知识点019 与二次函数有关几何方面应用2016.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. （2016贵州省毕节市，14，3分）一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一个坐标系中的图象可能是（ 　 ）‎ x y O A x y O B x y O D x y O C ‎（第14题图）‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】本题考查了一次函数和二次函数的图象，解题的关键是弄清二次函数和一次函数的图像与解析式之间的关系．先根据特殊点的位置及各直线所过的象限确定a的正负，再由抛物线的开口方向判断a的正负，若两者所得a的符号一致，则图象正确． 【详细解答】解：当x＝0时，都有y＝c，所以直线和抛物线都过点（0，c），排除A；对于B，由直线知a0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线于点P，且OA·MP=12.‎ ‎（1）求k值；‎ ‎（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；‎ ‎（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；‎ ‎（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围. ‎ ‎【逐步提示】本题是一道综合考查反例函数和二次函数的压轴题.（1）设点P（x,y），根据 已知OA·MP=12求得xy的值即可.（2）将t=1代入抛物线L的函数表达式，进而求得L与 x轴两个交点A，B的坐标，即可求得AB的长；因为M是OA的中点，所以根据点A的坐标 可求得点M的坐标，再由抛物线L的函数表达式求得L的对称轴，进而可求得MP与L的对 称轴的距离.（3）需分类讨论：当L的对称轴在MP的左侧时，图像G的最高点就是L的顶 点；当L的对称轴在MP的右侧时，L与MP的交点是G的最高点.（4）对双曲线，当4≤x0≤6‎ 时，1≤y0≤.即L与双曲线在C（4，），D（6,1）之间的一段有个交点.‎ ‎①由=（4-t）（4-t+4），得t1=5,t2=7；‎ ‎②由1=（6-t）（6-t+4），得t3=8－,t4=8+.‎ 随着t的逐渐增大，L位置随点A（t,0）向右平移，如图所示.‎ 当t=5时，L右侧过点C；当t=8－＜7时，L右侧过点D；即5≤t≤8－.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当8－＜t＜7时,L右侧离开了点D，而左侧未到点C，即L与该段无交点，舍去.‎ 当t=7时，L左侧过点C；当t=8+时，L左侧过点D；即7≤t≤8+.‎ ‎ 【详细解答】解：（1）设点P（x,y），则MP=y.由OA的中点为M知OA=2x，代入OA·MP=12，得2x·y=12，即xy=6.‎ ‎∴k=xy=6.‎ ‎（2）当t=1时，令y=0,0=（x－1）（x+3），∴x1=1,x2=-3.‎ ‎∴由B在A左边，得B（﹣3,0），A（1,0）,∴AB=4.‎ ‎∵L的对称轴为x＝﹣1，而M为（,0）.‎ ‎∴MP与L的对称轴的距离为.‎ ‎（3）∵ A（t,0）,B（t－4,0），‎ ‎∴L的对称轴为x=t-2.‎ 又MP为x=，‎ 当t-2≤时，即t≤4时，顶点（t－2,2）就是G的最高点；‎ 当t＞4时，L与MP的交点（，）就是G的最高点.‎ ‎（4）5≤t≤8－或7≤t≤8+.‎ ‎【解后反思】1.二次函数的交点式：y=a（x－x1）（x－x2）其中（x1，0），（x2，0）为抛物线与x轴的交点坐标，其对称轴是直线：.‎ ‎2.对于表达式中含有字母系数的函数问题，要注意分析函数图像和性质随字母系数的变化而变化的情况.‎ ‎【关键词】 反比例函数的表达式；二次函数的表达式；抛物线与x轴的交点坐标；抛物线的对称轴；抛物线的最大值；分类讨论思想 ‎8. （ 2016河南省，21，10分）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整。‎ ‎（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎3‎ m ‎-1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎…‎ 其中，m= .‎ ‎（2）根据上表数据，在如图所示 的平面直角坐标系中描点，‎ 并画出了函数图象的一部 分，请画出该函数图象的另 一部分.‎ ‎（3）观察函数图象，写出两条函数的性质.‎ ‎（4）进一步探究函数图象发现：‎ ‎①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2-2|x|=0有 个实数根；‎ ‎②方程x2-2|x|=2有 个实数根；‎ ‎③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是 .‎ ‎【逐步提示】第一问要理解表格中的数据与图象上点的对应关系,m值就是横坐标为-2时所对应的点的纵坐标，观察图象即可得到m=0；第二问要求分类讨论，画出当x＞0时函数的图像即可，也可以根据对称性画出图象;第三、四问主要是学会识图.理解方程与函数的关系.‎ ‎【详细解答】解：（1）0； ‎ ‎（2）（正确补全图像）； ‎ ‎（3）（可从函数的最值，增减性，图像的对称性等方面阐述，答案不惟一，合理即可）‎ ‎（4）① 3,3；‎ ‎② 2；‎ ‎③.