知识点022 反证法、命题与定理2016.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. （ 2016广东茂名，7，3分）下列说法正确的是（ ）‎ A．长方体的截面一定是长方形 ‎ B．了解一批日光灯的使用寿命适合采用的调查方式是普查 ‎ C．一个图形和它平移后所得的图形全等 ‎ D．多边形的外角和不一定等于360°‎ ‎【答案】C ‎【逐步提示】本题考查了长方体的截面形状、抽样调查与普查概念、图形平移的特征以及多边形外角和的性质，解题的关键是掌握截几何体的角度、抽样调查与普查的适用情境、以及图形平移的特征以及多边形外角和的性质. 【详细解答】解：根据长方体的截面，最多可以经过6个面，所以边数最多的截面是六边形，也可以是三角形，不一定是长方形，选项A错误；检测日光灯的使用寿命，带有破坏性，因此调查一批日光灯的使用寿命适合采用抽样调查，选项B错误；图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，因此平移前后图形是全等的，选项C正确；任意多边形的外角和总等于360°，选项D错误. 故选择 C. 【解后反思】（1）在分析几何体截面的边数时，看截线可能经过几个面，即是几边形；（2）抽样调查和普查的区别：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用. 【关键词】截一个几何体；普查与抽样调查；图形平移的特征；多边形的外角和 ‎2. （2016贵州省毕节市，11，3分）下列语句正确的是（ 　 ）‎ A.对角线互相垂直的的四边形是菱形 B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C.矩形的对角线相等 D.平行四边形是轴对称图形 ‎【答案】C ‎【逐步提示】本题考查特殊四边形的判定与性质，三角形全等的判定，轴对称图形的识别．解题的关键是掌握菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定定理及轴对称图形的定义、常见的轴对称图形．可以逐项进行分析，或画图证明或画图举反例排除不正确的语句． 【详细解答】解：若四边形仅是对角线互相垂直，而没有互相平分这个条件，也不是菱形，故A错；两个三角形有两边及一角对应相等，若这一角是其中一边的对角，这两个三角形也不一定全等，故B错；矩形的对角线相等是矩形的性质，C正确；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D错，故选C． 【解后反思】本题容易因举不出反例而误认为A或B正确，因将轴对称与中心对称的概念搞混而误认为D正确． 【关键词】 菱形的判定；全等三角形的判定；矩形的性质；轴对称图形的概念；‎ ‎3. （ 2016河北省，10，3分）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.‎ 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧；‎ 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧，将弧于点D；[来源:学科网]‎ 步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.‎ 下列叙述正确的是（ ）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD ‎ C．S△ABC=BC·AH D．AB=AD ‎【答案】A ‎【逐步提示】由尺规作图的作法可得到相等的线段，进而根据垂直平分线性质定理的判定定理可知直线BH是线段AD的垂直平分线，由此容易判断选项A和C；对于选项B和D，用反证法可判断它们都是不成立的.‎ ‎【详细解答】解：如图，连接CD、BD，由步骤一可知CD=CA，由步骤二可知BD=BA，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知点C和点B都在线段AD的垂直平分线上，故直线BH是线段AD的垂直平分线，故选项A正确；若AC平分∠BAD，则∠BAC=∠CAH. ∵直线BH是线段AD的垂直平分线，∴∠AHC=90°，∠ACH=90°－∠CAH=90°－∠BAC.∵∠ACH是△ABC的外角，∴∠ABC=∠ACH－∠BAC=90°－∠BAC－∠BAC=90°－2∠BAC.但已知中没有“∠ABC=90°－2∠BAC” 这一条件，故“AC平分∠BAD”不一定成立，选项B不正确；S△ABC=BC·AH，故选项C不正确；当AB=AD时，AB=AD=BD，此时△ABD是等边三角形，∠ABC=∠ABD=×60°=30°，但已知中没有“∠ABC=30°”这一条件，故“AB=AD”不一定成立，选项D不正确 ‎【解后反思】1.线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等，根据其可得到相等的线段．其逆定理是：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，根据其可证明一个点是否在已知线段的垂直平分线上或一条直线是否为已知线段的垂直平分线．2.反证法时证明一个命题是假命题的常用方法.‎ ‎【关键词】 线段垂直平分线性质定理的逆定理；三角形的面积；反证法 ‎4. （2016湖南常德，8，3分）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有 A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 ‎【答案】B ‎【逐步提示】“6天晚上是晴天”中除去早晨和晚上都是晴天，就是“早晨下雨天数”；“7天早晨是晴天”中除去早晨和晚上都是晴天，就是“晚上下雨天数”，而“早晨下雨天数”与“晚上下雨天数”的总和为9天．‎ ‎【详细解答】解：设有x天早晨和晚上都是晴天，则早晨下雨天数=6-x，晚上下雨天数＝7-x，据题意得7-x+6-x=9，解方程得x=2，这一段时间全部天数=9+x=9+2=11天．故选B．‎ ‎【解后反思】：本题主要考查了逻辑推理能力，即思维和判断能力．解题的关键是充分阅读和理解题意，从中找出隐含条件．本题中“如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．” 隐含了“‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 早晨和晚上都是晴天”这一条件．‎ ‎【关键词】逻辑推理．‎ ‎5. （2016湖南省衡阳市，11，3分）下列命题是假命题的是（ ）‎ A.经过两点有且只有一条直线 B.三角形的中位线平行且等于第三边的一半 C.平行四边形的对角线相等 D.圆的切线垂直于经过切点的半径 ‎【答案】C ‎【逐步提示】本题考查了判定数学命题真假的方法，解题的关键是理解命题的题设与结论之间的关联．结合“直线性质公理”、“三角形中位线定理”、“平行四边形性质”、“圆的切线性质定理”对各个选项逐项甄别判断. 【详细解答】解：根据性质“平行四边形的对角线互相平分”可判断出C错误，故答案为C . 