广西贵港市2017届中考数学总复习题型专项（八）二次函数与几何图形综合题类型3探究特殊四边形的存在性问题试题.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 类型3　探究特殊四边形的存在性问题 ‎1．(2014·桂林)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝1.‎ ‎(1)直接写出抛物线的解析式y＝－x2＋x＋4；‎ ‎(2)把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A，C的对应点分别为A′，C′，当C`落在抛物线上时，求A′，C′的坐标；‎ ‎(3)除(2)中的点A′，C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E，F的坐标；若不存在，请说明理由． ‎ 解：(2)由抛物线y＝－x2＋x＋4可知C(0，4)．‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x＝1，根据对称性，‎ ‎∴C′(2，4)，∴A′(0，0)．‎ ‎(3)存在．设F(x，－x2＋x＋4)．以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形．‎ 图1‎ ‎①若AC为平行四边形的边，如图1所示，则EF∥AC且EF＝AC.‎ 过点F1作F1D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E1DF1，‎ ‎∴DE1＝2，DF1＝4.‎ ‎∴－x2＋x＋4＝－4，‎ 解得x1＝1＋，x2＝1－.‎ ‎∴F1(1＋，－4)，F2(1－，－4)．‎ ‎∴E1(3＋，0)，E2(3－，0)．‎ 图2‎ ‎②若AC为平行四边形的对角线，如图2所示．‎ ‎∵点E3在x轴上，‎ ‎∴CF3∥x轴．‎ ‎∴点F3为点C关于x＝1的对称点，‎ ‎∴F3(2，4)，CF3＝2.‎ ‎∴AE3＝2.∴E3(－4，0)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 综上所述，存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形；点E，F的坐标为：E1(3＋，0)，F1(1＋，－4)；E2(3－，0)，F2(1－，－4)；E3(－4，0)，F3(2，4)．‎ ‎(注：因点F3与点C′重合，故此处不确定E3，F3是否满足题意)‎ ‎2．(2015·百色)抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，2)，B(3，2)两点，若两动点D，E同时从原点O分别沿着x轴，y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．‎ ‎(1)求抛物线与x轴的交点坐标；‎ ‎(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)问几秒钟时，B，D，E在同一条直线上？‎ 解：(1)依题意有 　∴ ‎∴y＝x2－3x＋2.‎ 当y＝0时，x2－3x＋2＝0.解得x1＝1，x2＝2.‎ ‎∴抛物线与x轴交点坐标为(1，0)，(2，0)．‎ ‎(2)存在．‎ 当点C为(1，0)时，‎ ‎∵AB＝3，AB∥x轴．‎ ‎∴平行四边形中，AB＝CD＝4－1＝3.‎ ‎∴D点为(4，0)．‎ 当C(2，0)时，同理可求D(5，0)．‎ ‎(3)设t秒时，B，D，E共线，则D，E点的坐标分别为(2t，0)，(0，t)．设经过点B，D，E的直线为y＝kx＋m(k≠0)．‎ ‎∴∴或t＝0.‎ ‎∵y＝－x＋t经过B(3，2)．‎ ‎∴2＝－×3＋t.‎ ‎∴t＝3.5.‎ ‎∴t＝0或t＝3.5秒时，B，D，E共线．‎ ‎3．(2016·贵港模拟)如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.2 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)求a，k的值；‎ ‎(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；‎ ‎(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．‎ 解：(1)∵直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，‎ ‎∴A(1，0)，B(0，3)．‎ 又∵抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A(1，0)，B(0，3)，‎ ‎∴解得 故a，k的值分别为1，－1.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎(2)设Q点的坐标为(2，m)，对称轴x＝2交x轴于点F，如图1，过点B作BE垂直于直线x＝2于点E.‎ 在Rt△AQF中，AQ2＝AF2＋QF2＝1＋m2，‎ 在Rt△BQE中，BQ2＝BE2＋EQ2＝4＋(3－m)2.‎ ‎∵AQ＝BQ，∴1＋m2＝4＋(3－m)2.‎ ‎∴m＝2.∴Q点的坐标为(2，2)．‎ ‎(3)如图2，当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，∴AC应为正方形的对角线．‎ 又∵对称轴x＝2是AC的中垂线，‎ ‎∴M点与顶点P(2，－1)重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为(2，1)．‎ 此时，MF＝NF＝AF＝CF＝1，且AC⊥MN，‎ ‎∴四边形AMCN为正方形．‎ 在Rt△AFN中，AN＝＝，即正方形的边长为.‎ ‎4．(2016·泰安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.21·cn·jy·com ‎(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；‎ ‎(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；www-2-1-cnjy-com ‎(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．‎ 解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x－2)2＋9，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵抛物线与y轴交于点A(0，5)，∴4a＋9＝5.‎ ‎∴a＝－1.‎ ‎∴y＝－(x－2)2＋9＝－x2＋4x＋5.‎ ‎(2)当y＝0时，－x2＋4x＋5＝0，‎ 解得x1＝－1，x2＝5.‎ ‎∴E(－1，0)，B(5，0)．‎ 设直线AB的解析式为y＝mx＋n，‎ ‎∵A(0，5)，B(5，0)，∴m＝－1，n＝5.‎ ‎∴直线AB的解析式为y＝－x＋5.‎ 设P(x，－x2＋4x＋5)，∴D(x，－x＋5)．‎ ‎∴PD＝－x2＋4x＋5＋x－5＝－x2＋5x.‎ ‎∵AC＝4，∴S四边形APCD＝×AC·PD＝2(－x2＋5x)＝－2x2＋10x.‎ ‎∴当x＝时，S四边形APCD最大＝.‎ ‎(3)如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H.‎ ‎∵MN∥AE，MN＝AE，‎ ‎∴△HMN≌△OEA.‎ ‎∴HM＝OE＝1.∴M点的横坐标为x＝3或x＝1.‎ 当x＝1时，M点纵坐标为8；‎ 当x＝3时，M点纵坐标为8.‎ ‎∴M点的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)．‎ ‎∵A(0，5)，E(－1，0)，‎ ‎∴直线AE解析式为y＝5x＋5.‎ ‎∵MN∥AE，∴MN的解析式为y＝5x＋b.‎ ‎∵点N在抛物线对称轴x＝2上，∴N(2，10＋b)．‎ ‎∵AE2＝OA2＋OE2＝26，‎ ‎∵MN＝AE，∴MN2＝AE2.‎ ‎∴MN2＝(2－1)2＋[8－(10＋b)]2＝1＋(b＋2)2.‎ ‎∵点M的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)，‎ ‎∴点M1，M2关于抛物线的对称轴x＝2对称．‎ ‎∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N＝M2N.‎ ‎∴1＋(b＋2)2＝26，解得b＝3或b＝－7.‎ ‎∴10＋b＝13或10＋b＝3.‎ ‎∴当点M的坐标为(1，8)时，点N的坐标为(2，13)；当点M的坐标为(3，8)时，点N的坐标为(2，3)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费