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类型4 探究全等三角形的存在性问题
1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为y＝x＋2.
(1)求b，c的值；
(2)过C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式；
(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得△CDM≌△CEM？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21教育网
解：(1)∵直线CD的解析式为y＝x＋2，
∴C(0，2)．
∴c＝2.
设直线CD交x轴于点A，
∴A(－2，0)．
∴＝＝.
∴∠OCA＝30°.
过点D作DM⊥y轴于点M，
∴∠DCM＝30°.
∴MC＝DM.
设抛物线的顶点横坐标为h，则CM＝h.
∴D(h，2＋h)．
∴y＝a(x－h)2＋2＋h.
代入C(0，2)，
∴2＝ah2＋2＋h.
∴h1＝0(舍)，h2＝.
∴y＝a(x＋)2＋2＋(－)＝ax2＋2x＋2.
∴b＝2.
(2)作抛物线的对称轴交x轴于点B(如图)，
∵∠ACO＝30°，
∴∠CDB＝30°.
由抛物线的对称性，可得△DCE为等边三角形．
∵CE∥x轴，∴△DAF为等边三角形．
∴B为AF中点，
∵A(－2，0)，F(4，0)，∴B(1，0)．
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∵抛物线对称轴为直线x＝1.
∴－＝1，∴－＝1.
∴a＝－.∴D(1，3)．
∴y＝－(x－1)2＋3＝－x2＋2x＋2.
(3)存在．点M的坐标为(，)．
2．(2015·金华改编)如图，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与y轴交于点A，与x轴交于点B，C两点(点C在x轴正半轴上)，△ABC为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H.21世纪教育网版权所有
(1)求a，c的值；
(2)连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；
(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21cnjy.com
解：(1)∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA＝BC.
又∵△ABC的面积＝BC×OA＝4，即OA2＝4，
∴OA＝2.
∴A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)．
∴解得
图1
(2)△OEF是等腰三角形．理由如下：如图1，
∵A(0，2)，B(－2，0)，
∴直线AB的函数表达式为y＝x＋2，
又∵平移后的抛物线顶点F在射线BA上，
∴设顶点F的坐标为(m，m＋2)．
∴平移后的抛物线函数表达式为y＝－(x－m)2＋m＋2.
∵抛物线过点C(2，0)，
∴－(2－m)2＋m＋2＝0，
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解得m1＝0(舍去)，m2＝6.
∴平移后的抛物线函数表达式为y＝－(x－6)2＋8，即y＝－x2＋6x－10.
当y＝0时，－x2＋6x－10＝0，
解得x1＝2，x2＝10.
∴E(10，0)，OE＝10.
又∵F(6，8)，OH＝6，FH＝8.
∴OF＝＝＝10，EF＝＝＝4，
∴OE＝OF，即△OEF为等腰三角形．
(3)存在．点Q的坐标为(6，2)或(6，3)或(10，12)或(4＋，6＋)或(4－，6－)．
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