知识点024 全等三角形2016.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. （ 2016湖南省郴州市，8，3分）如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（ ）‎ ‎ A．7 B．‎8 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【逐步提示】此题考查了正方形的性质和判定还有全等三角形的性质和判定，解题的关键是找出图中△ABE、△BCH、△DAG、△CDF的关系．设AE的延长线交DF于点G，CF的延长线交BE于点H， 由∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF，BE＝DF，可以判定△ABE与△CDF全等，所以∠ABE＝∠CDF，而∠CDF＋∠ADG＝∠ABE＋∠BAE＝90°，∠DAG＋∠BAE＝ 90°，可得∠ABE＝∠DAG，∠BAE＝∠ADG，且正方形的边长AB＝AD，可证△ABE与△DAG全等，同理，△ABE与△BCH全等，△DAG与△CDF全等．从而得证四边形EHFG也是正方形，所以EF＝． 【详细解答】解：设AE的延长线交DF于点G，CF的延长线交BE于点H，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴∠ABE＝∠CDF，∵ 四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠CDF＋∠ADG＝∠DAG＋∠BAE ＝90°，又∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∴ ∠BAE＝∠ADG，∠ABE＝∠DAG，∴△ABE≌△DAG，同理可证△ABE≌△BCH，△DAG≌△CDF，∴BE＝AG＝DF＝CH＝12，AE＝BH＝DG＝CF＝5，∴EH＝FH＝FG＝EG＝7，∵∠BEG ‎＝90°，∴四边形EHFG是正方形，∴EF＝＝7.‎ G H ‎ 【解后反思】正方形的判定方法：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形．正方形的性质四个角都是直角，四条边都相等.选择恰当的方法，灵活运用定理解决问题是关键． 【关键词】 正方形的性质；正方形的判定；全等三角形的判定；‎ ‎2. (2016湖南省永州市，9，4分)如图，点D、E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，再添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )‎ ‎ A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键在于掌握全等三角形的四种判定方法．解题时根据全等三角形的判定方法确定选项．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 【详细解答】解：选项A中，∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C，所以△ABE≌△ACD(ASA)，正确；选项B中，AE=AD，∠A=∠A，AB=AC，所以△ABE≌△ACD(SAS)，正确；选项C中，由BD=CE及AB=AC可得AD=AE，所以AE=AD，∠A=∠A，AB=AC，所以△ABE≌△ACD(SAS)，正确；选项D中，BE=CD，AB=AC，∠A=∠A，SSA不能判定两个三角形全等，故选择D． 【解后反思】此类问题容易出错的地方是误以为有两边一角对应相等的两个三角形全等而错选． 【关键词】全等三角形的判定 二、填空题 ‎1. （2016湖南常德，11，3分）如图4，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【逐步提示】本题考查了角平分线的性质．过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，从而得解．故答案为3．‎ ‎【详细解答】解：如图，过P作PD⊥OA于D，‎ ‎∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，∴PD=PC，∵PC=3，∴PD=3．‎ ‎【解后反思】：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎【关键词】角平分线的性质．‎ ‎2. （2016江苏省南京市，14，2分）如图，四边形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；② CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC．其中所有正确结论的序号是 ▲ ．‎ ‎【答案】①②③．‎ ‎【逐步提示】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是根据条件得到等腰三角形ABD．再运用“三线合一”的性质判定AC垂直平分BD，进而对其他选项进行判断．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【详细解答】解：由△ABO≌△ADO，可知AB=AD，∠BAO≌∠DAO，根据等腰三角形“三线合一”得到AC垂直平分BD，进而得到CB=CD；因为AB=AD，CB=CD，AC为公共边，所以△ABC≌△ADC； 但是，不能得到BD垂直平分AC，因此DA=DC不能成立．故答案为①②③．‎ ‎【解后反思】整个图形也叫“筝形”，是一种特殊的轴对称四边形，被一条对角线分成的两个三角形是全等的．在运用等腰三角形“三线合一”性质时，由AB=AD，再加上AO平分∠BAD，BO=DO，AO⊥BD中的任意一个，都可以得到其他的两个．另外，证明两个三角形全等，所用的方法有SSS,SAS,ASA,AAS,HL等判定方法，要结合图形的特征选择运用．‎ ‎【关键词】 三角形；等腰三角形与直角三角形；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；全等三角形；全等三角形的判定；公理化思想 三、解答题 ‎1. （ 2016安徽，23，14分）如图1，A,B分别在射线OM,ON上，且∠MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP,△OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.