‎ ‎【解后反思】此类问题需要理解函数的定义,每一组对应值与图象上点的对应关系,增强识图能力,方程与函数的关系也很重要:方程的解可以看做函数的函数值取某一特定值时自变量的值.还要加强分类讨论思想的的渗透,真正理解其含义.‎ ‎（1）在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：①函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；②函数关系式为分式形式：分母≠0；③函数关系式含算术平方根：被开方数≥0等．④复合形式：列不等式组，兼顾所有式子同时有意义．‎ ‎（2）函数有三种表示方法：①列表法；②表达式法；③图象法．‎ ‎（3）画函数图象的基本步骤：①列表；②描点；③连线．‎ ‎【关键词】列表,二次函数图象,二次函数与一元二次方程,分类讨论,数形结合 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎9.（ 2016省市，23，分）如图1，直线y=-x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4）抛物线y=x2+bx+c经过点A,交y轴于点B（0,-2）.点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D,连接PB.‎ ‎（1）求抛物线的解析式.‎ ‎（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长.‎ ‎（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD/P/，且∠PBP/=∠OAC，当点P的对应点P/落在坐标轴上时，请直接写出P点的坐标.‎ ‎【逐步提示】本题是一道二次函数与几何图形存在性相结合综合性考题，主要考查了二次函数解析式求法、等腰直角三角形的基础知识、平面直角坐标系中线段长的表示方法、以旋转变换为基础的等角问题、，解题的关键是解题的关键是审清题意，注意动点的变化规律，确定动点的位置，采用合适的方程模型探寻动点之间的联系．‎ 基本的解题思路（1）把点C（0,4）代入y=x+n求出n值，得一次函数解析式，再求出点A坐标（3,0），最后把A、B两点代入抛物线解析式求出b、c值即可；‎ ‎（2）等腰直角三角形存在性的动点问题基本思维过程一般为两个环节：一、首先确定点P的位置（一般要进行分类），按点P在BD上方或下方，在y轴左侧或右侧可确定三种不同情况①点P在y轴右侧且在BD上方；②点P在y轴右侧且在BD下方；③点P在y轴右侧.二、解决问题：由△BDP是等腰直角三角形可知BD=PD，由点P、D、B的坐标分别表示出BD和PD长，由BD=PD建立方程模型，从而求出m值，即得到PD长.‎ ‎(3) 以旋转变换为基础而构建的等角问题，其一般的思维过程可分为两个环节：一是确定位置（一般要进行分类），按点P在y轴左侧或右侧，旋转后点P′落在x轴或y轴可分为三种情况①点P在y轴左侧且点P′只能落在x轴上；②点P在y轴右侧且点P′落在x轴上；③点P在y轴右侧且点P′落在y轴上.二是解决问题.等角问题存在性在解决问题时一般是构建相似或全等等的直角三角形，利用相似或三角函数建立方程模型①点P在y轴左侧且点P′只能落在x轴上时，确定点P和P′，作出△BDP和△BD′P′，借助∠BD′P′=90°在水平竖直方向构建一线三直角结构，得一对相似的直角三角形，由∠ＤＢＤ′＝∠ＯＡＣ的一对相似三角形，从而建立含ｍ的方程模型求出ｍ值，得到点Ｐ坐标，方法二，延长ＤＢ交ｘ轴与点Ｑ，由△ＯＱＢ∽△ＤＢＤ′而建立方程模型求出ｍ值得到点Ｐ坐标②点P在y轴右侧且点P′落在x轴上时同第一种情况；③点P在y轴右侧且点P′落在y轴上时由∠ＰＢＰ′＝ＯＡＣ，由ＢＤ∥ｙ轴可得∠ＰＢＰ′＝∠ＢＰＤ，易得△ＢＤＰ∽△ＣＯＡ，建立方程模型求出ｍ值即可得点Ｐ坐标 ‎【解答过程】解：（1）由直线ｙ＝－过点Ｃ（０,４），得ｎ＝４．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴直线ｙ＝－ｘ＋４．‎ 当ｙ＝０时，０＝－－ｘ＋４，解得ｘ＝３，∴点Ａ（３,０）．‎ ‎∵抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过点Ａ（３,０）、Ｂ（０，－２），‎ ‎∴ｂ＝－，ｃ＝－２‎ ‎∴抛物线解析式为ｙ＝ｘ２－ｘ－２．‎ ‎（２）∵点Ｐ的横坐标为ｍ，∴Ｐ　（ｍ，ｍ２－ｍ－２），Ｄ（ｍ，－２）．‎ 若△BDP为等腰直角三角形，则ＰＤ＝ＢＤ．‎ ‎①当点Ｐ在直线ＢＤ上方时，ＰＤ＝ｍ２－ｍ．‎ ‎（ｉ）若点Ｐ在ｙ轴左侧，则ｍ＜０，ＢＤ　＝－ｍ．‎ ‎∴ｍ２－ｍ＝－ｍ，∴ｍ１＝０（舍去），ｍ２＝（舍去）‎ ‎（ｉｉ）若点Ｐ在ｙ轴右侧则ｍ＞０，ＢＤ　＝ｍ．‎ ‎∴ｍ２－ｍ＝ｍ，∴ｍ１＝０（舍去），ｍ２＝‎ ‎②当点Ｐ在直线ＢＤ下方时，ｍ＞０，ＢＤ　＝ｍ，ＰＤ＝－ｍ２＋ｍ．‎ ‎∴－ｍ２＋ｍ＝ｍ，∴ｍ１＝０（舍去），ｍ２＝‎ 综上ｍ＝或 即当△BDP为等腰直角三角形时，ＰＤ的长为或．