由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
三、解答题
1. （2016山东东营，25，12分）
在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（－1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90º，得到平行四边形A′B′OC′.
（1）若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；
（3）若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标.
【逐步提示】(1)由旋转的性质求出A′的坐标，再由待定系数法求出抛物线的解析式．(2)用待定系数法求出直线AA′的解析式，设M的横坐标为x，列出△AMA′的面积关于x的函数，配方求出函数的最大值，即面积的最大值．(3)由于平行四边形的顶点顺序不确定，故分类讨论，可分BQ为边和BQ为对角线两种情况进行讨论，求出点P的坐标．结合B(1，4)，Q(1，0)的坐标可得当平行四边形为矩形时的点P的坐标．
【详细解答】解：（1）∵ABOC绕点O顺时针旋转90º，得到平行四边形A′B′OC′，点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为（4，0），点B的坐标为（1，4）. ……………..1分
∵抛物线过点C，A,A′，设抛物线的函数解析式为
可得：
，解得，………………………………………….3分
∴抛物线的函数解析式为. ……………………………….4分
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
（2）连接AA′，设直线AA′的函数解析式为，
可得：，解得：，
∴直线AA′的函数解析式是. ……………………………………………..6分
设，
=， ……..7分
∴时，△AMA′的面积最大，∴M（2，6）. ………………..8分
（3）设P点的坐标为，当P、N、B、Q构成平行四边形时，
①当BQ为边时，PN∥BQ且PN=BQ，
∵BQ=4，∴=±4.
当=4时，，，即，；
当=－4时，，，即，
. ……………………………………………………………..10分
②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即，；
当这个平行四边形为矩形时，即，时，. ………11分
综上所述，当，，，时，P、N、B、Q构成平行四边形；
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
当这个平行四边形为矩形时，．. …………………………………12分
【解后反思】1．坐标系或网格中求一般三角形面积的常用方法：
(1)分割法：过三角形的一个顶点作平行于y轴或x轴的直线将三角形分成两个三角形，用分成的两个三角形面积的和或差表示三角形的面积；
(2)补形法：过三角形的三个顶点作平行于x轴、y轴的直线，得到矩形，将三角形的面积表示为矩形的面积减去多个直角三角形的面积；
(3)等积转化法：利用平行线间距离处处相等，将三角形的面积转化为一个与它面积相等且易求的三角形的面积．
2．几何问题中与面积最值有关的问题的解题思路：
(1)分析问题，找到与面积相关的一个变量；
(2)建立面积与另一个变量的二次函数模型；
(3)配方法或利用顶点公式求出自变量的取值及面积的最值．
【关键词】待定系数法求一次函数的解析式；待定系数法求二次函数的解析式；平行四边形的性质；旋转；动点问题
2.
3. （2016山东菏泽，24，10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2 过B(－2，6)，C(2，2)两点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
（3）若直线y＝－x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．
【逐步提示】（1）把B，C两点坐标代入解析式，利用待定系数法确定抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴把△BCD的面积分成两部分，先求出直线BC的解析式，可得它与对称轴的交点坐标，最后计算两三角形面积之和即可；（3）先求直线y＝－x＋b与抛物线y＝x2－x＋2有唯一公共点时b的值，再求直线过点C时b的值，即可确定b的取值范围．
【详细解答】解：（1）把B(－2，6)，C(2，2)代入y＝ax2＋bx＋2，得
解得∴y＝x2－x＋2．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
（2）如图所示，抛物线y＝x2－x＋2的对称轴为x=－=－=1，顶点D(1，)．设BC交对称轴于点E，直线BC的解析式为y=kx＋m，把B(－2，6)，C(2，2)代入，得
解得∴y=－x＋4．
当x=1时，y=－1＋4=3，∴E(1，3)．∴DE=3－=．
S△BCD=S△BED＋S△CED=DE·3＋DE·1=DE·4=××4=3．
（3）直线y＝－x向上平移b个单位所得的直线为y＝－x＋b，当它与抛物线y＝x2－x＋2只有一个交点时，方程－x＋b=x2－x＋2有两个相等的实数根，整理，得x2－x＋4－2b=0，此时△=1－4(4－2b)=0，解得b=．
把B(－2，6)代入y＝－x＋b，得6=－×(－2)＋b，b=5．
把C(2，2)代入y＝－x＋b，得2=－1＋b，b=3．
故当直线y＝－x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，b的取值范围为＜b≤3．
【解后反思】（1）用待定系数法确定二次函数的解析式时，一般有三种形式：①一般式：y=ax2+bx+c；②顶点式：y=a(x－h)2+k；③交点式：y=a(x－x1)(x－x2)，可结合具体条件灵活选择．
（2）该例问题（2）中，S△BCD=DE·(yC－yB)，可作为一个基本模型或公式掌握与应用．
（3）把握线段长度与点的坐标的关系，是解决几何图形与函数问题的最基本要素．问题（3）中，注意数形结合，便于确定字母取值范围的求解思路．
【关键词】解二元一次方程组；点的坐标；解一元一次方程；一元二次方程根的判别式；一次函数的图象和性质；二次函数的图像和性质；图像的平移；待定系数法；动线题型；数形结合思想
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
4. （2016山东聊城，25,10分）（本题满分/10分）如图，已知抛物线y=经过点A（-3,0），B（9,0）和C（0,4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点。
（1）求出该二次函数的表达式以及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△AOF，求此时Rt△AOF与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△AOC，Rt△AOC与Rt△ODE重叠部分的图形面积记为S。求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围。
【逐步提示】（1）第一步用待定系数法求抛物线解析式；第二步由CD垂直于x轴，确定点D的纵坐标，第三步把点D的纵坐标代入抛物线解析式确定横坐标；（2）第四步由顶点坐标公式确定点F的坐标，从而确定F到CD的距离FH的长，第五步由GH∥利用平行线分线段成比例定理求出GH=1，第六步利用 计算出重叠部分面积；（3）第七步分两种情况①直接用面积公式计算，②用面积差求出
【详细解答】解：（1）因为抛物线经过点A（-3,0），B（-10,0），和C（0，4）.