‎ ‎（1）求证：△PCE≌△EDQ；‎ ‎（2）延长PC,QD交于点R.‎ ①如图2，若∠MON=1500，求证：△ABR是等边三角形；‎ ②如图3，若△ARB∽△PEQ,求∠MON大小和的值.‎ ‎【逐步提示】（1）由三角形的中位线性质得到线段的平行与相等关系，在△PCE和△EDQ中选用适当的方法判断它们全等；（2）①连接OR,先由线段垂直平分线的性质证得RA=RB，再证明△ABR有一个内角是600，根据等边三角形的判定方法可得出结论；②先证△PEQ是直角三角形，在利用条件△ARB∽△PEQ,得到△PEQ是等腰直角三角形，进而求出∠MON的度数，利用直角三角形的性质和勾股定理求出的值. 【详细解答】解：（1）证明：∵点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点，∴DE＝OC,DE∥OC,CE＝OD,CE∥OD,∴四边形ODEC是平行四边形，∴∠OCE=∠ODE.∵△OAP,△OBQ都是等腰直角三角形，∴∠PCO=∠QDO=900,∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO+∠ODE=∠EDQ,∵PC=AO=CO=ED,CE=OD=OB=DQ,∴△PCE≌△EDQ.…………5分 ‎（2）①证明：如图2，连接OR,∵PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线，∴AR=OR=BR,∠ARC=∠ODR,∠ORD=∠BRD.在四边形OCRD中，∵∠OCR=∠ODR=900,∠MON=1500,∴∠CRD=300,∴∠ARB=∠ARO+∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 BRO=2∠CRO+2∠ORD=2∠CRD=600,∴△ABR为等边三角形.…………9分 ②如图3，由（1）知EQ=PE,∠DEQ=∠CPE,∴∠PEQ=∠CED-∠CEP-∠DEQ=∠ACE-∠CEP-∠CPE=∠ACE-∠RCE=∠ACR=900,即△PEQ为等腰直角三角形.∵△ARB∽△PEQ,∴∠ARB=900,于是在四边形OCRD中，∴∠OCR=∠ODR=900,∠CRD=∠ARB=450,∴∠MON=1350.此时P,O,B在一条直线上，△PAB是直角三角形且∠APB为直角，∴AB=2PE=2PQ=PQ,∴.…………14分 ‎ ‎【解后反思】1.证明两个三角形全等的方法有：SAS,ASA,AAS,SSS,本题在证明三角形全等时运用了SAS；2.证明三角形时等边三角形可证明它的三条边相等，也可以先证明有两条边相等，再证有一个角是600；3.求两条线段的比值问题，可以证它们所在的两个三角形相似、可以利用平行线、可以把它们转化到特殊的三角形（如等边三角形、等腰直角三角形）中、也可以借助某条线段作为桥梁，建立要求的两条线段与“桥梁线段”的关系，使问题得以解决. 【关键词】几何综合，全等三角形，相似三角形，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的中位线，等边三角形的判定，直角三角形的性质等 ‎ ‎2. （ 2016福建福州，21，8分）一个平分角的仪器如图所示，其中AB＝AD，BC＝DC，‎ 求证：∠BAC＝∠DAC . ‎ ‎【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是识别出两个三角形全等的条件.在△ABC和△ADC中，由三组边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论． 【详细解答】证明：在△ABC与△ADC中 ‎ ‎ ‎∴△ABC≌△ADC(SSS)‎ ‎∴∠BAC﹦∠DAC ‎【解后反思】证明线段的相等关系，或是角的相等关系，全等三角形依然是最有效的解决方法与手段之一．根据条件合理选择三角形全等的证明方法：SAS，ASA，AAS，SSS．与全等三角形有关的问题，先根据题目中的已有条件和隐含的条件，结合全等三角形的判定方法证明全等．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【关键词】全等三角形的性质；三角形全等的识别；‎ ‎3. （ 2016甘肃省天水市，25，10分）（1）（3分）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；‎ ‎（2）（3分）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；‎ ‎（3）（4分）运用（1），（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：‎ 如图3，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝‎100米，AC＝AE，求BE的长（结果保留根号）．‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎【逐步提示】本题是一道几何综合问题，考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形、等腰直角三角形以及正方形的性质，勾股定理．解题的关键是（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，即得图形．再利用“SAS”证得△CAD≌△EAB，即可利用全等三角形的对应边相等证得BE＝CD．（2）猜想BE＝CD，证明方法和（1）相同．（3）“按图索骥”，根据（1）、（2）的经验，以AB为直角边向△ABC外作等腰直角△ABD，∠BAD＝90°，则AD＝AB＝‎100米，∠ABD＝45°，然后利用勾股定理先在Rt△ABD中求出BD的长，再在Rt△DBC中求出CD的长，即得BE的长．‎ ‎【详细解答】解：（1）完成作图，如下图所示．‎ 证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，‎ ‎∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°．‎ ‎∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB．‎ ‎∴△CAD≌△EAB．‎ ‎∴CD＝EB，即BE＝CD．‎ ‎（2）BE＝CD．说理如下：‎ ‎∵四边形ABFD和ACGE都是正方形，‎ ‎∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．‎ ‎∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB．