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一、选择题
1. （ 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，4，3分）下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【逐步提示】本题考查如何辨别最简二次根式，解题的关键是根据最简二次根式的定义逐一进行判断；如果二次根式满足（1）被开方数不含能开的尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含有分母；（3）分母中不含有根号这样的二次根式就叫做最简二次根式．
【详细解答】解：A选项：不是最简二次根式，因为根号中含有分母； B选项：是最简二次根式； C选项： 不是最简二次根式，因为根号中含有开得尽的因数； D选项不是最简二次根式，因为根号中含有开得尽的因数，故选择B.
【解后反思】最简二次根式必须同时满足以下两个条件：（1）被开方数不含能开的尽方的因数或因式；（2）被开方数中不能含有分母；
【关键词】 最简二次根式；
2. （2016贵州省毕节市，1，3分）的算术平方根是（ ）
A.2 B.±2 C. D. ±
【答案】C
【逐步提示】 本题考查立方根、算术平方根的概念．①先求出的结果；②再求出结果的算术平方根．
【详细解答】解：＝2，2的算术平方根是，故选择C.
【解后反思】本题的易错点是容易将只得正数的结果误得到正负两个值．认真、正确理解概念是是防错的法宝．
【关键词】 立方根；算术平方根；
3. （2016贵州省毕节市，7，3分）估计＋1的值在（ ）
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
【答案】B
【逐步提示】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握估算的方法．先找到紧挨6的两个平方数，即可知道夹在哪两个正整数之间，进而可知＋1夹在哪两个正整数之间．
【详细解答】解：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，所以，3＜＋1＜4，故选择B.
【解后反思】本题的易错点是所找的夹被开方数的两个正整数不是平方数或不是挨被开方数的两个平方数，得出结果又不作验证致错．
【关键词】实数；无理数的估算
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4. （ 2016河北省，7，3分）关于的叙述，错误的是（ ）
A．是有理数 B．面积为12的正方形边长是
C．= D．在数轴上可以找到表示的点
【答案】A
【逐步提示】表示12的算术平方根，根据这一意义对各选项逐一进行判断.
【详细解答】解：是开方开不尽的数，属于无理数，故选项A不正确；设正方形的边长为a（a＞0），当a2=12时，a=，故选项B正确；，故选项C正确；数轴上的点与实数（包括有理数和无理数）是一一对应的，故在数轴上可以找到表示的点，选项D正确 .
【解后反思】1. （a≥0）表示一个非负数a的算术平方根，注意不要混淆算术平方根和平方根.2.实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
【关键词】 算术平方根；二次根式的化简；实数与数轴
5. （ 2016湖北省黄冈市，6，3分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. x>0 B. x≥-4 C. x≥-4且x≠0 D.x>0且x≠-4
【答案】C
【逐步提示】本题考查了函数自变量x的取值范围，解题的关键是理解分式和二次根式有意义的条件．从函数解析式来看，自变量即出现在二次根式的被开方数当中，又出现在分母之中，根据二次根式及分式有意义的条件可确定自变量x的取值范围。
【详细解答】解：要使函数有意义，则自变量x必须满足：x+4≥0且x≠0.
∴ 自变量x的取值范围是 x≥-4且x≠0 ，故选择C .
【解后反思】确定函数自变量的取值范围，关键要自变量在函数解析式中呈现的形式，若在二次根式的被开方数中出现，则被开方数大于等于零；若在分母中出现，则分母不等于零；若同时都出现，则必须同时满足两个条件.
【关键词】 函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件。
6.（2016湖南常德，1，3分）4的平方根是
A．2 B．－2 C． D．
【答案】D
【逐步提示】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义．根据平方根的定义，求非负数的平方根．如果x2=a（a≥0），则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【详细解答】解：∵，∴4的平方根是±2．故选择 D．
【解后反思】一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．此类问题容易出错的地方是漏解，往往把负数漏掉，误以为4的平方根的是2．
【关键词】平方根概念及的求法．
7. （ 2016湖南省怀化市，1，4分）（－2）2的平方根是（ ）
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A.2 B.－2 C.±2 D.