所以设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x－9），
因为点C（0，4）在抛物线上，
所以4=-27a
所以a=，
所以抛物线的解析式为y=（x+3）（x－9）=，
因为CD垂直于x轴，C（0，4）.
所以=4，
所以x=6
所以点D的坐标为（6,4），
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
（2）如图1所示：因为点F是抛物线的顶点，
所以F(3,)
所以FH=,
因为GH∥,
所以
所以
解得GH=1,
因为Rt△AOF与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
（3）①当0＜t≤3时，如图2所示
因为∥DE
所以
所以
所以
所以，
②当3＜t≤6时，如图所示：
因为∥OC，
所以，
所以，
所以=(6－t)，
所以
所以当0＜t≤3时，;当3＜t≤6时，
【解后反思】
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
本题考查了待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例定理，三角形的面积计算，解决本题的关键是画出图形. 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．用待定系数法求二次函数的解析式是常见的问题，从已知条件中找出在函数图像上的点的坐标，一个未知的系数，可以列一元一次方程解决，两个未知数就列二元一次方程组解决，三个未知数就列三元一次方程组解决．③解决函数问题，常常从点入手，通过设某点的坐标，寻求相等关系建立方程计算，容易得出点的坐标，相关问题迎刃而解．③在探讨抛物线对称轴上特殊点的问题中，综合运用数形结合思想，用形推测，用数验证．这样的题型一般还要用到数形结合、分类讨论及方程思想．
【关键词】 二次函数的性质；二次函数的图像；二次函数的表达式；平行线分线段成比例定理，三角形的面积，分类讨论思想；待定系数法.
5. (2016山东临沂，26，13分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=－2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点．点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC．
(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【逐步提示】(1)分别把x=0和y=0代入解析式可得A，B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．利用勾股定理求出AB、BC、AC的长，再由勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形．(2)利用勾股定理构建方程，解方程求出t的值．(3)先求出抛物线的对称轴是x=，设M的坐标为(，m)，然后分AM=BM，AB=BM，AB=AM三种情况讨论．
【详细解答】解：(1)解：令y=0，则－2x+10=0，x=5，∴A(5，0)．
把x=0代入y=－2x+10，得y=10，∴B(0，10)．
设过O，A，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，可得
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
解得
∴抛物线的解析式为y=x2－x．……………………………………………3分
△ABC是直角三角形，理由如下：
∵B(0，10)，A(5，0)，
∴OA=5，OB=10，∴AB2=125，AB=．
∵C(8，4)，A(5，0)，∴AC2=25，AC=5．
∵B(0，10)，C(8，4)，∴BC2=100，BC=10．
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．…………………………………5分
(2)∵PA=QA，
又∵PA2=(2t)2+52，QA2=(10－t)2+52，
∴(2t)2+52=(10－t)2+52，
解得t=．
故当运动时间为秒时，PA=QA．…………………………………8分
(3)存在．
抛物线y=x2－x过O，A两点，则对称轴是x=，设M的坐标为(，m)，
①当AM=BM时，M是AB的垂直平分线与抛物线的交点，
设抛物线的对称轴与x轴交于点P，与AB交于点Q，
由题意可知PQ∥y轴，P是OA的中点，
∴Q是AB的中点，
∴AB的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是Q，此时不能形成三角形．
②当AB=BM时，()2+(10－m)2=AB2=125，解得m1=，m2=，
∴M1(，)，M2(，)．…………………………………10分
③当AB=AM时，(5－)2+m2=AB2=125，解得m3=，m4=－，
∴M3(，)，M4(，－)．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
综上所述，存在点M，共有4个点，分别是M1(，)，M2(，)，M3(，)，M4(，－)．…………………………………12分
【解后反思】1．存在型问题的探究方法：
(1)直接求解法：就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象；
(2)假设求解法：就是先假设结论存在，再从已知条件、定义、定理出发进行推理，或根据已知条件构建方程，若得到符合条件的结论，则假设成立，否则，假设不成立，结论不存在．
2．待定系数法求二次函数解析式需要熟练掌握三种类型：
①一般式：已知任意三点的坐标，可设二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c；
②顶点式：已知顶点(h，k)和另一个点的坐标，可设二次函数的解析式为y=a(x－h)2＋k；
③交点式：已知图象与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)和另一个点的坐标，可设二次函数的解析式为y=a(x－x1)(x－x2)．
【一题多解】当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10－t时，PA=QA，
由(1)知AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，
∴△AOP≌△ACQ．
∴OP=CQ，
∴2t=10－t，
∴t=．
故当运动时间为秒时，PA=QA．
【关键词】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理及其逆定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；动点问题；分类讨论问题；二次函数的综合题