‎ ‎∴△CAD≌△EAB．‎ ‎∴CD＝EB，即BE＝CD．‎ ‎（3）如图，由（1）（2）的解题经验可知，以AB为直角边向△ABC外作等腰直角△ABD，∠BAD ＝90°，则AD 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝AB＝‎100米，∠ABD＝45°，‎ ‎∴BD＝100．‎ 连接CD，则由（2）可得BE＝CD．‎ A B D ‎∵∠ABC＝45°，‎ ‎∴∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝90°．‎ 在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100，‎ ‎∴CD＝＝＝100．‎ ‎∴BE的长为‎100米．‎ ‎【解后反思】运用构造法解几何题时，可以根据题设条件或结论所具有的性质、特征，构造出满足条件或结论的一个基本图形生成新的结论，从而在条件与结论之间架起一座“桥”，把一个复杂问题的条件明朗化，使问题获得简捷明了的解答方法．（1）（2）这两问的共性是围绕等边三角形和正方形能产生含有公共顶点的两组相等的边，并在这一顶点处通过角的和差计算得到新的相等的两个角，具备“SAS”的全等三角形结构．求解第（3）问的难点是运用构造法在图3中构造出该图形结构．这对同学们的知识学习迁移的能力有较高要求．另外，尺规作图问题是近几年中考热点题型，需要同学们熟练掌握五种基本尺规作图：1. 作一条线段等于已知线段．2. 作一个角等于已知角．3. 平分已知角．4. 作一条线段的垂直平分线．5. 经过直线外一点作这条直线的垂线．‎ ‎【关键词】等边三角形；三角形全等的识别；全等三角形的性质；正方形的性质；勾股定理；画线段；综合法证明；学习型阅读理解问题；构造法．‎ ‎4. （2016贵州省毕节市，22，12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.‎ ‎(1)求证：△AEC≌△ADB；‎ ‎(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．‎ ‎ （第25题图）‎ ‎【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 菱形的性质等，解题的关键是熟练掌握这些判定定理及性质定理．(1)由旋转的性质得出全等的条件，利用“SAS”判定△AEC≌△ADB；(2)由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出△BAD是等腰直角三角形，根据勾股定理求出BD的长度，再根据四边形ABFE是菱形得出DF的长，从而求出BF的长．‎ ‎【详细解答】解：（1）证明：∵△ABC绕A点旋转得到△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，∴∠EAC＝∠DAB. 又AB＝AC，∴AE＝AD，‎ ‎∴△AEC≌△ADB；‎ ‎（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，‎ 又∵AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△BAD是等腰直角三角形.‎ ‎∴BD2＝AB2＋AD2＝ 22＋22＝8，∴BD＝.‎ ‎∵四边形ADFC是菱形，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝－2.‎ ‎【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能正确写出解答过程． 【关键词】全等三角形的判定；SAS；旋转的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质 ‎5. （ 2016河北省，21，9分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.‎ ‎（1）求证：△ABC≌△DEF；‎ ‎（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.‎ ‎【逐步提示】（1）由BF=EC可得到BC=EF，又已知AB=DE，AC=DF，根据“SSS”可证得 ‎△ABC≌△DEF；（2）由△ABC≌△DEF可得到∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，根据“两直线平行内错角相等”可证得AB∥DE,AC∥DF. 【详细解答】解：（1）证明：∵BF=EC，∴BF+FC=EC+CF，即BC=EF.‎ 又∵AB=DE，AC=DF，‎ ‎∴△ABC≌△DEF.‎ ‎（2）AB∥DE，AC∥DF.‎ 理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE.‎ ‎∴AB∥DE,AC∥DF.‎ ‎【解后反思】1. 三角形全等的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，HL(直角三角形).‎ 全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，对应边成比例.‎ ‎2.平行线的判定方法：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补. 【关键词】 全等三角形的判定和性质；平行线的判定 ‎6.（ 2016河南省，22，10分）（1）发现 如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b。‎ 填空：当点A位于 时线段AC的长取得最大值，且最大值为 ‎ ‎（用含a，b的式子表示）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）应用 点A为线段B除外一动点，且BC=3,AB=1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD,BE.‎ ‎①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由 ‎②直接写出线段BE长的最大值. ‎ ‎（3）拓展 如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=900.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标。