‎ ‎（３）Ｐ１（），Ｐ２（），Ｐ３（‎ ‎【提示】∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4；∴AC=5，∴sin∠PBP/=，cos∠PBP/=，‎ ‎①当点P/落在x轴上时，过点D/作D/N⊥x轴于N，交BD于点M，‎ ‎∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,‎ 如图1，ND/-MD/=2,‎ 即×(m2-m)-（-m）=2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 如图2，ND/-MD/=2，‎ 即×(m2-m)-（-m）=2‎ 解得：P（－，）‎ 或P（，）‎ ‎②当点P/落在y轴上时，‎ 如图3，过点D/作D/M⊥x轴交BD于点M，‎ 过点P/作P/N⊥y轴，交MD/的延长线于点N，‎ ‎∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,‎ ‎∵PN=BM,即 ×(m2-m)= m 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴P（，）‎ ‎【解后反思】以二次函数图象为背景的动点与几何图形存在性结合问题，问题解决一般分为两个环节：（1）确定动点的位置，在动态变化的过程中寻找可确定的因素（即可确定的量、可确定的位置）是突破问题的关键;利用几何图形的性质或图形变换的性质使动点和这些确定因素之间建立联系，从而确定或假定动点的位置，大多存在不同位置情况而进行分类.（2）解决问题：和点的坐标联系可在水平或竖直方向作辅助线构造直角三角形或者借助几何图形的性质作辅助线构造直角三角形，然后利用直角三角形的相似、三角函数或者勾股定理建构方程模型达到解决问题的目的 ‎【关键词】二次函数；等腰直角三角形存在性；等角问题；相似或三角函数；构建方程模型；‎ ‎10. （ 2016湖北省黄冈市，24，14分）如图，抛物线与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上一个动点。设点P的坐标为（m,0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.‎ （1） 求点A,点B,点C的坐标；‎ （2） 求直线BD的解析式；‎ （3） 当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；‎ （4） 在点P的运动过程中，是否存在点Q，使ΔBDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【逐步提示】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是利用函数解析式表示函数图像上点的坐标。第（1)问直接根据A,B,C在图像上的特殊位置求其坐标；第（2）问先根据D点和C点之间的关系求D点坐标，然后用待定系数法求出BD的解析式；第（3）问因为CD∥QM, 要使四边形CQMD是平行四边形，则必须CD=QM，用含m代数式表示出Q和M的坐标，然后再表示出QM的长度，利用CD的长度能求出，列出以m为未知数的方程。第（4）问中根据BD是直角边，分B为直角顶点和D为直角顶点两种，Q分别是BQ和DQ与抛物线的交点，所以求出直线BQ和DQ的解析式是解决第（4）问的关键。 【详细解答】解：（1）当x=0时，y=2, ∴C(0,2)‎ ‎ 当Y=0时，， 解得：x1=4, x2=-1.‎ ‎∴B(4,0) A(-1,0)‎ ‎ (2)∵点D与点C关于x轴对称，∴ D(0，-2)。‎ 设直线BD的解析式为y=kx+b.‎ ‎∴ ∴ ∴.‎ (3) ‎∵CD∥QM, 要使四边形CQMD是平行四边形，则CD=QM。‎ ‎∵CD=4， 。‎ ‎∴QM=。‎ ‎∴ 解得：m1=0, m2=2.‎ ‎∵P点在OB上运动，∴0y3>y2‎ 即时有y1>y3>y2‎ ‎④令，有 结合，所以 此时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大（如图3）‎ ‎∴y2y3>y2‎ ‎⑤令，B、C重合，不合题意，故舍去。‎ ‎⑥且时，有结合 所以 此时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大（如图4），‎ ‎∴y2>y3=y1‎ 即时有y2>y3=y1‎ 综上所述：或，时，有y2>y3=y1‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以时，有y20）个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x－h)2+k+m；抛物线y=a(x－h)2+k向下平移m（m>0）个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x－h)2+k－m．‎ ‎（2）左右平移：抛物线y=a(x－h)2+k向左平移n（n>0）个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x－h+n)2+k；抛物线y=a(x－h)2+k向右平移n（n>0）个单位，所得的抛物线的解析式为y=a(x－h－n)2+k.　特别地，要注意其中的符号处理；‎ ‎（3）平移时要利用的相关特点：‎ ‎①平移前后的两个图形的大小、形状完全相同，只改变图形的位置，‎ ‎②图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离，‎ ‎③连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等 ‎【关键词】 二次函数的性质；二次函数与一元二次方程；待定系数法；函数图像的平移 ‎27. （2016江苏省无锡市，26，10分）已知二次函数y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的图像与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3．