6.（ 2016山东泰安，28，10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
O
E
B
A
C
P
D
x
y
第28题图
【逐步提示】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式、图形面积、函数的最大值、平行四边形的知识，解题的关键是掌握二次函数的有关性质及数形结合思想的应用．（1）利用顶点坐标（2，9），将抛物线写成顶点式，再把A（0，5）代入求出a，从而求得抛物线的解析式． （2）由于AC平行于x轴，所以C点的纵坐标等于5，代入（1）中抛物线可求得C点的横坐标．因为四边形APCD的面积是由△APC和△ADC的面积和组成，通过设P点的横坐标为m，由于点D在直线AB上，所以可以用m的代数式表示出点D的纵坐标，然后利用水平底，铅垂高可将四边形APCD的面积用含m的式子表示出来，再进行配方，就可求出面积的最大值．（3）过M作MH垂直于对称轴，因为四边形是以AE为边的平行四边形，所以△MNH≌△AEO，得OE＝NH，MH＝OA．可以求得M点的横坐标，再代入抛物线即可得纵坐标．利用M点的纵坐标可以得到N点的纵坐标．
【详细解答】解：（1）设抛物线表达式为，把A（0，5）代入得4a＋9＝5，
∴a＝－1，∴即．
（2）当y＝0时，，解得，，∴E（0，－1），B（0，5），
设直线AB的表达式为，把A（0，5），B（0，5）代入，得m＝－1，n＝5，
∴．
设P，则D，PD＝＋x－5＝．∵AC平行于x轴，∴，∴，得，∴AC＝4，∴＝2＝，∵－2＜0，∴当时，四边形APCD的面积最大，最大面积为．
（3）过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵，∴△HMN≌△OEA，
∴HM＝OE＝1，NH＝OA＝5，∴M点的横坐标为2－1或2＋1，即x＝1或3；
当x＝1时，M的纵坐标为8，当x＝3时，M的纵坐标为8；
N的纵坐标为8－5或8＋5，即N的纵坐标为3或13．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴M点的坐标为（1，8）时，N的坐标为（2，13）；
M点的坐标为（3，8）时，N的坐 标为（2，3）
第28题图
E
B
A
C
P
D
x
y
M
N
N
M
H
【解后反思】二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点一般较多，有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，几何图形的面积，三角形全等、相似、圆等，还有与一次函数联立解题等，综合性较强，有一定难度．一般在解决有关平行四边形顶点问题时，通常应用平行四边形对边平行且相等，用平移法可找到相邻顶点之间的联系．这样的题型一般用到数形结合、分类讨论及方程思想．
【关键词】二次函数的表达式；面积法；平行四边形的性质；三角形全等；分类讨论思想；
29. （ 2016山东泰安，29，12分）（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°（如图①）．
求证：EB＝AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；
（3）若将（1）中的“若∠A＝60°”改为“∠A＝90°”，其它条件不变，则的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
第29题图①
A
E
D
B
C
A
B
C
D
E
第29题图②
【逐步提示】本题考查了等边三角形、全等三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是正确做出辅助线，得出全等三角形．（1）过D点作BC的平行线交AC于点F，由△ABC是等腰三角形，∠A＝60 °可知△ABC是等边三角形，从而可以得到△ADF也是等边三角形．将AD转化为DF，通过证明EB和DF所在的两个三角形全等即可．（2）的思路同（1）．（3）用同样的思路去构造全等三角形解决问题，发现AD和BE恰好是等腰直角三角形中的直角边与斜边的关系．
【详细解答】证明：（1）过D点作BC的平行线交AC于点F．
∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60 °
∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠ABC＝60 °，∴△ADF是等边三角形．
∴AD＝DF，∠AFD＝60 °．∴∠DFC＝180°－60 °＝120°，
∵∠DBE＝180°－60 °＝120°，∴∠DFC＝∠DBE．
又∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD．
∴△DBE≌△CFD（AAS），∴BE＝DF，∴BE＝AD．
（2）BE＝AD成立．理由如下：
过D点作BC的平行线交AC的延长线于点F．
同（1）可证△ADF是等边三角形，∴AD＝DF，∠AFD＝60 °．
∵∠DBE＝∠ABC＝60 °，∴∠DBE＝∠AFD．
∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD．
∴△DBE≌△CFD（AAS），∴BE＝DF，∴BE＝AD．
F
第29题图①
A
E
D
B
C
A
B
C
D
E
F
（3）＝． 理由如下：
过D点作BC的平行线交AC于点G，
∵△ABC是等腰三角形，∠A＝90°∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠DBE＝180°－45°＝135°．∵DG∥BC，∴∠GDC＝∠DCE，
∠DGC＝180°－45°＝135°，∴∠DBE＝∠DGC，∵∠DCE＝∠DEC，
∴ED＝CD，∠DEC＝∠GDC．∴△DBE≌△CGD（AAS），∴BE＝GD．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∵∠ADG＝∠ABC＝45°，∠A＝90°，∴△ADG是等腰直角三角形．
∴DG＝AD，∴BE＝AD，∴＝．
A
B
C
E
D
G
【解后反思】本题主要考查全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有SSS、SAS、AAS、ASA，解题时可根据题目已有条件，根据“就近原则”，再结合题中所给的条件，恰当添加辅助线，选择便捷可行的判定方法．
【关键词】 平行线的性质；等边三角形的性质与判定；全等三角形的判定．
7. .(2016山东威海，25，12)(12分)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2，0)，点B(4，0)，点D(2，4)，与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点.若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长.