‎ ‎ ‎ ‎【逐步提示】本题考查了借助旋转变换利用全等图形中各线段之间的数量关系，利用勾股定理或特殊角的三角函数解决问题，解题的关键是如何寻求求解的一般规律，把它应用到探究过程中.解题的一般思路（1）利用三角形三边关系“三角形两边之和大于第三边”或者说“两点之间，线段最短”当点Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线时，ＣＢ长最小，此时ＣＢ＝ａ＋ｂ．‎ ‎（2）以有一个公共顶点两个等边三角形为背景存在一对全等三角形△ＣＡＤ和△ＥＡＢ，由两边夹角可证，由△ＣＡＤ和△ＥＡＢ可得ＤＣ＝ＢＥ；当点Ｄ、Ａ、Ｃ三点共线时ＤＣ长最大，则　ＢＥ长最大值为４．（３）第（３）问是前面的探究问题的延伸运用，怎样补充和构建（2）问中基本图形结构呢？其中延伸运用的基本原则一般两个背景的等腰三角形不变，旋转型的全等三角形不变，对应相等的两条线段不变，即基本结构不变，（2）中是两个等边三角形△ABD和△ACE，图（3）中△BPM是等腰直角三角形，应以P点为顶点构建另一等腰直角三角形△APN，的全等三角形△BPN和△AMP，则得AM=NB，当点N在BA延长线上时。BN有最大值，即AM有最大值为2+3，利用等腰直角三角形易求点P坐标（2-，）‎ ‎【详细解答】（1）CB延长线上，； ‎ ‎（2）① DC=BE.理由如下：‎ ‎∵△ABD和△ACE为等边三角形，‎ ‎∴AD=AB,AC=AE, ∠BAD=∠CAE=60°.‎ ‎∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,‎ 即∠CAD=∠EAB.‎ ‎∴△CAD≌△EAB.‎ ‎ ∴DC=BE ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎② BE长的最大值是4.‎ ‎（3）AM的最大值为，点P的坐标为. ‎ ‎【提示】如图3，构造△BNP≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N在BA的延长线上时，NB有最大值（如备用图）。易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=，∴AM=NB=AB+AN=3+;‎ 过点P作PE⊥x轴于点E，PE=AE=,又A（2，0）∴P（2-，）‎ ‎ ‎ ‎【解后反思】此类问题类比迁移思想的把握是解决问题的关键，第一问和第二问抽取出的思想方法是否能运用到第三问中．一般解决问题的思维模式是对题型中的变量过程进行分析，把握原有图形的特点，探究变化量的特点，借用类比思想逐步解题，一般情况下，每问采取的方法步骤基本相同，这类题目往往是数形结合思想、转化、从一般到特殊、类比思想和方程思想的综合运用，要将各种情形逐一分析，避免出错．第三问的解决主要是受第二问的启发,将AM转化,通过过点P作AP的垂线PN并使PN=PA,从而构造出一对全等三角形,得到AM=BN,而AN=,AB=3,求BN的长度范围,利用第一问的发现,两边之和大于第三边(或者利用AN=,得到点N在以A为圆心,以为半径的圆上,点B与圆A上各点中,BA的延长线与圆的交点BN最大)得到BN的最大值是,此时过点P作x轴垂线，得到△PAN的顶点P的坐标是.‎ ‎【关键词】 等边三角形；旋转型全等三角形；类比延伸；接特殊的直角三角形；数形结合思想；分类讨论思想。‎ 17. ‎7. （ 2016湖北省黄冈市，17，7分）如图，在□ABCD中，E,F分别边AD,BC的中点，对角线AC分别交BE,DF于点G,H。求证：AG=CH。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质和判定及三角形全等的证明，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关性质和判定方法．要证AG=CH，可证ΔAGE≌ΔPCH，由□ABCD可得AD BC, 则∠HCF=∠GAE, 结合E,F是AD,BC的中点，可得AE=CF，关键就是还要证明一组角相等，可以通过证明四边形BFDE为平行四边形来解决. 【详细解答】证明：∵□ABCD，∴AD BC, ∴∠HCF=∠GAE,‎ ‎ 又∵E,F分别边AD,BC的中点，∴AE=FC, DE=BF,‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形，‎ ‎∴∠BED=∠BFD.‎ ‎∴∠AEG=∠HFC.‎ ‎∴ΔAGE≌ΔPCH,‎ ‎∴AG=CH. 【解后反思】证明两条线段相等的思路主要有两种：（1）如果两条线段在同一个三角形中，可利用“等角对等边”，证明两条线段所对的角相等；（2）如果两条线段不在同一个三角形当中，通常证明这两条线段所在的三角形全等. 【关键词】平行四边形的性质与判定 ；全等三角形的判定。‎ ‎8. （ 2016湖北省黄石市，24，9分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝．‎ ‎（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；‎ ‎（2）如图2，在（1）的条件下，若＝45°，求证：DE2＝BD2＋CE2；‎ ‎（3）如图3，若＝45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．‎ 图2‎ 图3‎ 图1‎ ‎【逐步提示】本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，综合性较强，解题的关键是利用轴对称以及相关图形的性质和判定得到△CEF是直角三角形．（1）由轴对称变换知DE＝EF，∠DAE＝∠FAE＝，进而得到＝＝1，∠DAF＝＝∠BAC，利用“两边对应成比例且夹角相等”证明；（2）证明△ABD≌△ACF，得到BD＝CF；证明∠ECF＝90°，又由轴对称变换知DE＝EF，最后在Rt△CEF利用勾股定理证明；（3）类比第（2）问的证明思路求解．‎ ‎【详细解答】解：（1）∵D，F关于直线AE对称，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴DE＝EF，∠DAE＝∠FAE＝． [来源:学|科|网]‎ ‎∴∠DAF＝＝∠BAC．‎ ‎∵AB＝AC，AD＝AF，‎ ‎∴＝＝1．‎ ‎∴△DAF∽△BAC．‎ ‎（2）∵∠DAF＝＝∠BAC，‎ ‎∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF．‎ 又∵AB＝AC，AD＝AF，‎ ‎∴△BAD≌△CAF．‎ ‎∴BD＝CF，∠ACF＝∠ABD．‎ ‎∵∠BAC＝＝2×45°＝90°，AB＝AC，‎ ‎∴∠ABD＝∠ACB＝45°，‎ ‎∴∠ACF＝45°．