‎ ‎ （1）求A、B两点的坐标；‎ ‎ （2）若tan∠PDB＝，求这个二次函数的关系式．‎ ‎【逐步提示】本题考查了二次函数图像的性质，解题的关键是利用CP∶PD＝2∶3构造相似三角形．在本题中（1）y＝ax2－2ax＋c可化成y＝a(x－1)2＋(c－a)，可得抛物线的对称轴为x＝1，如果过点C作CF⊥BD于点F，交对称轴于点H．那么可根据CP∶PD＝2∶3．可求出点F的横坐标，即可求出B点坐标，然后根据抛物线的轴对称性，可求出A点的坐标；（2）由tan∠PDB＝，可得出点P的坐标，再对比顶点坐标求得的P点坐标，可得a的值，然后将点B坐标代入，可求出C的值．‎ ‎【详细解答】解：（1）如图，过点C作CF⊥BD于点F，交对称轴于点H．‎ ‎∵y＝ax2－2ax＋c＝a(x－1)2＋(c－a)，∴对称轴为x＝1，P(1，c－a)，H(1，c)，CH＝1．‎ ‎∵CP∶PD＝2∶3，PH∥BD，∴CH∶HF＝2∶3，∴HF＝1.5，∴B(2.5，0)，∴A(－0.5，0)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）∵tan∠PDB＝，PH∥BD，∴tan∠CPH＝，∴PH＝．∴P(1，c－)．‎ ‎∵y＝a(x－1)2＋(c－a)过点B(2.5，0)，顶点为P(1，c－)．‎ ‎∴，∴．‎ ‎∴．‎ ‎【解后反思】二次函数含有两个参数，那么就需要找到两个条件，得出两个方程求出这两个参数的值．‎ ‎【关键词】二次函数图像和性质；相似三角形的判定；‎ ‎28. （2016江苏省无锡市，27，10分）如图，已知□ABCD的三个顶点A(n，0)、B(m，0)、D(0，2n)（m＞n＞0），作□ABCD关于直线AD的对称图形AB‎1C1D．‎ ‎ （1）若m＝3，试求四边形CC1B1B的面积S的最大值．‎ ‎ （2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．‎ ‎【逐步提示】本题考查了轴对称的性质、矩形的判定以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到解决问题所需的相似三角形．在本题中，（1）先证明四边形CC1B1B为矩形．然后设法表示出矩形的长和宽，即可得到一个关于n的二次函数，利用二次函数的性质求出四边形CC1B1B的面积S的最大值．（2）本题有两个未知数m、n，要得到的值，需要一个方程，可借助△BOB1∽△DOA得到一个比例式来解决本题．‎ ‎【详细解答】解：四边形ABCD是平行四边形，∴BC平行且等于AD，同理B‎1C1平行且等于AD．‎ ‎∴四边形CC1B1B为平行四边形，‎ ‎∵C与C1，B与B1关于直线AD对称，∴AD垂直平分CC1、BB1．∵BC∥AD，∴∠BCC1＝90°．‎ ‎∴四边形CC1B1B为矩形．‎ ‎（1）当m＝3时，OB＝3，∵A(n，0)，D(0，2n)，∴OA＝n，OD＝2n，‎ 在Rt△AOD中，AD＝＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 E ‎∵AD垂直平分CC1，CD∥OB，∴∠DEC＝∠AOD＝90°，∠DCE＝∠ADO＝90°－∠EDC．‎ ‎∴△DEC∽△AOD，∴CE＝2DE，∵CD＝AB＝3－n，∴CE＝．‎ ‎∵BC＝AD＝，∴S＝＝＝．‎ ‎∴四边形CC1B1B的面积S的最大值为．‎ ‎（2）当点B1恰好落在y轴上时．‎ ‎∵A(n，0)、B(m，0)、D(0，2n)，∴OB＝m，OA＝n，OD＝2n，AB＝m－n．‎ 由（1）可知，CE＝．∴BB1＝CC1＝2CE＝．‎ ‎∵∠BOB1＝∠AOD＝90°，∠BB1O＝∠DAO，∴△BOB1∽△DOA，∴．‎ ‎∴，解得．‎ ‎【解后反思】要求出面积的最大值或最小值，常考虑表示出S的函数关系式；而相似是解决几何综合题的常用方法．‎ ‎【关键词】二次函数的应用问题；最值问题；垂直平分线；轴对称；相似三角形的判定．‎ ‎29.（2016江苏省宿迁市，26，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2－1的图像M沿x轴翻折，把所得到的图像向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图像N．‎ ‎（1）求N的函数表达式；‎ ‎（2）设点P（m， n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图像M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；‎ ‎（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【逐步提示】(1)沿x轴翻折抛物线，a变为相反数，与x轴两个交点、对称轴保持不变，再根据平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后解析式；（2）先用m、n的代数式表示出PA2+PB2=‎2m2‎+2n2+2，而m2+n2=OP2，因此只要OP最大，即可获得解决；（3）首先求出M与N的两个交点坐标，将在两个交点坐标范围内的整数，分别代入两个函数解析式，求出函数值，进而得到封闭图形内y的变化范围，取整即可获解． 