【逐步提示】(1)根据A、B、C三点坐标，应用待定系数法求得抛物线的函数表达式；(2)由∠ECD=∠ACO分别构造直角三角形，并应用数形结合思想表示出两种情形的点E坐标，将其代入其中确定点E的坐标；(3)分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算.
【详细解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2，0)，点B(4，0)，点D(2，4)，
∴ 设抛物线的函数表达式为y=a(x+2)(x-4).∴ -8a=4，解得a=.
∴ 抛物线的函数表达式为y=(x+2)(x-4)，即y=x2+x+4
(2)分两种情况.
情况一：若点E在直线CD上方的抛物线上，记作E1.连接CE1，过点E1作E1F1⊥CD，垂足为F1.
由(1)知，OC=4.
∵ ∠ACO=∠E1CF1，∴ tan∠ACO=tan∠E1CF1，即.
设线段E1F1=h，则CF1=2h，∴ 点E1的坐标为(2h，h+4).
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
将E1(2h，h+4)代入y=x2+x+4，解得h1=0(舍去)，h2=.
∴ 点E1的坐标为(1，).
情况二：若点E在直线CD下方的抛物线上，记作E2.连接CE2，过点E2作E2F2⊥CD，垂足为F2.设E2F2=f，则CF2=2f.
∴ 点E2的坐标为(2f，4-f).
将E2(2f，4-f)代入y=x2+x+4，解得f1=0(舍去)，f2=.
∴ 点E2的坐标为(3，).
综上所述，点E的坐标为(1，)或(3，)
(3)可能存在两种情况.
情况一：CM为菱形的边长.如图①，在第一象限内抛物线上取点P1，过点P1作P1N1∥y轴，交BC于点N1，过点P1作P1M1∥BC，交y轴于点M1，则四边形CM1P1N1为平行四边形.若四边形CM1P1N1是菱形，则P1M1=P1N1.
过点P1作P1Q1⊥y轴，垂足为Q1.
∵ OC=OB，∠BOC=90°，∴ ∠OCB=45°.∴ ∠P1M1C=45°.
设点P1的坐标为(m，m2+m+4)，
在Rt△P1M1Q1中，P1Q1=m，∴ P1M1=.
∵ 直线BC经过点B(4，0)，点C(0，4)，可求直线BC的函数表达式为y=-x+4.
∵ P1N1∥y轴，∴ 点N1的坐标为(m，-m+4).
∴ P1N1=m2+m+4-(-m+4)=m2+2m.
∴ m=m2+2m，解得m1=0(舍去)，m2=4.
此时菱形CM1P1N1的边长为(4)=-4.
情况二：CM为菱形的对角线.如图②，在第一象限内抛物线上取点P2，过点P2作P2M2∥BC，交y轴于点M2，连接CP2，过点M2作M2N2∥CP2，交BC于点N2，则四边形CP2M2N2为平行四边形.连接P2N2交CM2于点Q2.若四边形CP2M2N2是菱形，则P2Q2⊥CM2，∠P2CQ2=∠N2CQ2.
∵ ∠OCB=45°，∴ ∠N2CQ2=45°.∴ ∠P2CQ2=45°.
∴ ∠CP2Q2=∠P2CQ2=45°.∴ P2Q2=CQ2.
设点P2的坐标为(n，n2+n+4)，∴ CQ2=n，OQ2=n+4.
∴ n+4=n2+n+4，解得n1=n2=0.
∴ 此情况不存在.
综上所述，菱形的边长为-4
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【解后反思】(1)求二次函数的解析式有三种形式：交点式、一般式、顶点式，用待定系数法来求二次函数的解析式时，要注意根据题意选择合理形式来简化计算；(2)几何背景下确定满足特殊条件的抛物线或函数图像上的点坐标，往往应用图形的性质转化为图形中线段之间的数量关系，进而转化点的特征或用点的坐标来表示相应的线段，进而建立方程解决问题；(3)以四个点为四边形的顶点，构成的四边形是菱形，其实质隐含着两种情况：1°以其中的一边作为菱形的边，对图形可能出现的情形进行分析、讨论；2°以其中的一边作为菱形的对角线，对图形可能出现的情形进行分析、讨论。
【关键词】待定系数法；抛物线解析式；平行四边形的性质与判定；菱形的性质；锐角三角函数；方程思想
8. （ 2016山东潍坊，25，12分）如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（－9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【逐步提示】本题是一道二次函数的综合题，综合考查了待定系数法求二次函数表达式，求四边形的面积以及三角形相似的知识，解题时应结合图形，利用数形结合法进行解答．
（1）分别把A、B两点坐标代入函数关系式求出b，c的值即可求出解析式；
（2）由于点P在抛物线上，故可设出点P的坐标，然后求出直线AB的解析式，从而可以表示出点E的坐标，则S四边形AECP=S△AEC＋S△APC=AC·EP，转化为二次函数求最值，求出四边形的最大值以及点P的坐标；
（3）先求出点P的坐标，然后分△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC两种情况进行讨论，设Q（t，1），分别利用对应边成比例列出关于t的一个比例式，解方程求出t的值，即可求出点Q的坐标．
【详细解答】解：（1）把A（0，1），B（－9，10）的坐标代入，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
得：
解得：
所以，抛物线的解析式是.
