第11章 比例与相似-2.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．2．5★在锐角三角形中，是是一点，满足，过作，为垂足，证明：．‎ 解析 由条件知∽，且，又，故∽，于是．‎ ‎11．2．6★已知正方形，点和分别在上，且，与垂直于，求的 取值范围．‎ 解析 易知∽，故有．又，故∽，．‎ ‎11．2．7★在中，，点是内的一点，使得，且，，求．‎ 解析 由条件易知，又，故∽．．‎ 因此，．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．2．8★如图，在直角三角形中，斜边的长为35，有一个边长为12的正方形内接于，求的周长．‎ 解析 设，，则．又∽，所以，，即，故．所以，，解得(另一个解-25舍去)．所以三角形的周长为84．‎ ‎11．2．9★★是正方形的边的中点，点分对角线的比为，证明：．‎ 解析 如图，连结、，交于，则，，而，，，故∽，这是顺相似，所以∽，．‎ ‎11．2．10★★如图，，，，与分别是与的高，‎ 点与分别为与的垂心，求证：被平分．‎ 解析 本题即是证明，这可以转化为求证或．很容易看出∽，故．由于四边形是矩形，有，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，于是结论成立．‎ ‎11．2．11★★已知，向外作正方形和正方形．若，求证：．‎ 解析 如图，不妨设与、分别交于、，于是，，∽，，两边同时减去，得，于是．‎ 评注 本题也可通过、向直线作垂线，并通过全等三角形来证明．与或不相交是不可能的，这样、将在直线的异侧．‎ ‎11．2．12★★中，，，求的取值范围．‎ 解析 如图，设三对应边分别为、、，延长至，使，于是，∽，故，即，从而．接下去考虑三角形不等式，显然，也显然，，即，或，故．又，故．因此，的取值范围是．‎ ‎11．2．13★★已知正三角形，在上，，在上，求证：．‎ 解析 如图，不妨设，，，则．又设，，则，，解得．于是，∽，故有．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．2．14★★已知锐角，是高，，，是中点，作与延长线垂直且交于，若在的中垂线上，求．‎ 解析 如图，设中点为，由于，故∽∽，所以，．设，则由，得，，所以，，，．‎ ‎11．2．15★★如图，直角三角形中，，是角平分线，于，则；．‎ 解析 延长与交于，易知．由于，故∽，于是．又作关于之对称点，则．由于∽，故．‎ ‎11．2．16★★能否把任意两个直角三角形各划分成两个三角形，使它们分别对应相似?‎ 解析 如图，设．若两三角形相似，结论显然成立．否则可不妨设，则于是可在上取一点，使；在上取一点，使．易知∽‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，∽．‎ ‎11．2．17★★设凸四边形的对角线、的交点为．过点作的平行线分别交、于点、，交的延长线于点．是以为圆心，为半径的圆上一点．求证：．‎ 解析 延长、交于点．由得，即．同理，得，即．所以．由条件得，所以，因此可得∽，则有．‎ ‎11．2．18★证明：三角形的一条高线的垂足和它在另外两条高线上的射影组成的三角形，与原三角形 相似．‎ 解析 如图，中，、、是高，在、上的射影分别是、．则．又，故，故有∽．‎ 评注 本题亦可用四点共圆证明．又本题将画成锐角三角形，若 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 为非锐角三角形，结论不变．‎ ‎11．2．19★★★点、分别在、上，与交于，若，且，，求．‎ 解析 如图，延长至，使，连结．于是由，得，故、、、共圆，有，于是．‎ ‎11．2．20★★★已知一个红三角形与一个蓝三角形，试将每个三角形用两刀分成三个三角形，使每个盛色的部分与一个相应的红色部分相似(或全等)．‎ 解析 如果两个三角形可以分别划分成个小三角形，使对应的组三角形均相似(或全等)，则称这两个三角形是“相似”的，于是，立刻可以得出如下结论：“1相似”即“相似(或全等)”．“相似”可推出“相似”．以下先证一个结论：对与′′′，若′，则它们是“2相似”的．证明如下：由前知，∽′′′，则其“2相似”，否则，不妨设′，则′，可在、′′上分别找点，′，使′，′′′，于是∽′′′，∽′′′,结论证毕．现对于一般的与△′′′，不妨设以最大，最小；△′′′中′最大，而且′(′就不要做了)≥，则，如图，今在同侧作∽′′′，使′，′，则在外，设与交于，则与“2相似”，故与“3相似”；又∽△′′′，故与′′′“3相似”．‎ ‎11．2．21★★如图(a)，，，，，，现有点在直线上，并且满足条件：与相似，求的长度．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 设．分三种情况讨论：(1)在延长线上时，如图(b)，只能是∽，则，即，解得；（2）在延长线上，如图(c)，是∽或∽，则或，即或，解得或2或8.4；‎ ‎(3)在延长线上，如图(d)，是∽或∽，则或，即或，解得或；‎ 综上所述，这样的点有六个，的长分别为，2，8.4，12，42或+7．‎ ‎11．2．22★★★设四边形的对角线交于点，点、分别是、的中点，点、(不重合)分别是与的垂心，求证：．‎ 解析 如图，不妨设（）(其余情形请读者自己讨论)，并不妨设与的延长线 交于点．取中点，连结、．易见，从而，同理可得，于是．对于与来说，对应角已有一组相等，对应边已有两组垂直，如能证明它们是(顺向)相似的，则立得第三组对应边垂直，即．于是，问题归结为求证或．设，于是，此处点和分别为点及点在上的垂足．又，故，同理，即得．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．2．23★★★菱形中，，在上，与延长后交于，延长后与交于，求．‎ 解析 连结，如图．由平行成比例及菱形性质知，于是，而，故∽，所以．‎ 从而．‎ ‎11．2．24★★如图(a)，在梯形中，，对角线的交点为，、分别是边、上的点，使得，，求证：．