‎ ‎∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝90°．‎ ‎∴EF2＝EC2＋CF2．‎ ‎∵BD＝CF，DE＝EF，‎ ‎∴DE2＝EC2＋BD2．‎ ‎（3）还成立．‎ 证明：如图，∵D，F关于直线AE对称，‎ ‎∴AD＝AF，DE＝EF，∠DAE＝∠FAE＝．‎ ‎∴∠DAF＝＝∠BAC．‎ ‎∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠CAF＝∠BAD．‎ 又∵AB＝AC，AD＝AF，‎ ‎∴△BAD≌△CAF．‎ ‎∴BD＝CF，∠ACF＝∠ABD ‎∵∠BAC＝＝2×45°＝90°，AB＝AC，‎ ‎∴∠ABD＝∠ACB＝45°，‎ ‎∴∠ACF＝45°．‎ ‎∴∠ECF＝180°－∠ACB－∠ACF＝90°．‎ ‎∴EF2＝CF2＋CE2．‎ ‎∵EF＝DE，CF＝BD，‎ ‎∴DE2＝BD2＋CE2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解后反思】此题属于结论探究题，也是动点题型．由于点的位置的变化，导致图形变化，但“变化之中有不变”，结论始终成立．一般地，这类问题的一个重要特点是：解题思路具有关联性，即解题方法类似，这是一个重要的解题经验．本题第（2）问的解题方法可用于解答第（3）问．‎ ‎.【关键词】轴对称变换；等腰三角形的性质；全等三角形；勾股定理．‎ ‎9.（2016湖北省荆州市，21，8分）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置．若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于点E，D′C′交CB于点F，连接EF．当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．‎ ‎【逐步提示】本题考查直角三角形、菱形的性质，图形平移的特征，等腰三角形、三角形全等的判定，（1）应用直角三角形斜边上中线的性质，结合平移的特征，易得△A′DE是等腰三角形；（2）利用四边形EDD′F为菱形和△A′DE是等腰三角形，易证∠C′A′B ＝∠C′EF，EF＝ED， A′D＝ EF，可证△A′DE≌△EFC′．‎ ‎【详细解答】解：△A′DE是等腰三角形；当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE≌△EFC′．‎ 理由如下：‎ ‎（1）∵CD是直角三角形ABC的中线，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，‎ ‎∵△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′，∴AC∥A′C′，‎ ‎∴∠C′A′B＝∠A，∠ACD＝∠A′ED，∴∠C′A′B ＝∠A′ED，∴△A′DE是等腰三角形．‎ ‎（2）∵四边形EDD′F为菱形，∴EF∥A′D′，ED∥D′F，EF＝ED，‎ ‎∴∠C′A′B ＝∠C′EF，∠C′＝∠A′ED，‎ ‎∵△A′DE是等腰三角形，∴A′D＝DE，∴A′D＝ EF，‎ ‎∴△A′DE≌△EFC′．‎ ‎【解后反思】(1)平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．(2)证明角相等或线段相等的常用方法是把两个角或线段分别置于两个三角形中，设法证明这两个三角形全等，此外菱形作为一种特殊的平行四边形，具有很多性质，为三角形的全等提供了条件．‎ ‎【关键词】图形平移的特征；等腰三角形的判定；菱形的性质；三角形全等的识别；直角三角形全等的判定与性质 ‎10. （ 2016湖北省十堰市，19，6分）如图，AB∥CD,E是CD上的一点，BE交AD于点F，‎ EF=BF,求证：AF=DF.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【逐步提示】本题主要考查平行线的内错角相等、对顶角相等和全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明两个三角形全等，从而得到两条线段相等；用分析法找出解题的思路：要证明两条相等相等，需要证明两条线段所在的三角形全等即可，而要证明三角形全等，需要用到“边角边、角边角、角角边、边边边”的判定方法，由本题的题设中的平行线，可以得出内错角相等、同位角相等、同旁内角互补等，通过“两头碰”沟通题设与结论.‎ ‎ 【详细解答】解：证明：∵AB∥CD, ∴∠B=∠BED,‎ 在△AFB和△DFE中，∵ ∴△AFB≌△DFE ‎∴AF=DF. 【解后反思】证明线段的相等关系，主要途径有两条：一是在一个三角形中，通过等角对等边来实现线段相等；二是全等三角形依然是最有效的解决方法与手段之一．根据条件合理选择三角形全等的证明方法：SAS，ASA，AAS，SSS．与全等三角形有关的问题，先根据题目中的已有条件和隐含的条件，结合全等三角形的判定方法证明全等．注意在全等三角形的判定中没有“边边角”的判定，这也是容易出现错误的地方. 【关键词】平行线的性质 、三角形全等的识别、全等三角形的性质。‎ ‎11. （2016湖北宜昌，18，7分）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，‎ 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D．已知AB=‎20米．请根据上述信息求标语CD的长度．2-1-c-n-j-y ‎（第18题）‎ ‎【逐步提示】本题考查了三角形全等和平行线的性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法和根据实际问题转化成数学问题来解决问题． 【详细解答】解：∵AB∥DC ‎ ‎ ∴∠ABO＝∠CDO．‎ 又∵DO⊥CD，‎ ‎∴∠CDO＝90°，‎ ‎∴∠ABO＝90°，即BO⊥AB ‎∵相邻两平行线间的距离相等，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BO=DO ‎∴△BOA≌△CDO．‎ ‎∴CD=AB=‎‎20米 ‎ 【解后反思】三角形全等的判定思路 已知两边 找夹角（SAS）‎ 找直角(HL)‎ 找另一边(SSS)‎ 已知一边一角 边为角的对边 找任一角(AAS)‎ 边为角的邻边 找夹边的另一角(ASA)‎ 找夹角的另一边(SAS)‎ 找边的对角(AAS)‎ 已知两角 找夹边(ASA)‎ 找任意一边(AAS)‎ ‎ 【关键词】全等三角形的判定与性质 ；几何应用；‎ ‎12. （2016湖北宜昌，23，11分）在 △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10．