（2）∵AC∥x轴，A（0，1），
由，解得：x1=－6，x2=0．
∴C（－6，1），
设直线AB的解析式是y=kx+b(k≠0)，
由，解得：.
则直线AB的解析式是y=－x＋1.
设点P的坐标为（m，），则点E的坐标为（m，－m＋1）．
则EP=，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC·EF+AC·PF
=AC·（EF+PF）
=AC·EP=．
又∵－6＜m＜0，
则当时，四边形AECP面积的最大值是，
此时点P的坐标是（，）．
（3）由，得顶点P的坐标是（－3，－2），
此时PF=yF－yP=3，CF=xF－xC=3，
则在Rt△CFP中，PF=CF，∴∠PCF=45°，
同理可求∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的点Q，如图△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC．
可求AB=，AC=6，CP=，
①当△CPQ1∽△ABC时，设Q1（t1，1），由，
得：，解得：t1=－4．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
②当△CQ2P∽△ABC时，设Q2（t2，1），由，
得：，解得：t2=3.
综上，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1（－4，1）或Q2（3，1）．
【解后反思】（1）求二次函数的解析式有三种形式：交点式、一般式、顶点式，用待定系数法来求二次函数的解析式时，要注意根据题意选择合理形式来简化计算.（2）求四边形的面积最大值，关键是利用数形结合思想，将四边形分割成两个三角形，然后利用这两个三角形面积的和解决，而求此四边形面积的最值，一般要转化为顶点式来求．（3）要使题目所求的两个三角相似，需进行分类讨论，避免出现漏角的情况；（4）二次函数的综合题通常与三角形相似及面积的最大值等多个问题紧密地结合在一起，因而对学生的综合能力要求比较高，解决这类问题时应从多角度、多方面去分析，灵活的运用多种数学方法和数学思想.特别注意利用数形结合、分类讨论思想的运用．
【关键词】二次函数；二次函数的表达式；二次函数的应用；相似三角形；动点问题；分类讨论思想；数形结合思想；
9.（ 2016山东省烟台市，25，12分）如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．
【逐步提示】（1）要确定二次函数的解析式，除了顶点已知这个条件之外，还需要一个点的坐标，这需要我们从平行四边形的性质和抛物线的性质中寻找条件．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
（2）四边形ABEF是个梯形，我们梯形的面积的各个量使用m来表示即可．
（3）先求出直线AC解析式，然后根据FM⊥x轴，表示出点P（m，﹣m+9），最后根据勾股定理求出MN=，从而确定出MN最大值和m的值．
【详细解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，
∴抛物线得对称轴方程为x=2，
∵BC∥x轴，
∴BC=4，
∵AD∥x轴，A（2，6），
∴D（6，6），
∵点D在此抛物线上，
∴6=a（6﹣2）2+2，
∴a=，
∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，
（2）当x=0时， 则y=（x﹣2）2+2=（0﹣2）2+2=3，
∴B（0，3），
∴OB=3，
作FQ⊥BC，垂足为Q，∴FQ=3，
设直线OF为y=kx，
∵F（m，6）,
∴mk=6,，，
∴y=x,
∴解得
∴E（，3），B E=，
∵AF=m-2，
∴S=(AF+BE)×FQ=( m-2+)×3=m﹣3
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∵点F（m，6）是线段AD上，
∴2≤m≤6，
即：S=m﹣3．（2≤m≤6）
（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，
∴B（0，3），C（4，3），
∵A（2，6），
∴直线AC解析式为y=﹣x+9，
∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P
∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）
∴PN=m，PM=﹣m+9，
∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，
∴∠MPN=90°，
∴MN===
∵2≤m≤6，
∴当m=时，MN最大==．
【解后反思】1.此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，四边形的面积公式，勾股定理的运用，解本题的关键是确定出点D的坐标，
2.以平面直角坐标系为载体的问题，数形结合解决问题是最重要的方法，勾股定理、相似、三角函数、函数等知识是数形结合解决问题最常用的，要注意灵活应用.
3.动态问题是指图形问题中除了固定不变的元素外，还渗透了点、线、形的动态元素，给静态的问题赋予了新的活力，使题意变得更加新颖、更加灵活.中考试题常以三角形、四边形、圆、函数等图形为载体设计动态变化问题，需要经过综合分析、发散思考、计算论证等过程挖掘解题突破口，进一步解决问题.解题时通常采用“
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
以静制动”的方法，即把几何运动的元素当作静止来解答.