【答案】C.
【逐步提示】此题的实质是求4的平方根，根据平方根的定义逐一判断即可.
【详细解答】解：∵（－2）2＝4，∴（－2）2的平方根是±2，故选择C .
【解后反思】此题主要考查平方根概念与表示，易错点有两个：①混淆平方根与算术平方根的概念，如选项A;②混淆平方根与平方的概念，如选项B,D .
【关键词】平方根的概念及求法
8. （ 2016湖南省怀化市，9，4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）定义
A. x≥1 B. x＞1 C. x≥1且x≠2 D. x≠2
【答案】C.
【逐步提示】此题考查函数的定义及其自变量的取值范围.函数y＝中，求自变量x的取值范围，需要考虑以下两点.
（1）二次根式中被开方数为非负数，即x－1≥0；
（2）分式中分母不为零，即x－2≠0，由此可作出判断.
【详细解答】解：根据题意，自变量x的取值范围应满足，解得x≥1且x≠2，故选择C.
【解后反思】此题考查函数的定义及其自变量的取值范围.解此类题，一定要明确：（1）二次根式中被开方数为非负数；（2）分式中分母不为零.此题两条件必须都要考虑到，二者缺一不可.
【关键词】函数定义及其取值范围
9.（ 2016年湖南省湘潭市，3，3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【逐步提示】本题考查了二次根式和整式的运算，解题的关键是正确掌握运算法则．解题步骤是根据二次根式和整式的运算法则逐一判断，找出正确的答案。
【详细解答】解：A中3与不是同类二次根式，不能合并，更不能用3与相乘，错误；B中积的乘方应把每个因式都要乘方，∴应等于 ，错误；C根据单项式乘单项式的法则，系数与系数相乘，相同字母相乘，对于只在一个因式中含有的字母要连同它的指数作为积的一个因式，∴，正确； D中两个二次根式相除等于被开方数商的算术平方根， ∴，错误 ，故选择 C.
【解后反思】解决此类题目的关键是熟练掌握积的乘方、单项式乘单项式、二次根式加减、乘除的运算法则．在计算时，需要针对每个算式分别计算，然后根据运算法则求得计算结果．这类题的易错点是混淆公式而产生计算错误．
【关键词】整式的乘除；积的乘方；单项式与单项式相乘；二次根式加减法；二次根式除法
10. （2016湖南湘西，12，4分）计算的结果精确到0.01是（可用科学计算器计算或笔算）
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A.0.30 B.0.31 C.0.32 D. 0.33
【答案】C
【逐步提示】此题主要考查了利用计算器求数的开方运算，解题的关键是正确使用科学计算器计算.解题首先注意要让学生能够熟练运用计算器计算实数的四则混合运算，注意运算顺序.
【详细解答】解：≈1.732－1.414=0.318≈0.32，故选择C .
【解后反思】此题考查了使用计算器计算开方，在正确使用计算器同时要求学生会根据题目要求取近似值．
【关键词】计算器—数的开方；近似数
11. (2016湖南省永州市，4，4分)下列运算正确的是( )
A． －a·a3=a3 B．－(a2)2=a4 C． D．
【答案】D
【逐步提示】本题考查了幂的运算法则，合并同类项，乘法公式，解题的关键在于正确理解这些法则、公式并会运用．解题时根据法则公式逐选项进行判断．
【详细解答】解：选项A中，－a·a3=－a4 ，错误；选项B中，－(a2)2=－a4 ，错误；选项C中，，错误；选项D中，=3－4=－1，正确，故选择 D．
【解后反思】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母和字母的指数不变；(a+b)(a－b)=a2－b2．
【关键词】同底数幂的乘法；幂的乘方；合并同类项；平方差公式
12. (2016湖南省岳阳市，3，3)函数中自变量x的取值范围是 ( )
A.x≥0 B. x＞4 C. x＜4 D. x≥4
【答案】D
【逐步提示】根据含二次根式的函数的自变量取值范围的求法求解.