【详细解答】‎ 解：（1）将y=x2－1沿x轴翻折，顶点为（0，－1），a=－1‎ ‎∴翻折后的解析式:y=－x2+1‎ 再将此抛物线向右平移2个单位，向上平移8个单位，‎ ‎∴函数N的解析式为：y= －(x－2)2+9‎ ‎ （2）连接OP，过P作PD⊥x轴，如图所示 ‎ PA2=PD2+AD2=(m+1)2+n2‎ ‎ PB2=PD2+BD2=(m－1)2+n2‎ ‎ ∴PA2+PB2=(m+1)2+n2+(m－1)2+n2=‎2m2‎+2n2+2‎ ‎ 在直角△POD中，有m2+n2=OP2，‎ ‎ ∴当OP最大时， PA2+PB2有最大值 ‎∵点P(m，n)是以点C(1，4)为圆心，1为半径的圆上一动点，‎ ‎∴若要PA2＋PB2的值最大，就是点O到⊙C上一点P最大，此时OP必过圆心C．‎ ‎ 连接OC并延长，与⊙C相交，交点为P，‎ ‎∵CO＝＝，‎ ‎∴OP＝OC＋CP＝＋1．‎ ‎ ∴PA2+PB2的最大值为2()2+2=38+4‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎（3）令x2－1=－(x－2)2+9‎ ‎ 解得x1=－1，x2=3‎ 当x=－1时，yM=yN=0，满足题意的点是，（－1，0）；‎ 当x=0时，yM=－1，yN=5，封闭区域y的变化范围是－1≤y≤5，所以整点的坐标有（0，－1），（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（0，5）共7个；‎ 当x=1时，yM=0，yN=8，封闭区域y的变化范围是0≤y≤8，所以整点的坐标有（1，0），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8）共9个；‎ 当x=2时，yM=3，yN=9，封闭区域y的变化范围是3≤y≤9，所以整点的坐标有（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9）共7个 当x=3时，yM=yN=8，满足题意的点是，（3，8）；‎ 综上所述，M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25个．‎ ‎【解后反思】第（1）问考查了抛物线的对称、平移，是同学们应该掌握的基本知识，变换是关键是抓住抛物的顶点变化；第（2）、（3）问考查了同学们利用数形结合思想解决问题的能力，其中第二问中涉及PA2、PB2容易想到过P作x轴垂线，构造直角三角形，利用勾股定理表示PA2、PB2，当表示出PA2+PB2 =‎2m2‎+2n2+2后，再一次由m2+n2想到利用勾股定理转化为OP2，这里两次运用了由“数”想“形”，甚妙！第（3）问中，求封闭区间整点个数，首先想到去封闭区间的点横纵坐标的变化范围。先利用求交点坐标的方法求求出封闭区间的横坐标的变化范围，再去特殊点，求出纵坐标的变化范围，逐一寻找即可．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【关键词】 二次函数的图象翻折、平移；最值问题；勾股定理；数形结合；构造法；‎ ‎30. （2016江苏盐城，28，12分）如图①，已知一次函数y＝x＋3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．‎ ‎（1）求b、c的值；‎ ‎（2）如图①，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE＝2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标．‎ ‎（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG．如图②，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边在它们的左侧作等边△APR、等边△AGQ，连接QR．‎ ‎①求证：PG＝RQ；‎ ‎②求PA＋PC＋PG的最小值，并求出当PA＋PC＋PG取得最小值时点P的坐标．‎ 图①‎ 图②‎ ‎(备用图)‎ ‎【逐步提示】本题考查的是以二次函数为背景的代数、几何综合题，涉及二次函数表达式的确定、图形的旋转、全等三角形、相似三角形等知识，解题的关键是利用待定系数法、方程思想、函数思想及图形变换思想解题．（1）直接求出A、B两点坐标，代入二次函数表达式可求b、c的值；（2）过点E作x轴垂线，垂足为E1，由△DEE1∽△DBO，求得点E的坐标，进而求出CE的函数表达式，联立方程组求交点坐标；（3）①通过证明△QAR≌△GAP可得结论；②根据“两点之间，线段最短”可求最小值，但求点P的坐标，难度较大，可通过图形变换求两直线的交点，也可通过相似，建立方程组求解．‎ ‎【详细解答】解：（1）x＝0时，代入y＝x＋3，得y＝3，∴B（0，3）．‎ y＝0时，代入y＝x＋3，得x＝－3，∴A（－3，0）．‎ 将（－3，0）、（0，3）代入y＝－x2＋bx＋c，‎ 得∴b＝－2，c＝3．‎ ‎（2）如图①，过点E作x轴垂线，垂足为E1，由BE＝2ED，‎ 可得OE1＝2E1D，OB＝3EE1，∴E（－,1），又C（1，0），‎ 图①‎ 可求得直线CE的函数表达式为y＝－x＋，‎ 由解得或 ‎∴点M（－，）．‎ ‎（3）①由题意可得AR＝AP，AQ＝AG，∠RAP＝∠QAG＝60°，‎ ‎∴∠QAP＝∠RAG，∴△QAR≌△GAP，‎ ‎∴PG＝RQ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图②‎ 图③‎ ‎②如图②，由①可得PA＋AC＋PG＝PR＋PC＋QR．‎ 当C、P、R、Q四点共线时，PA＋AC＋PG取得最小值，‎ 此时点P落在线段CQ上．‎ 最小值为CQ的长．‎ 由题可知∠GAO＝60°，又∠AGQ＝60°，‎ GQ＝GA＝6，GQ∥AC，‎ ‎∴Q（－6，3），又C（1，0），‎ 过点Q作x轴的垂线构造直角△QQ1C可求得CQ＝＝2，‎ ‎∴PA＋AC＋PG的最小值为2．