4.二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
5.二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
6.二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
7.第三问也可以这样解：连接OP.四边形OMPN是矩形，
∴MN=OP，
当OP⊥GH时，OP的长度最短
设直线GH为y=kx+b，
由A（2，6），C（4，3）得
∴
∴y=x+9.
∴H（6，0），G（0，9），∴OH=6，OG=9.
在Rt△OGH中
GH=
∴OP=.
∴MN的最小值为.
此时，m=.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【关键词】象限坐标特征；点到坐标轴及原点的距离；利用图形变化确定点的坐标；在坐标系求解几何图形中点的坐标；一次函数表达式；二次函数的表达式；二次函数的图像；二次函数的性质；平行四边形的性质；勾股定理的运用；动线题型；待定系数法；参数法；数形结合思想；化归思想；方程与函数思想；
10. （ 2016山东省枣庄市，25，10分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B．
⑴若直接y＝mx＋n经过B，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；
⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与点C的距离之和最小，求点M的坐标；
⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
x
y
O
C
A
B
【逐步提示】本题为二次函数的综合题，考查了用待定系数法求抛物线及直线解析式、和最小问题等，解题的关键是找到合适的解决问题的途径．⑴根据抛物线的对称性得出点B的坐标，再利用待定系数法求抛物线和直线BC 的解析式；⑵连接BC与对称轴的交点即为所求M点，令直线BC 的解析式中x＝－1即可求出M点坐标；⑶分别对①若B为直角顶点，②若C为直角顶点，③若P为直角顶点三种情况进行讨论，结合勾股定理列出方程求解．
【详细解答】解：⑴依题意，得，解之，得．
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3．
∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，
∴B(－3，0) ．
把B(－3，0)、C(0，3)分别代入y＝mx＋n，得，解之，得．
∴直线BC的解析式为y＝x＋3．
x
y
O
C
A
B
M
⑵∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC，
∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．
设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2．
∴M(－1，2) ．
⑶设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10．
①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10．解之，得t＝－2．
②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2．解之，得t＝4．
③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18．解之，得t1＝，t2＝．
综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为P1(－1，－2)，P2(－1， 4)，P3(－1，)，P4(－1，)．
【解后反思】①此题⑵问是“将军饮马问题”的一个典型的变式，如图1，在一条可以近似看成直线的河的同旁，将军牵着马位于点A处，现将军要牵着马到河边给马儿喂水，然后再牵着马回到军营(点B处)，设饮马的位置为河边的点M，那么这个点在何处才能使走的路程最短(换句话说就是使AM＋BM最短)？
图1 图2 图3
具体的做法是：如图2，作点B关于直线a轴对称的点B′，连结AB′交直线a于点M，连结BM，则AM＋BM最短．
②在平面直角坐标系中，对已知两个点，某条直线上取点使这三个点成直角三角形，通常可用设点坐标，根据a2＋b2＝c2列方程求解．
【关键词】一次函数的表达式；二次函数的性质；二次函数的表达式；分类讨论思想；待定系数法
11. (2016新疆，23，12分)如图，对称轴为直线的抛物线
过点A(6，0)和B(0，－4)，
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)设点E(x，y)是抛物线上的一个动点， 且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．
x
y
O
E
B
F
A
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【逐步提示】本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质和菱形等知识(1)已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A．B两点坐标代入求解即可．
(2)平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．
(3)将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形．
【解析】(1)因为抛物线的对称轴是x=，设解析式为y=a(x﹣)2+k．
把A，B两点坐标代入上式，得，解得a=－，k=．
故抛物线解析式为y=－(x﹣)2＋，顶点为(，)．
(2)∵点E(x，y)在抛物线上，位于第一象限，且坐标适合y=－(x﹣)2＋，
∵OA是四边形OEAF的对角线，∴S=2S△OAE=2××OA•|y|=6y=－4(x﹣)2+25．因为抛物线与x轴的两个交点是(1，0)和(6，0)，所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．
(3)根据题意，当S=24时，即﹣4(x﹣)2+25=24．化简，得(x﹣)2=．解得x1=3，x2=4．故所求的点E有两个，分别为E1(3，4)，E2(4，4)，点E1(3，4)满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF是菱形；点E2(4，4)不满足OE=AE，所以平行四边形OEAF不是菱形；
【解后反思】二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，其综合性强，分值高，难度大，注重了对初中数学基础知识、基本技能和以数学思维为核心的能力考查，综合考查学生的逻辑思维能力、综合运算能力、空间想象能力和运用所学基础知识分析和解决问题的能力. 解决这类问题时应善于利用题目中给出几何图形的有关性质、定理，从多角度、多方面去分析，灵活的运用多种数学方法和数学思想如数形结合思想、分类讨论思想、方程思想等以及待定系数法等方法. 求二次函数的解析式就想到可以用一般式，两根式及顶点式用待定系数法来求．
【关键词】二次函数 ；二次函数的表达式；平行四边形的性质；菱形的判定；
12. (2016新疆建设兵团，23，13分）如图，抛物线的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【逐步提示】本题是一道二次函数综合题，综合考查了二次函数表达式的确定，相似三角形的判定，等腰三角形的存在性等知识，解题的关键是熟悉基本图形，利用数形结合和分类讨论思想进行解答．（1）由抛物线解析式可求得点C的坐标，从而求出OC的长度，则可求出OA和OB，从而求得A、B两点坐标，代入函数关系式求得a，b的值即可求得解析式；（2）考虑到△DBO为直角三角形，故可先求出∠BCE=90°，然后分别求出BC、CE的长度，利用两边对应成比例并且夹角相等来证明；（3）分三种情况讨论，分别为PC=PB，PC=BC， PB=BC，运用勾股定理利用平方的关系进行解答．
【详细解答】解：（1）由抛物线，令x=0，得y=－3
∴C（0，－3），
∴OC=3
∵BO=OC=3AO，
∴OB=3，AO=1．
∴A（－1，0），B（3，0）
代入，得：
解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）证明：由直线，得D（0，1）
∴OD=1
由，得
E（1，－4）
过点E作EF⊥y轴，垂直为F
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
则EF=1，CF=OF－OC=4－3=1．
∴CE=，∠ECF=45°．
∵OB=OC=3，
∴BC=，∠OCB=45°.