【解后反思】判断一个命题的正确或错误，有两种最常用的的方式：①将所给命题与已知的定理、公理、定义作比较，如果一致，则命题正确，否则，命题错误；②沿题设出发，举一个例子说明该命题不成立即可判定该命题错误. 【关键词】命题；假命题 ‎6.(2016湖南省永州市，7，4分)对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是( )‎ ‎ A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理 ‎ B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理 ‎ C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理 ‎ D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理 ‎【答案】B ‎【逐步提示】本题考查了用数学原理解释生活中的现象，解题的关键在于正确理解数学原理的内涵，再据此分别对各选项进行判断． 【详细解答】解：选项B中的原理是“两点确定一条直线”，错误，故选择B ． 【解后反思】“两点之间线段最短”运用于缩短路程；“两点确定一条直线”运用于“直”但不涉及到“短”， “垂线段最短”涉及到线段的大小比较；“三角形的稳定性”运用于三点定形；“圆的旋转对称性”也即圆的旋转不变性，即绕圆心旋转任意一个角度，都能与原位置重合． 【关键词】直线公理；线段公理；三角形的稳定性；圆的对称性 ‎7. (2016湖南省岳阳市，7，3)下列说法错误的是 ( )‎ ‎ A. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 ‎ B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ‎ C. 菱形的对角线相等 ‎ D. 平行四边形是中心对称图形 ‎【答案】C ‎【逐步提示】根据角平分线上性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形、菱形的性质对各支项逐项加以分析。‎ ‎【详细解答】菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故选择C．‎ ‎【解后反思】对于这类性质辨别是否正确的命题，关键在于正确熟练掌握图形的相关性质。‎ ‎【关键词】角平分线上性质；直角三角形斜边上的中线性质；平行四边形、菱形的性质 二、填空题 ‎1. （2016江苏省无锡市，15，2分）写出命题“如果a＝b，那么‎3a＝3b”的逆命题：____．‎ ‎【答案】如果‎3a＝3b，那么a＝b．‎ ‎【逐步提示】本题考查了命题与逆命题的关系，解题的关键是找到命题的题设和结论，本题中的这个命题题设为a＝b，结论是‎3a＝3b，交换题设和结论的位置，即可得到这个命题的逆命题．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【详细解答】如果‎3a＝3b，那么a＝b.‎ ‎【解后反思】互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．‎ ‎【关键词】逆命题；‎ 三、解答题 ‎1. （2016广东茂名，18，7分）某同学要证明命题“平行四边形的对边相等.”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证.‎ 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形.‎ 求证：AB=CD， .‎ ‎（1）补全求证部分；‎ ‎（2）请你写出证明过程.‎ 证明：‎ ‎【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的判定方法与性质，解题的关键是添设辅助线，构造一组全等三角形.（1）平行四边形的对边有2组，除了AB=CD，还有另一组BC=DA；（2）连接AC，利用ASA证△ABC≌△CDA，从而得出BC=DA. 【详细解答】解：‎ ‎（1）BC=DA ‎（2）如图，连接AC.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，BC∥DA，‎ ‎∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC.‎ ‎∵AC=CA，‎ ‎∴△ABC≌△CDA.‎ ‎∴AB=CD，BC=DA.‎ ‎【解后反思】（1）本题也可以连接BD，证明△ABD≌△CDB，得出结论；（2）本题证明过程，要防止出现直接利用“平行四边形的对边相等”得出结论的错误证法. 【关键词】平行四边形的性质；三角形全等的判定与性质 ‎2. （2016江苏省南京市，21，8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．‎ 如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD 是△ABC 的三个外角．‎ 求证∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°．‎ 证法1：∵ ▲ ，‎ ‎∴ ∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°．‎ ‎∴ ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)．‎ ‎∵ ▲ ，‎ ‎∴ ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°．‎ 请把证法1 补充完整，并用不同的方法完成证法2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【逐步提示】本题考查了三角形的外角和定理的证明，解题的关键是运用平角的性质和平行线的性质进行角度是转化．原来的证法是用三角形的三个内角所在的三个平角之和减去三角形的内角和；而新的证明方法是要通过平行线把三个外角集中到一个顶点围成一个周角进行证明．‎ ‎【详细解答】∠BAE＋∠1＝∠CBF＋∠2＝∠ACD＋∠3＝180°．‎ ‎∠1＋∠2＋∠3＝180°．‎ 证法2：如图，过点A 作射线AP，使AP∥BD．‎ ‎∵ AP∥BD，‎ ‎∴ ∠CBF＝∠PAB，∠ACD＝∠EAP．‎ ‎∵ ∠BAE＋∠PAB＋∠EAP＝360°，‎ ‎∴ ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°．‎ ‎【解后反思】证明三角形的外角和是360°，方法很多．解题的突破口是如何通过转化得到360°，可以运用平角或者互补的两个角，也可以运用周角，还可以运用三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）和三角形的内角和证明．‎ ‎【关键词】三角形；与三角形有关的线段、角；三角形的内角和；三角形的外角和；化归思想 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费