【详细解答】根据二次根式有意义的条件“被开方数非负”可知x-4≥0，即x≥4，故选B.
【解后反思】自变量取值范围问题主要有四种形式：①解析式右边是整式，则取任意实数；②解析式右边是二次根式，要注意被开方数非负；③解析式右边是分式，要注意分母不为0；④实际问题一定要注意实际有意义的取值；复合函数则要同时考虑所有情况．
【关键词】函数自变量的取值范围
13. （2016江苏泰州，1，3分）4的平方根是
A．±2 B．−2 C．2 D．±
【答案】A
【逐步提示】本题考查了平方根，解题的关键是正确把握平方根的定义．直接根据平方根的定义，可得4的平方根是±2.
【详细解答】解：∵(±2)2=4， 故4的平方根是±2，故选择A.
【解后反思】⑴正数的平方根有两个；0的平方根是0；负数没有平方根.⑵一个正数的平方根中，正的那个平方根叫做算术平方根；0的算术平方根为0.
【关键词】平方根
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14. （2016江苏省无锡市，2，3分）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
【答案】B
【逐步提示】本题考查了求函数自变量的取值范围，解题的关键是熟记求自变量取值范围的几种类型的解法，2x－4是二次根式的被开方数，因此2x－4≥0．
【详细解答】解：∵2x－4≥0，∴x≥2，故选择Ｂ.
【解后反思】在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（１）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（２）函数关系式为分式形式：分母≠0；（３）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（４）函数关系式含0指数：底数≠0．
【关键词】函数定义及其取值范围；
15. （2016江苏省扬州市，2，3分）函数中自变量x的取值范围是 ( )
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
【答案】B
【逐步提示】本题考查了含有二次根式的函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式有意义，必须满足被开方数是非负数，即x-1≥0．
【详细解答】解：x-1≥0 ，解得x≥1，故选择B ．
【解后反思】此类问题容易出错的地方是混淆二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．对于求代数式中或函数式中x的取值范围的题，通常考查是都是关于二次根式和分式的意义：分式的意义是B≠0；二次根式的意义是a≥0．
【关键词】 函数；变量之间的关系；函数定义及其取值范围；分式；二次根式
16.（2016 镇江，4,2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 .
【答案】x≥.
【逐步提示】①本题考查了二次根式的概念，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件．
②二次根式有意义，必须满足被开方数是非负数，即2x-1≥0，然后解不等式.
【详细解答】解：∵代数式有意义，∴2x-1≥0，解得x≥，故答案为x≥.
【解后反思】二次根式有意义，即被开方数大于或大于0，从而转化为解不等式的问题．
此类问题容易出错的地方是：由二次根式有意义，认为2x－1>0，从而得．
【关键词】 二次根式；一元一次不等式
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二、填空题
1. （ 2016福建福州，14，4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【逐步提示】本题考查了二次根式的意义，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列关于x的不等式，再求解．
【详细解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1 ，故答案为x≥﹣1 ．
【解后反思】根据二次根式的意义被开方数必须为非负数，所以要使二次根式有意义，则必须a≥0, 要使二次根式无意义，则必须a＜0，列不等式求解．
【关键词】二次根式；
2. （2016广东省广州市，12，3分）代数式有意义时，实数x的取值范围是 ．
【答案】x≤9
【逐步提示】要使二次根式有意义，只需满足被开方数是非负数即可．通过解不等式，即得实数x的取值范围．
【详细解答】解：∵代数式有意义，∴9－x≥0，解得x≤9．故答案为x≤9．
【解后反思】式子 (a≥0)叫做二次根式．(a≥0)；|a|；a2；是初中阶段常见的非负数形式，若几个非负数的和为0，则这几个数均为0，据此可求某些字母的值．
【关键词】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
3. （ 2016河北省，17，3分）8的立方根为 .
【答案】2
【逐步提示】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可.
【详细解答】解：∵23=8，∴8的立方根是2，故答案为2.