∴∠BCE=180°－45°－45°=90°．
∴∠BOD=∠BCE=90°.
，.
∴
∴△DBO∽△EBC
（3）P1（1，－1），P2（1，），P3（1，），P4（1，），P5（1，）
设点P的坐标为（1，m）
分三种情况讨论：
①若PC=PB，则PC2=PB2
即
解得：m=－1，
∴P1（1，－1）．
②若PC=BC，则PC2=BC2
即
解得：，
∴P2（1，），P3（1，）
③若PB=BC，则PB2=BC2
即
解得：，
∴P4（1，），P5（1，）
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
综上所述，可知满足条件的点P的坐标共有5个，分别是P1（1，－1），P2（1，），P3（1，），P4（1，），P5（1，）
【解后反思】此类问题容易出错的地方是分类讨论不全面，计算出错．二次函数综合题，综合性较强，要学会用待定系数法求二次函数的解析式的方法，三角形相似的判定方法，等腰三角形的判定，同时还要注意数形结合和分类讨论思想的运用．
一题多解：本题的第（2）问，证明相似时也可运用三边对应成比例来证明，分别用勾股定理求出三边的长，再证明即可．解法如下：由题意可知：OD=1，OB=3，故BD=，而BE=，所以，故可得，相似可证．
【关键词】二次函数综合；二次函数的表达式；相似三角形的判定；等腰三角形的判定；数形结合思想；分类讨论思想；
13. (2016浙江宁波，22，10分)如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0).
(1)求 m的值及抛物线的顶点坐标.
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标.
【逐步提示】本题考查了用待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象的性质以及利用轴对称求最短路线的问题，解题的关键是能准确计算得到二次函数表达式以及能灵活运用轴对称的性质将问题转化为“两点之间线段最短”的问题．
(1)将点B(3，0)代入抛物线，可求出m的值，再代回得二次函数的解析式，配方即得抛物线的顶点坐标；(2)画点A关于抛物线对称轴l的对称点B,连结BC交抛物线对称轴l于点P，点P即为所求的点.
【解析】(1)把 B(3，0)代入得：
，解得：m=2，
∴
∵，
∴顶点坐标为(1，4).
(2)连结BC并交抛物线对称轴l于点P，连结 AP，此时 PA+PC的值最小.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
设Q是直线l上任意一点，连结AQ，CQ，BQ，
∵直线l垂直平分AB，
∴ AQ= BQ, AP= BP,
∴AQ+CQ=BQ+CQ≥BC，
BC=BP+CP=AP+CP，
即AQ+CQ≥AP+CP
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把(3，0)，(0，3)代入，得：,∴,
∴直线BC的解析式为.
当x=1时，y=-1+3 = 2.
答：当 PA+PC的值最小时，点P的坐标为 (1,2).
【解后反思】(1)用待定系数法求函数的解析式是常用方法,根据函数的特征设出函数的表式,将函数所经过的点的坐标代入函数的解析式,得到关于变量的方程(或方程组),解方程(或方程组)求得待定系数的值,最后代回写出函数的解析式.
(2)解决本题还要用到初中数学中一个典型的模型——“马饮水”模型.如图1，在一条可以近似看成直线的河的同旁，将军牵着马位于点A处，现将军要牵着马到河边给马儿喂水，然后再牵着马回到军营(点B处)，设饮马的位置为河边的点M，那么这个点在何处才能使走的路程最短(换句话说就是使AM＋BM最短)？
图1 图2
具体的作法是：如图2，作点B关于直线a的对称点B′，连结AB′交直线a于点M，连结BM，则AM＋BM最短．
【关键词】二次函数的表达式 ；二次函数的性质；配方法；轴对称变换
14 (2016重庆A，26，12分)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A．B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)经过B．C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止. 当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
(3)如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′. 将△AOC绕点O顺时针旋转至△的位置，点A．C的对应点分别为点，，且点恰好落在AC上，连接，. △是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由.
【逐步提示】(1)分别求出A．B．C点的坐标，可得AO、OB．OC的长，可求得的值，得出，从而判断△ABC为直角三角形.
(2)结合二次函数和直线BC的解析式，确定与自变量x之间的函数关系式，此函数为二次函数，利用二次函数的性质可确定最大时点P的坐标. 根据对称性确定出点Q经过的最短路径，从而可以确定点N的位置，利用一次函数的解析式可确定点N的坐标，然后把最短路径转化为两条线段的和求解.