‎ 以下可分两种方法求解：‎ 法一：如图②，以AC为边向下作等边△ACF，得F(－1，－2)，连接FG，‎ 类似前面①可以判断PA＋AC＋PG取得最小值时，点P落在线段FG上．‎ 由Q(－6，3)，C(1，0)，G(0，3)，F(－1，－2)，‎ 可求得直线CQ、FG的函数表达式分别为y＝－x＋和y＝5x＋3，‎ 联立方程组解得∴P(－，)．‎ ‎（也可以以CG为边向右作等边△ACT来说明和计算，此时点P落在线段AT上）‎ 法二：如图③，∵△AGQ和△APR为等边三角形， ∴∠GAQ＝∠APR ＝60°，‎ 又∵∠GAO＝60°，∴∠APC＝∠CAQ＝120°，‎ 而∠ACP＝∠QCA，∴△CAP∽△CQA，∴ ＝，∴ ＝，∴CP＝．‎ 由Q(－6，3)，C(1，0)，求得直线CQ的函数表达式为y＝－x＋，‎ 设点P(m，－m＋)，则(m－1)2＋(－m＋)2＝()2．‎ 解得m＝－，或m＝（舍去）．‎ 当m＝－时，－m＋＝．∴P(－，)．‎ ‎【解后反思】在解决二次函数与几何问题的综合问题时，相似是常见手段，在遇到陌生问题的时候，要善于运用已学知识进行转化，转化为熟悉的问题来解决．‎ 方程思想是一种重要的数学思想，所为方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式．‎ 利用“数形结合”的思想，按照“解析式→坐标→距离（线段长度）→几何图形性质及应用”的思路思考；数形结合的思想的应用要注意几何图形的性质为相应的函数或方程提供的条件的应用．‎ ‎【关键词】方程与函数思想；待定系数法；几何变换法；化归思想；线段公理；等边三角形；相似三角形的判定；三角形全等的识别 ‎31. （2016山东省德州市，24，12分）已知，m、n是一元二次方程的两个实数根，且. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 抛物线的图像经过点A（m，0），B（0，n），如图所示.‎ ‎(1) 求这个抛物线的解析式；‎ ‎⑵ 设⑴中抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标，并判断△BCD的形状；‎ ‎⑶点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式.‎ ‎ ‎ ‎【逐步提示】⑴ 要求抛物线的解析式，只要求出A、B两点的坐标代入解析式即可. 要求A、B两点的坐标，通过解一元二次方程的及条件，即可求出A、B两点的坐标；‎ ⑵求抛物线与x轴的另一个交点为C及顶点D的坐标，分别令y=0，解一元二次方程即可求出C点的坐标，利用配方法或二次函数的顶点坐标公式即可求出点D的坐标；对于△BCD的形状，根据点的坐标，很容易得出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，利用角的关系可得∠CBD=90°，因此可知△BCD为直角三角形； ‎ ⑶由题意可知，PM⊥x轴，根据P、M两点的坐标很容易表示出线段PM的长和PM边上的高，进而表示出△PMQ的面积. 要特别注意的是：本题点P为直线BC上的动点，所以要分点点P在M上方和点P在M下方两种情况进行讨论. 【详细解答】解：（1）解方程，得x1=-1，x2=-3‎ ‎∵m、n是方程的两根，且|m|＜|n|‎ ‎∴m= -1，n= -3.‎ 把点A（-1,0），B（0，-3）代入，‎ 得，解得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴这个抛物线的解析式为 图1‎ ‎（2）令y=0，则，解得x1= -1，x2=3‎ ‎∴点C的坐标为（3，0）‎ 又∵‎ ‎∴顶点D的坐标为（1，-4）‎ 过点D做DE⊥y轴于点E，‎ ‎∵OB=OC=3‎ ‎∴BE=DE=1.‎ ‎∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形.‎ ‎∴∠OBC=∠DBE=45°‎ ‎∴∠CBD=90°‎ ‎∴△BCD是直角三角形.‎ ‎（3）由点B的坐标为（0，-3），点C的坐标为（3,0）‎ 得直线BC的解析式为: y=x-3‎ ‎∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴.‎ ‎∴点M的横坐标为t.‎ 又∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，‎ ‎∴点P的坐标为（t，t-3），点M的坐标为（t，t2-2t-3）‎ 过点Q做QF⊥PM于点F，则△PQF为等腰直角三角形.‎ ‎∵PQ=，‎ ‎∴QF=1‎ 讨论：如图2，当点P在M上方时，即0＜t＜3时，‎ PM=t-3-（t2-2t-3）= - t2+3t 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴‎ 如图3，当点P在点M下方时，t< 0或t >3时，‎ PM= t2-2t-3-（t-3）= t2-3t,‎ ‎∴‎ ‎【解后反思】本题是一道函数综合题，涉及的知识较多，而动点问题又常常牵扯到分类讨论，不容忽视，难度较大.（1）求函数的解析式一般都是利用待定系数法，利用点的坐标代入函数解析式列出方程组即可求出未知系数；（2）求函数图像与坐标轴的交点，一般通过令x=0或y=0列出方程，解方程可得；而对于三角形形状的判断，无非就是直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等特殊三角形，判断直角一般通过特殊角度或勾股定理来解决，而对于等腰或等边一般通过三角形全等或坐标求出线段的长度来判断.