D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B，C不重合）．以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比），【版权所有：21教育】‎ EF∥BC．‎ ‎（1）求∠D的度数；‎ ‎（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH，‎ ‎ ①如图1，连接GH，AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；‎ ‎ ②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求的值．‎ ‎（第23题图1） （第23题图2供参考用） （第23题图3供参考用）‎ ‎【逐步提示】本题考查了直角三角形的判定，正方形判定，相似三角形的性质与判定，函数最值问题等，解题的关键是掌握直角三角形、相似三角形的判定与性质，矩形、正方形等知识的综合运用，结合题意进行线段、数量与面积的等量转化，构建方程求解． 【详细解答】解：（1）∵AB2+AC2=62+82=102=BC2‎ ‎∴∠CAB=90°‎ 又∵△DEF∽△ABC ‎∴∠BAC＝∠D=90°‎ ‎(2) ①四边形AGDH是正方形。‎ 证明：如图1，延长ED交BC于点M，延长FD交于BC于点N ‎∵△DEF∽△ABC ‎∴∠B＝∠E 又∵EF∥BC ‎∴∠B＝∠EMC 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴EF∥BA ‎∴∠E＝∠EMC ‎∴∠B＝∠EMC ‎∴ED∥BA 同理FD∥AC ‎∴四边形AGDH是平行四边形。‎ 又∵∠D=90°‎ ‎∴四边形AGDH是矩形。‎ 又AD⊥GH ‎∴四边形AGDH是正方形。‎ ‎②当D点在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大 其理由是：如图2，点D在内部时，延长DGD到,过作M⊥AC于点M，则四边形GMA面积大于矩形ADH的面积。‎ ‎∴当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大 按上述理由，只有当D点在BC边上时，面积才有可能最大。‎ 如图3，D在BC上时，易证明DG∥AC，‎ ‎∴△DBG∽△ABC，‎ ‎∴,即 ‎∴，所以AH=8-‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴‎ 当AG=时，最大，此时DG=AH=4.‎ 即当AG=3, ＡＨ＝４，最大,‎ 在Rt△BGD中，BD==5则DC=BC-BD=5‎ 即D为BC上的中点时，最大,‎ ‎∴又在Rt△ABC中，AD==5‎ ‎∴PA=AD=5‎ 延长AP交BC于点Q，‎ ‎∵EF∥BC,QF⊥EF ‎∴QP⊥BC ‎∴QP是EF、BC之间的距离 ‎∴D是EF的距离为PQ的长。‎ 在Rt△ABC中，,‎ ‎∴AQ=4.8‎ 又△DEF∽△ABC ‎∴‎ ‎ 【解后反思】（1）判定两个三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS，判定两个直角三角形全等还有方法HL，应根据具体条件灵活选择适当的判定方法，同时注意挖掘图形中的隐含条件，如公共角、公共边、对顶角、角的和差等．（2）判定一个四边形是正方形有三种方法：一是证有一个角是直角，有一组邻边相等，且是平行四边形；二是证有一个角是直角，且是菱形；三是证有一组邻边相等，且是矩形．（3）相似三角形的判定方法有：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或延长线），所截得的三角形与原三角形相似；②两角分别相等的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似.（4）相似三角形的对应高之比，对应角平分线之比，对应中线之比，周长之比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方.‎ ‎【关键词】全等三角形；矩形的判定；正方形的判定；相似三角形的判定与性质 ‎13. （2016湖南常德，25，10分）已知四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD．连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC， 连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．‎ ‎(1)如图12，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC ≌ADE；②BF=EF；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2) 如图13，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？请证明你的结论．‎ ‎【逐步提示】本题考查了全等三角形和相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例的性质．(1)①利用SAS证全等；②易证得：BC∥FH和CH=HE，根据平行线分线段成比例定理得BF=EF，也可由三角形中位线定理的推论得出结论．‎ ‎(2)作辅助线构建平行线和全等三角形，首先证明△KAE≌△DAC，得AD=AK，根据等量代换得AB=AK，根据②同理得出结论．‎ ‎【详细解答】解：‎ ‎(1)证明：∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥AC，∴∠CAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠EAC，又∵AB＝AD，AE=AC，∴△ABC ≌ADE（SAS）；‎ ‎∵△ABC≌△ADE，∴∠AEC=∠ACB，∵∠ACE+∠AEC=90°，∴∠BCE=90°．∵AH⊥CD，AE=AC，∴H是CE的中点；∵∠AHE=∠BCE=90°，∴BC∥FH，∴△EHF∽△EBC，，∴BF=EF；‎ ‎（2）结论仍然成立，理由是：‎ 如图所示，过E作KL∥AH，交BA、CD延长线于K、L，∵∠CAE=90°，∠BAD=90°，‎ ‎∴∠BAC+∠EAK=90°，∠BAC+∠CAD=90°，∴∠EAK =∠CAD，‎ ‎∵KL∥AH，∴∠KEA=∠HAE，‎ ‎∵∠ACH+∠CAH=90°，∠CAH+∠HAE=90°，‎ ‎∴∠ACH=∠HAE，∴∠KEA=∠ACH，‎ 在△MAE和△DAC中，‎ ‎∵ ‎ ‎∴△KAE≌△DAC（ASA），‎ ‎∴AK=AD，∵AB=AD，∴AB=AK，∵AH∥KL，∴△BAF∽△BKE，‎ ‎∴，∴BF=EF．