‎ 解析 如图(b)延长至，使得，则，于是∽，故，所以．又因为∽，所以．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 同理可得．而，所以，故．‎ ‎11．2．25★★证明拿破仑定理：以每边为边分别向外作正三角形，则这3个正三角形的中心是另一个正三角形的顶点．‎ 解析 如图，设、与均为正三角形，、、是各自的中心．连结、、．易知，又，故∽，．‎ 同理，，于是．同理，于是为正三角形．‎ ‎11．2．26★★四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，‎ 过点作的平行线交的延长线于点，与交于点．证明：．‎ 解析 设与交于点，由，得，所以．又，故，所以．从而，即．又，故∽，，从而，．又，故．所以．‎ ‎11．2．27★★★在中，设是边的中点，点、分别在边、上，，交于点，于点，交的延长线于，求证：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 (1)因为，所以∽，，又，所以∽，，因此，从而∽，故．‎ ‎(2)延长交于点，则是平行四边形，在直角三角形中，是斜边的中点，所以，，于是．‎ ‎11．2．28★★★不等边锐角三角形中，是底边上一点，上有一点，延长、，分别交、于、，若平分，求证：．‎ 解析 如图，连结，交于，又作，、在上，设与交于，与交于．则，故，故∽，于是，又，故．‎ 评注 本题也可用塞瓦定理加以证明．‎ ‎11．2．29★★等边的三条边、、上分别有三条相等的线段、、．求证：直线、、，所构成的三角形上，三条线段、、与包含它们的边成比例．‎ 解析 设直线、、所构成的三角形为(如图)，过、分别作、的平行线，相交于点，则是等边三角形，且，，可得，，即∽，，所以．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．2．30★★★已知，，是中点，直线．是上任一点，延长后交直线于，、分别是、中点，求证：平分．‎ 解析 如图，连结、，与交于，则由角平分线及平行线性质，知，，故∽，．又，故平分．‎ ‎11．2．31★★★设直角三角形中，，是斜边上的高，、的内心分别是、，延长，交两直角边于、，证明：，并用、来表示．‎ 解析 如图，连结、、、．因为∽，、为对应线段，故，且∽，于是，从而．又，故≌，，同理．于是 ‎．‎ ‎11．2．32★★分别以锐角三角形的边、、为斜边向外作等腰直角三角形、、．求证：(1)；(2)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 (1)延长至点，使，连结、．因为是等腰直角三角形，所以=．又，所以．因为是等腰直角三角形，所以，于是∽，，即．又在和中,有，，所以∽，，即．所以，．‎ ‎(2)因为∽，所以=．又由∽，得,于是．所以，．‎ ‎11．2．33★★★已知，向外作正三角形与，、分别是、的中点，是上一点，，求的三个内角值．‎ 解析 如图，作于，连结、，则，于是，．‎ 又，，故∽，且是顺相似，于是∽，所以的内角依次为、、．‎ 评注 ≥时结论不变．‎ ‎11．2．34★★★已知：，向外作正三角形和正三角形，与依次是它们的中心，是中点，求证：．‎ 解析 如图，设、的中点分别为、，连结与，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 又，故∽，于是，同理，由∽，可得，于是．‎ ‎11．2．35★★★已知锐角三角形，、为高，是垂心，、延长后交于，为中点，求证：．‎ 解析 如图，设与交于，与交于．由面积知、、、是调和点列，即，又由梅氏定理，，即．又∽，且顺相似，，‎ ‎，、是对应点，故，即．‎ 评注 调和点列见15．1．65，此题是一个一般结果之特例．‎ ‎11．2．36★★★已知中，，、在上，在上，，，在上，(为中点)，交于，求证：．‎ 解析 如图，延长、，设交于，连结．由于∽，故，于是，又由，，故∽，同理∽．‎ 于是，，由于，故．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．2．37★★★★为的边上一点，和分别为线段和上的点．满足．再设、为线段和上的点，使得．求证：．‎ 解析 如图，在上取点，使，连结、．易知与位似，故，．而，故，从而，所以、、、共圆(与不重合)，于是．‎ 又，加之，即得．‎ ‎11．2．38★★★★已知中，、上各有一点、，直线与延长线交于点，求证：．‎ 解析 在上取，使、、、共圆，则，，又在上取，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 使、、、共圆，则，，于是，‎ 于是问题变成求证．显见∽，，又∽，故，欲证式成为，或，这是梅氏定理，故结论成立．‎ ‎11．2．39★★★★如图，和′′′是两个全等的正三角形，六边形的边长分别是，，，，，．求证：（1）；(2)．‎ 解析 (1)不妨设、′、、′、、的面积分别为、、、、、．由∽′∽∽′∽∽′，可得(由得，同理可得其余)．‎ 因为≌′′′，所以，则．‎ ‎(2)不妨设、′、、′的周长分别为、、、、、．‎ 可得 ‎(由，得，因此，同理可得其余)．‎ 又设、′′′的周长均为，，，由上面等式可得，化得，而，因此，即．‎ ‎11．2．40★★★★已知平行四边形，在边、上的射影分别是、，延长后与延长线交于，求证：．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 延长，交于，则∽，下面就来证明此式．延长，交延长线于，又延长，交延长线于．于是，于是欲证式变为，而这显然成立．‎ ‎11．2．41★★★★已知内有一点，上有一点，、在外，∽，∽(即，，，)，求证：．‎ 解析 如图，延长至，使，连结．于是∽∽，而且是顺相似，故∽．故，．‎ 又∽，故，于是．‎ 又 ‎，故∽，于是，同时由，得、、三点共线．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费