【解后反思】1.立方根的定义：如果一个x的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根；2. 正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，即一个数的立方根与原数的符号相同．
【关键词】 立方根
4. （ 2016湖北省黄冈市，7，3分）的算术平方根是 。
【答案】
【逐步提示】本题考查了算术平方根的概念，理解算术平方根的意义，掌握算术平方根的求法是解题的关键．
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先找出什么数的平方等于，然后根据算术平方根的概念即可确定答案。
【详细解答】解：因为 ，所以 的算术平方根为。故答案为 .
【解后反思】一个正数的平方根有两个，其中正的平方根是算术平方根。0的算术平方根是0.
【关键词】算术平方根的概念及求法。
5. （ 2016湖北省黄冈市，9，3分）计算：= 。
【答案】
【逐步提示】本题主要考查绝对值运算和二次根式的运算，解题的关系是先去掉绝对值符号，然后利用二次根式的加减法法则计算。先确定的正负性，去掉绝对值符号，再化简，最后运用二次根式的加减法进行运算。
【详细解答】解：= ，故答案为 .
【解后反思】二次根式的性质：，；二次根式的加减运算实质上就是合并同类项，即先把二次根式化成最简二次根式后，找到被开方数相同的二次根式，把系数直接相加减，二次根式不变．
【关键词】 绝对值运算；二次根式的性质；二次根式的加减法运算。
6.（ 2016湖北省黄石市，16，3分）观察下列等式：
第1个等式：＝＝；
第2个等式：＝＝；
第3个等式：＝＝；
第4个等式：＝＝；
……
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第个等式：＝________；
（2）＝________．
【答案】（1）＝；（2）．
【逐步提示】本题考查了分析、探索、归纳、总结规律的能力，解题的关键是发现数字的变化规律．
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（1）仔细观察所给的一组等式，不难发现：第一个等号右边的分子都为1，分母是两个二次根式的和，并且两个二次根式的被开方数是连续整数，且较小的被开方数与等式的序号相同，据此规律，可写出第个等式；第二个等号的右边就是将等号的左边进行分母有理化．（2）将每个等式分母有理化的代入即可求解．
【详细解答】解：（1）观察题中提供的等式可知，是被开方数从1开始的两个连续整数的二次根式的和的倒数，是被开方数从2开始的两个连续整数的二次根式的和的倒数，是被开方数从3开始的两个连续整数的二次根式的和的倒数，……于是猜想＝，再分母有理化得．（2）＝＋＋…＋＝，故答案为（1）＝；（2）．
【解后反思】规律探究问题，一般从最简单的的几个数、式或图形观察、发现，分析，再由特殊到一般，猜想、归纳、总结出规律（用代数式或等式表示），最后进行验证、确认规律是正确的．
【关键词】规律探索型问题；二次根式．
7. （2016湖南常德，9，3分）使代数式有意义的x的取值范围是 ．
【答案】
【逐步提示】本题考查了二次根式定义．先根据二次根式的有意义的条件建立关于x的不等式，再解这个不等式．
【详细解答】解：根据题意，得≥0，解得x≥3．
【解后反思】：形式的式子是二次根式，因此二次根式的被开方数a应满足条件a0． 解答与二次根式概念有关的问题通常是根据这个条件建立不等式来求解．
【关键词】二次根式
8. （ 2016湖南省郴州市，9，3分）计算：－1＋＝ ．
【答案】1
【逐步提示】本题考查的是算术平方根的意义和有理数的加法，求4的算术平方根，就是求一个平方等于4的正数，然后用这个数和－1相加，根据有理数的加法法则计算．
【详细解答】解：原式＝－1＋2＝1．
【解后反思】此类问题容易出错的地方是是把算术平方根定义与平方根定义相混淆．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．一个正数的平方根有两个，且互为相反数．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【关键词】算术平方根 ；有理数的加法；
9.（ 2016湖南省郴州市，11，3分）二次根式中，a的取值范围是 ．
【答案】a≥1
【逐步提示】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的性质．根据式子有意义和二次根式的概念，得到a－1≥0，解不等式求出解集即可．
【详细解答】解：若二次根式有意义，则a－1≥0，解得a≥1．