本题是利用特殊角度求直角的方法；（3）对于动点问题，分类讨论和自变量的取值范围是关键. 对于本题主要是注意点P是在直线BC上运动，而不是在线段BC上，因而解答问题时需要分两种情况进行讨论. 所以分类的思想方法在综合题目中经常用到． 【关键词】 一元二次方程的解；一元二次方程的解法---因式分解法；一次函数的图像性质；二次函数的表达式；二次函数的图像；二次函数的性质；二次函数与一元二次方程；动点题型；分类讨论思想；数形结合思想；方程与函数思想；待定系数法 ‎32. （2016山东滨州24，14分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.‎ ‎（1）求点A，B，C的坐标；‎ ‎（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；‎ ‎（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【逐步提示】（1）令y=0，求出x的值就是A、B两点的横坐标，令x=0，y的值就是C点的纵坐标；(2) 当AB为对角线时，对称轴与函数图像的交点，也就是二次函数的顶点为点E；当AB为平行四边形的一边时，如图，满足AB=EF，此时点E的横坐标为﹣7，令x=﹣7，代入，可求出AB边上的高；（3）分三种情况讨论，当AC=AM时， AC=CM时，CM=AM时求解.‎ ‎【详细解答】解：（1）令y=0，即，解得，，令x=0，得y=2，因此A（2，0），B（﹣4，0），C（0，2）；‎ ‎（2）①当AB为平行四边形的对角线时，如图1‎ ‎ 图1‎ 四边形AEBF为平行四边形，AB为对角线，因此对称轴与二次函数的交点（顶点）就是点E，AB=2﹣（﹣4）=6，当x=﹣1，时，y=，因此EF=‎ 平行四边形AEBF的面积=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ① 当AB为平行四边形的一边时，如图2‎ ‎ 图2‎ 四边形ABEF为平行四边形，EF=AB=6，点G的横坐标为﹣1，因此点E的横坐标为﹣7，当x=﹣7时，y=，∴FG=．‎ 平行四边形ABEF的面积=．‎ 由对称关系可知，当点E在对称轴右侧时，平行四边形ABFE的面积=平行四边形ABEF的面积=．‎ ‎（3）①当AC=CM，点M在x轴下方时，如图3‎ ‎ 图3‎ ‎∵OA=OC=2，∴AC=，∴CM=AC=．‎ 在Rt△CMN中，CM=，MN=1，∴．‎ ‎∴ON=，此时点M的坐标为（﹣1，）．‎ 当AC=CM，当点M在x轴上方时，如图4‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵OA=OC=2，∴AC=，∴CM=AC=．‎ 在Rt△CMN中，CM=，MN=1，∴．‎ ‎∴ON=，此时点M的坐标为（﹣1，）．‎ ‎②CM=AM时，如图5‎ ‎ 图5‎ 取AC的中点N，连接NO，并延长NO，交对称轴于点M，‎ ‎∵CN=AN，OC=OA=2，∴ON⊥AC，∴AM=CM．‎ ‎∵点C（0，2），点A（2，0），∴点N的坐标为（1，1）．‎ 设直线ON的函数关系式为y=kx，将x=1，y=1，代入y=kx得，k=1．‎ ‎∴ON的函数关系式为y=x，点M在y=x上，点M的横坐标为﹣1，∴点M的纵坐标为﹣1，即M（﹣1，﹣1）．‎ ‎③当AC=AM时，∵OA=OC=2，∴AC=，∴AM=AC=，AG=3，AG>AM，∴此时AC=AM不成立．‎ 综合以上可知，当M（﹣1，）或M（﹣1，）或M（﹣1，﹣1）时，△ACM是等腰三角形．‎ ‎【解后反思】本题通过构造平行四边形和等腰三角形的存在性，综合考察了函数中几何关系，此类题难度较大，需要构造出图形，分情况讨论.‎ ‎【关键词】二次函数与一元二次方程 等腰三角形的判定 平行四边形的判定 ‎33. （2016江苏省扬州市，28，12分）如图1，二次函数的图像过点A（-1，3），顶点B的横坐标为1．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式；‎ ‎（2）点P在该二次函数的图像上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）如图3，一次函数（k＞0）的图像与该二次函数的图像交于O、C两点，点T为该二次函数图像上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．‎ ‎【逐步提示】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的解析式，平行四边形的存在性问题、定值问题，解题的关键是运算待定系数法求解析式，分类讨论平行四边形的存在性和构造一次函数解决交点问题．第（1）问利用待定系数法即可解决问题．第（2）问分类讨论，当AB为边和AB为对角线时，根据纵坐标，列出方程解决问题．（3）设T（n，n2﹣2n），表示出ON，NT，TD，再运用相似求出OM、MN，进而得到OM长，再代入式子计算，因为为常数，系数为0，得到关于k的方程，即可解决问题．‎ ‎【详细解答】解：（1）将代入得 由顶点的横坐标为1，得，即 解得，‎ ‎∴这个二次函数的表达式为． ‎ ‎（2）①当AB为平行四边形一边时，‎ 易得点P的纵坐标为4，设P（x，4），‎ ‎∴x 2－2x＝4，解得，‎ 当时，可得，‎ 或，，‎ ‎②当AB为平行四边形的对角线时，‎ 易得点P的纵坐标为2，设P（x，2），‎ ‎∴x 2－2x＝2，解得x＝1±，‎ 当x＝1± 时，可得，‎ 或，，‎ 综上所述，点P的坐标为、、、．‎ ‎（3）直线与轴交于点，设，，，‎ 则，，．