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解后反思】：在几何图形中证明线段相等或已知线段相等的一般思路是：①证明相等线段所在的三角形全等；②利用相等线段的比值为1证相等．‎ ‎【关键词】全等三角形的性质和判定；相似三角形的性质和判定 ‎14. （2016湖南省衡阳市，21，6分）（本小题满分6分）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF。‎ ‎【逐步提示】本题考查了三角形全等的判定，解题的关键是找出能够使两个三角形全等的条件．DE和CF分别在两个三角形中，因此应该考虑证明这两个三角形全等．先证明△ADE与△BCF，再利用全等的性质证明DE＝CF． 【详细解答】证明：∵AC=BD，‎ ‎∴AD=BC，‎ 又∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，‎ ‎∴∆ADE≌∆BCF，∴DE=CF。‎ ‎【解后反思】全等三角形的对应边相等是证明边相等的常用方法． 判定两三角形全等的常见思路如下：当题目中已知两边“SS”时，根据三角形全等的判定条件，可选择“SAS”，或“SSS”进一步探索推理的思路；若已知一边一角“SA”时，可根据题意再补上一角或另一边，应用“SAS”，或“ASA”，或“AAS”进行说理；若已知两角“AA”时，则应补上一边，利用“AAS”，或“ASA”进行推理．总之，应根据具体条件灵活选择适当的判定方法．‎ ‎【关键词】全等三角形的判定；全等三角形的性质 ‎15. （ 2016湖南省怀化市，17，8分）如图，已知AD＝BC，AC＝BD.‎ ‎（1）求证：△ADB≌△BCA；‎ ‎（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由.‎ ‎【逐步提示】此题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.‎ ‎（1）根据“SSS”可证△ADB≌△BCA；‎ ‎（2）OA与OB相等.理由:由题（1）根据全等三角形对应角相等可得出∠C＝∠D，再由“AAS”证△AOD≌△BOC可得. ‎ ‎【详细解答】解：（1）∵已知AD＝BC，AC＝BD，AB＝BA，‎ ‎∴△ADB≌△BCA（SSS）； ‎ ‎（2）OA与OB相等.理由:‎ ‎∵△ADB≌△BCA，‎ ‎∴∠C＝∠D，‎ ‎∵AD＝BC，∠COB＝∠DOA，‎ ‎∴△AOD≌△BOC（AAS）‎ ‎∴OA＝OB. ‎ ‎【解后反思】此题考查全等三角形的判定与性质.根据题意，通过证两三角形全等得两条线段相等，是证线段相等最常用的方法之一. 【关键词】三角形全等的识别 ；全等三角形的性质 ‎16.（2016湖南湘西，21，8分）如图，点O是线段AB和线段CD的中点 ‎（1）求证:△AOD≌△BOC；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）求证:AD∥BC.‎ ‎【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是利用隐含条件“∠AOD=∠COB”证出△AOD≌△BOC；‎ ‎（1）由“点O是线段AB和线段CD的中点”，结合“对顶角相等”，易证△AOD≌△BOC（SAS）；（2）由（1）中三角形全等，得∠A=∠B，得AD∥BC.‎ ‎【详细解答】解：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，∴OA=OB，OD=OC，∵∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△BOC（SAS）；‎ ‎（2）∵△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，∴AD∥BC.‎ ‎【解后反思】根据已知条件，按下列方式来寻求一般三角形全等的方法．‎ 已知条件 可供选择的判定方法 一边和这边邻角对应相等 选边：只能选角的另一边（SAS）‎ 选角：可选另外两对角中任意一对角（AAS、ASA）‎ 一边及它的对角对应相等 只能再选一角：可选另外两对角中任意一对角（AAS）‎ 两边对应相等 选边：只能选剩下的一对边（SSS）‎ 选角：只能选两边的夹角（SAS）‎ 两角对应相等 只能选边：可选三条边的任意一对对应边（AAS、ASA）‎ ‎【关键词】全等三角形；全等三角形的判定；全等三角形的性质 ‎17. (2016湖南省岳阳市，18，6)(本题满分6分)已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF.求证：BF=CD.‎ ‎【逐步提示】根据矩形的性质可得四边形的四个角都是直角，再根据垂直的定义可得互余角，进而应用“等角的余角相等”得到两个角相等，从而构造了两个三角形是全等三角形得到对应边相等。‎ ‎【详细解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BFE+∠BEF=90°。‎ ‎∵ EF⊥DF，∴∠DFE=90°，即∠BFE+∠DFC=90°，∴∠BEF=∠DFC。‎ 在△BEF与△CFD中，∠BEF=∠DFC，∠B=∠C，BE=CF，‎ ‎∴ △BEF≌△CFD，∴BF=CD.‎ ‎【解后反思】在证明三角形全等时，先考虑已经具备的条件，再去分析可以选用的方法，从而知道需要证明的条件，①如果已知两角，可以考虑角角边或角边角，必证某一边相等；②若已知一边一角，可以考虑边角边、角角边、角边角；③若已知两边，则可以考虑边边边或者边角边．‎ ‎【关键词】矩形的性质；垂直的定义；余角性质；全等三角形的条件与性质；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18. （ 2016江苏省淮安市，21，8分）已知，如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边AC、AD的中点，连接AE、CF，求证：ΔADE≌ΔCDF ‎ ‎【逐步提示】本题以菱形为背景，考查三角形全等的判定． 根据菱形的性质，找出能判定两个三角形全等的边或角的关系是解题的关键． 由于这两个三角形有一个公共角，菱形的邻边相等，再加上中点的条件，可考虑用边角边来判定两个三角形全等． 