(3)当△为等腰三角形时，有或或三种可能，故需分情况进行讨论，通过构造方程求出点E′的坐标.
【解析】(1)△ABC为直角三角形，理由如下：
当y=0时，即，解这个方程，得.
∴点A(，0)，B(，0).
∴OA=，OB=3.
当x=0时，y=3，∴点C(0，3)，∴OC=3.
在Rt△AOC中，.
在Rt△BOC中，.
又∵，12+36=48，∴.
∴△ABC为直角三角形.
(2)如图1，∵点B(，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
过点P作PG//y轴交直线BC于点G.
设点P(a，)，则点G(a，)，
∴PG=()－()=.
设点D的横坐标为，点C的横坐标为.
.
∵，∴当时，△PCD的面积最大，此时点P(，).
如图1，将点P向左平移个单位至点P′，连接AP′交y轴于点N，过点N作NM⊥抛物线对称轴于点M，连接PM. 点Q沿PMNA运动，所走的路程最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长.
∵点P(，)，∴点P′(，).
又∵点A(－，0)，∴直线AP′的解析式为.
当x=0时，y=，∴点N(0，).
过点P′作P′H⊥x轴于点H，则有HA=，P′H=，AP′=.
∴点Q运动的最短路径的长为PM+MN+AN=+=.
(3)如图2，在Rt△AOC中，∵tan∠OAC=，∴∠OAC=60°.
∵OA=，∴△为等边三角形，∠=60°，∴∠=30°.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
又由，得点.
∵点A(－，0)，E(，4)，∴AE=.
∴.
∵直线AE的解析式为，
设点E′(a，)，则点A′(，).
∴.
若，则有，即.
解这个方程，得，∴点E′(，5).
若，则有，即，
解这个方程，得，.
∴点E′(，)或(，).
若，则有，即，
解这个方程，得，.
∴点E′(，).
综上所述，符合条件的点E′的坐标为(，5)或(，)或(，)或(，).
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【解后反思】二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，其综合性强，分值高，难度大，综合考查学生的逻辑思维能力、综合运算能力、空间想象能力和运用所学基础知识分析和解决问题的能力. 解决这类问题时应从多角度、多方面去分析，灵活的运用多种数学方法和数学思想如数形结合思想、分类讨论思想、方程思想等以及待定系数法等方法.
【关键词】二次函数的图象；二次函数与一元二次方程；动点题型；数形结合思想；分类讨论思想；
15 (2016重庆B，26，12分)如图1，二次函数的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标为(0，1)，点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S△AMO：S四边形AONB=1：48．
(1)求直线AB和直线BC的解析式；
(2)点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H(不与点A，点B重合)，使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值；
(3)如图2，直线AB上有一点K(3，4)，将二次函数沿直线BC平移，平移的距离是t(t0)，平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K是直角三角形时，求t的值．
【逐步提示】(1)根据S△AMO：S四边形AONB=1：48，求出△AMO∽△BMN的相似比为1：7，从而求出BN的长，继而求出点B的坐标，再由二次函数图象的顶点坐标公式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线AB和直线BC的解析式；
(2)设点P的坐标为(a，a+1)，则点D的坐标为(，a+1).分别用a表示PE和PF的长，列出PE·PF关于a的函数解析式，再利用二次函数的最大值的求法确定出a的值，从而求出点P的坐标，根据PD∥x轴和点G在二次函数的图象上可求出点G的坐标，再过点B作BR∥x轴交y轴于R，点H是线段AB上一点，作HJ⊥BR于点
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
J，连接GH，可得GH+BH=GH+HJ，因此只有当点G，H，J三点在同一条直线上时，GH+BH的值最小，由点G的横坐标与点H的横坐标相等可求出点H，进而求出GH+BH的最小值；
(3)用含t的代数式分别表示点C/、点A/的坐标，再由点K的坐标为(3，4)，利用平面直角坐标系内两点间的距离公式分别求出A/K2，C/K2，A/C/2的值，然后分三种情况讨论：①A/C/为斜边时；②当A/K为斜边时；③当C/K为斜边时，利用勾股定理列出方程分别求出t的值.
【解析】(1)∵点A的坐标为(0,1)，∴AO=1.
∵S△AMO︰S四边形AONB=1︰48，∴S△AMO︰S△BMN=1︰49.
由△AMO∽△BMN可知，AO︰BN=1︰7.∴BN=7.
令y=7，则，解得x1=6，x2=-2.
∵点B在第一象限，∴点B的坐标为(6,7).
将点A(0,1)，B(6,7)代入y=kx+b中得，解得
∴直线AB的解析式为y=x+1.
∵点C是二次函数图象的顶点，∴点C的坐标为(2,-1).
设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0)，将点B(6,7)，C(2,-1)代入得，
解得
∴直线BC的解析式为y=2x-5.
(2)设点P的坐标为(a,a+1)，则点D的坐标为(,a+1).
∴PE=a+1，PD=()－a=.
设直线BC与x轴的交点为点Q，由△PDF∽△BQN可知，
，∴PF=.
∴PE·PF=(a+1)·=.
∵0
微信/支付宝扫码支付