‎ ‎∵∽，∴．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 上式为不随变化的常数，须，即，此时． ‎ ‎∴当k=时，点T运动的过程中，为常数．‎ ‎【解后反思】本题以二次函数为背景，对于平行四边形的存在性需要分类讨论，然后表示出点的坐标和段的长，运用相似得到所需求得的线段长．这就要求学生具有较强的识图能力和计算能力．‎ ‎【关键词】函数；二次函数；二次函数的图像与性质；平行四边形；一元二次方程；平面直角坐标系；点的坐标；相似三角形；二次根式的计算；化归思想；数形结合思想；分类讨论思想；待定系数法；方程思想；运动观念 ‎34. （2016 镇江，28,10分）（本小题满分10分）‎ 如图1，二次函数y1=（x―2）（x―4）的图像与x轴交于AB两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D.‎ ‎（1）写出点D的坐标 .‎ ‎（2）点P在对称轴l上，位于点Ｃ的上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图像过点A.‎ ‎①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图像过点B.‎ ‎②点R在二次函数y1=（x―2）（x―4）的图像上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为 时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图像上有且只有三个点到x轴距离等于2d.‎ ‎③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0.m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x―2）（x―4），y2=ax2+bx+c（a≠0）的图像于点EFGH（点EG在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x―2）（x―4）的图像与点Q，若△GHN∽△EHQ,求实数m的值.‎ ‎【逐步提示】①本题考查了二次函数的图象和性质、相似三角形的性质、一元二次方程的解法.②（1）通过配方可得到顶点坐标；（2）①由条件结合CP=2CD可求得点P的坐标，根据二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图像过点A，可求出其函数的解析式来判断图象是否经过点B；②分点R在x轴的上方和下方，结合条件求出点R的坐标；③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，设N（n,0），求出的值，进而求出的值，由相似及对称性可得的值，再设KG=t，求出点G,E的坐标，并代入两个二次函数的解析式即可求出实数m的值.‎ ‎【详细解答】解：（1）D（3，－1）；……………………………………………………1分 ‎（2）①∵点P在对称轴l上，在点C上方，且CP=2CD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴点P坐标为（3,2）.‎ 由题意，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图像过点A.‎ ‎∴y2=－2（x－3）2＋2（或y2=－2（x－2）（x－4）或 y2=－2x2+12x－16）；‎ ‎ ∴二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图像过点B. ……………………………3分 ‎②点R的坐标为（3－，1）或（3＋，1）或（3，－1）……………………6分 ‎③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，易证直线l也是二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图像的对称轴.‎ 设N（n,0）∴HN=－2（n－2）（n－4）,QN =－（n－2）（n－4）,‎ ‎∴,即，……………………6分 ‎∵△GHN∽△EHQ，∴.由对称性可知.………………………8分 设KG=t(t＞0)，则G的坐标为（3－t,m）,E的坐标为（3－2t,m），‎ 由题意得，－2（3－t－2）（3－t－4）=（3－2t－2）（3－2t－4）=m,‎ ‎∴t＞0，∴t=.……………………………………………9分 ‎∴m=1. …………………………………………………10分 ‎【解后反思】本题为整卷压轴题，难度较大．其中，第（1）题是基础题，容易求解；第（2）③题综合程度高，难度进一步加大，会利用点的坐标根据二次函数解析式构造方程求解是关键.二次函数与几何问题的综合问题时，相似是常见手段，在遇到陌生问题的时候，要善于运用已学知识进行转化，转化为熟悉的问题来解决．此类问题容易出错的地方是不会利用分类的思想对（2）②中的可能情况考虑完整，对于（2）③不会通过设辅助元构造一元二次方程求解，从而导致错误．第（2）③另解：∵直线EF过点M（0，m)(0＜m＜2)，EF∥AB，‎ ‎∴(x－2)(x－4)=m.解得x=3±，∴EK=FK=.同理可得，FK=HK=，‎ 即，得.∵0＜m＜2，∴实数m的值是1. 【关键词】 二次函数的图像；二次函数的性质；相似三角形的性质；一元二次方程；分类讨论思想 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费