．‎ ‎11．1．26★★★已知、分别为矩形的边、的中点，延长线上有一点，延长后与交于．求证．平分．‎ 解析 如图，设与交于，则，过作，交于，则．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又，，故，于是，由于将垂直平分，于是．‎ ‎11.1.27‎‎★★在中，，求证：，、、为的对应边长．‎ 解析 如图，延长至，使，于是，故，．中，，则．又由角平分线性质，得，，代人前式，得，即得结论．‎ 评注 中，，证明如下：延长至，使，于是或．‎ ‎11．1.28★★已知，、分别是、上任两点，、延长后交于，、延长后交于，求证：若，则、、共点；若，则．‎ 解析 如图，设，，，，延长、分别与交于、‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，设．由知，同理，即，，于是，，或．若，则，又，做；，由，得、、共点（见题‎11.1.23‎）．‎ ‎11.1.29‎‎★★正三角形，、、是、、的中点，、、分别在、、上，、、共线，、、共线，、、共线，求．‎ 解析 如图，不妨设边长为2，，，，则，，．‎ 由，得，同理，1，于是，，，．‎ 所以，．‎ ‎11．1．30★★任给锐角，问在、、上是否各存在一点、、，使，，?‎ 解析 这样的是存在的．作法如下：在上任取一点′，作′′于′，分别过′、′作、的垂直线交于点′．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 若′恰在上，则′、′、′，即为满足条件的三点、、；若，′不在上，设、′，所在直线与交点为(因为是锐角三角形，所以交点必在上)，过分别作、的垂线交、于、，则，，连结，易知，得′′，由作法′′，所以，、、满足条件．‎ ‎11.1.31‎‎★★★已知凸四边形内有一点，、、、的平分线分别交、、‎ ‎、于、、、，求证：四边形为平行四边形的充要条件是为、的中垂线的交点．‎ 解析 若为、的中垂线之交点，则，，于是，于是，同理，又同理，故四边形为平行四边形．‎ 反之，若四边形为平行四边形，由于，故由梅氏定理，若、不与平行，它们将与交于同一点，这与矛盾，因此，，同理，故在、的中垂线上．‎ ‎11．1．32★★★已知梯形中，，、分别在、上，求证：若，则．又此时若、交于，、交于，问三直线、、共点的条件．‎ 解析 如图(a)，不妨议、延长后交于，于是有，．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 于是，由此可得，故．‎ 因为四边形为平行四边形，过的中点，若、、共线，则由塞瓦定理，有．下面刻画或的位置，如图(b)，设与交于，，则由，，而，，故，此即．‎ ‎11.1.33‎‎★★如图，已知中，、、交于，，延长后与的延长线交于，求证：．‎ 解析 作，与交于，与交于，则由平行，知，故，于是．‎ ‎11.1.34‎‎★★★已知，、、是角平分线，、在上，且 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，求证：平分．‎ 解析1 设内心为，与交于，与交于，连结，交于．由角平分线及平行性质，有，故有，又，故∽，于是，于是平分．‎ 解析2 由角平分线性质，知，，于是．又易见，，故，于是，以下同解析1．‎ 评注 注意解析1更好些，因为只要求平分．不要求是内心，本题结论也成立．于是本题的逆命题是，由平分得出平分，而不能证明是内心．这个逆命题也是正确的，读诗者不妨一试．‎ ‎11．1．35★★为内一点，、在上，、在上，线段、交于．若，则平分，反之亦然．‎ 解析 如图，作平行四边形，、分别在、上．设，．‎ 此时易得，因此，于是．但，故．所以平行四边形是菱形，为之平分线．‎ 反之，可设所作平行四边形为菱形．设菱形边长为，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，即得．同理，，于是命题得证．‎ ‎11．1．36★★已知，三边分别为、、，是角平分线．求之长(用、，表示)‎ 解析 如图，延长至，使，于是、、、共圆，又∽，故==．‎ 设，，则，，故 ‎．‎ ‎11．1．37★★在中，、三等分，且2，3，6，求的长．‎ 解析 如图，设，，则由角平分线性质知，．‎ 由于，即，同理，‎ 消去，得．‎ ‎11．1．38★★★已知平行四边形，点是点在上的垂足，点在上，，，点在上，点是与的交点，又延长后与的延长线交于点，求证：．‎ 解析 如图，作．对与来说，，，而，如果能证明两三角形(顺向)相似，那么第三组对应边与就垂直了，于是只需证明或．事实上设、延长后交于点，且设 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，则易知，，于是，又，故，于是，代人上式，即得．‎ ‎§11.2相似三角形 ‎11．2．1★已知，是中点，、在的同侧，且，，证明：．‎ 解析 如图，易知．‎ 又∽，故，于是∽，故．‎ ‎11．2．2★已知=′+′，，则′，．‎ 解析 如图，作与′′′，使，′′，，′，则由条件′，且，故∽′′′，从而′，′．此即′，′．‎ 评注 这个结果用途极广．‎ ‎11．2．3★线段分为两个相似的三角形，相似系数等于，求 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的各内角．‎ 解析 如图，不妨设∽，比较“大”．‎ 由于>及，故只能有，于是．‎ 不可能(否则≌)，故，，，，因此三内角为：、、．‎ ‎11．2．4★★设中，在在上，且，求证：∽．‎ 解析 过作，是是一点．于是，代入条件并整理，即得．‎ 又，于是∽，于是，故∽．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费