【解后反思】本题易出现的错误的地方是误认为二次根式有意义的条件是被开方数是正数，所以丢掉了等于0
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的情况．二次根式（a≥0）．
求式子的取值范围通常可以转化为解不等式（组）的问题．
所给代数式的形式
自变量的取值范围
整式
一切实数
分式
使分母不为零的一切实数，注意不能随意约分，同时注意“或”和“且”的含义
偶次根式
被开方数应满足大于或等于0
0次幂或负整数指数幂
底数不为零
复合形式
列不等式组，兼顾所有式子同时有意义
【关键词】 二次根式； 解一元一次不等式
10. （ 2016江苏省连云港市，9，3分）化简： ▲ ．
【答案】2
【逐步提示】本题考查了数的三次方根，理解三次方根的概念是解题的关键．先求出那个数的3次方等于8，再根据立方根的概念确定8的立方根．
【详细解答】解：∵，∴，故答案为2 ．
【解后反思】如果一个数x的立方等于a，那么我们就把这个数x叫a的立方根，用式子表示a的立方根：，一个正数有一个正的立方根，零的立方根是零，一个负数的立方根是负数．
【关键词】立方根
11. （2016江苏省南京市，7，2分）化简：＝ ▲ ； ＝ ▲ ．
【答案】， 2
【逐步提示】本题考查了实数的算式平方根和立方根，解题的关键是理解算式平方根和立方根的概念．
【详细解答】解：表示求8的算式平方根，就是正的平方根为，表示求8的立方根，就是2．所以答案为， 2．
【解后反思】一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数，其中正的平方根叫做这个数的算术平方根，规定0的平方根就是算术平方根，负数没有算数平方根．任何实数的立方根只有一个：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零．此类问题容易出错的地方是把理解为求8的平方根，写成了．
【关键词】 实数；数的开方；算术平方根的概念及求法；立方根的概念及求法
12. （2016江苏省南京市，8，2分）若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是▲ ．
【答案】x≥1．
【逐步提示】本题考查了二次根式的概念，解题的关键是根据二次根式有意义的条件建立关于x的不等式求解．
【详细解答】解：根据二次根式有意义的条件，得，解得x≥1，故答案为x≥1．
【解后反思】形式的式子是二次根式，因此二次根式的被开方数a应满足条件a0；解答与二次根式概念有关的问题通常是根据这个条件建立不等式来求解．此类问题容易出错的地方是忽视写上等号，仅仅写了
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a>0，缩小了字母的取值范围．
【关键词】实数；二次根式；二次根式；
13. （2016山东省德州市，13，4分）化简 的结果= .
【答案】
【逐步提示】根据分母有理化化简即可得。
【详细解答】解： ，故答案为 .
【解后反思】（1）分母有理化是解决分母中含有二次根式的分数形式的计算最常用的方法；（2）分母是单个二次根式的分母有理化比较简单，分母是二次根式和差关系的计算稍微复杂，找准分母有理化的对应式子是关键。
【关键词】 二次根式；分母有理化；
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三、解答题
1. （ 2016江苏泰州，17，6分）计算或化简
（1）
【逐步提示】本题考查了二次根式的加减法混合运算，正确化简是解题的关键．
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将各二次根式分别化为最简二次根式的同时去括号，然后合并同类二次根式。
【详细解答】解：==
【解后反思】二次根式的加减法运算，其实质是合并同类二次根式．运用性质、可进行二次根式的化简．
【关键词】二次根式的运算
2. （2016江苏盐城，19（2），4分）计算： (3－)(3＋)＋(2－)．
【逐步提示】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和乘法公式，先根据平方差公式、单项式乘多项式的法则分别进行运算，再化简．
【详细解答】解：原式＝2+2－2＝2．
【解后反思】整式的运算法则和运算顺序同样适用于二次根式，在运算过程中注意运用乘法公式，初中数学中的乘法公式有：平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，二次根式的运算结果要化成最简二次根式或整式．
【关键词】二次根式混合运算；平方差公式
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