【详细解答】解：∵四边形ABCD是菱形 ‎ ∴AD=CD ‎ 又∵F、E分别为边AD、CD中点 ‎ ∴DE=DF 在△ADE和△CDF中 ‎ ‎ ‎ ∴△ADE≌△CDF ‎【解后反思】看到菱形就应该想到：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；要判定两个三角形全等就应该想到这些判定方程：边边边，边角边，角边角，角角边，还有直角三角形的“HL”． 【关键词】菱形的性质 ；全等三角形的判定；‎ ‎19.（ 2016江苏省连云港市，22，10分）四边形中，，，，，垂足分别为、．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若与相交于点，求证：．‎ ‎【逐步提示】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 本题以平行四边形为背景考查了全等三角形的判定以及线段相等的证明，掌握全等三角形判定的方法和平行四边形的性质是解题的关键． ‎ ‎（1）在Rt△ADE和Rt△CBF中已有一边和一角对应相等，要证这两个三角形全等，可以证一对对应角相等或是证一边相等，由已知条件可由BE=DF来证一边对应相等；‎ ‎（2）要证AO=CO，只需要证明四边形AFCE是平行四边形，由第（1）中的全等可得AE=CF，再想办法证明AE∥CF即可．‎ ‎【详细解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠BFC=90°‎ ‎∵BE=DF，∴BF+EF=EF+DE，∴BF=DE．‎ 在Rt△ADE和Rt△CBF中 ‎∴Rt△ADE≌Rt△CBF；‎ ‎（2）∵Rt△ADE≌Rt△CBF ‎∴AE=CF ‎∵∠AEO=∠CFO=90°‎ ‎∴AE∥CF ‎∴四边形AFCE是平行四边形，‎ ‎∴AO=CO．‎ ‎【解后反思】平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；‎ ‎（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；‎ ‎（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；‎ ‎（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；‎ ‎（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．‎ ‎【关键词】全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定；‎ ‎20. （ 2016江苏泰州，21，10分）如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．‎ ‎（1）求证：AD∥BC；‎ ‎（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．‎ ‎（第21题图）‎ ‎【逐步提示】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质,解题的关键是证得△GAF∽△GBC．问题（1）是个基本图形：等腰三角形顶角的外角的角平分线平行于底边，比较容易解决，问题（2）中，根据∠CAD=∠EAD和CG⊥AD，很容易发现△AFC≌△AFG，得CF=FG=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 CG，再利用问题（1）所证“AD∥BC”得△GAF∽△GBC，问题得解．‎ ‎【详细解答】(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠EAD=∠CAE，∵∠B＋∠ACB=∠CAE，∴∠B=∠EAD，∴AD∥BC；‎ ‎（2）解：∵CG⊥AD，∴∠AFC=∠AFG=90°，∵AF=AF，∠CAD=∠EAD，∴△AFC≌△AFG（ASA），∴CF=FG=CG，∵AD∥BC，∴△GAF∽△GBC，∴，∴．‎ ‎【解后反思】问题（1）是个基本图形，来源于课本例题，问题（2）主要反映轴对称和相似的理念，所以本题是由3个基本图形组合而成．‎ ‎【关键词】 等腰三角形的性质；平行线的判定；全等三角形的判定；相似三角形的判定和性质 ‎21. （2016江苏省无锡市，21，8分）已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE＝AF，连接DE、DF．求证：DE＝DF．‎ ‎【逐步提示】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，本题的思路是要证明DE＝DF，可考虑证明△DCE≌△DAF，要证明这两个三角形全等，有正方形可得AD＝CD，∠C＝∠DAF＝90°，再加上题设中的CE＝AF，即可完成本题的证明．‎ ‎【详细解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，AD＝DC，∴∠DAF＝∠C＝90°，∵CE＝AF，∴△DCE≌△DAF．∴DE＝DF．‎ ‎【解后反思】由全等三角形得到两条线段相等，是证明线段相等的常见思路。而证明两个三角形全等的时候，可分析已经具备什么条件，还需要补充哪些条件．‎ ‎【关键词】正方形的性质；全等三角形的判定；‎ ‎22. （2016山东滨州23，10分）‎ 如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG ‎（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若∠ABC =30°，∠C =45°，，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．‎ ‎【逐步提示】（1）根据EG是BD的垂直平分线可得BE=ED，BG=DG，再根据∠EBF=∠GBF，EG⊥BF，可以得到BE=BG，从而四边形EBGD的四条边都相等，因此是菱形；（2）当E、H、C三点共线时，HG+HC的值最小，过点D作DM⊥BC，垂足为点M，四边形EBGD是菱形，即在△DCG中，DG=ED，∠DGC=∠ABC=30°，∠C=45°，求出DM的长度，则CN=NG+GM+CM=NG+BN+CM=BG+CM，在Rt△CEN 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 中，应用勾股定理可求得CE的长．‎ ‎【详细解答】解：（1）四边形EBGD是菱形，理由如下：‎ ‎∵EG是BD的垂直平分线，∴BE=ED，BG=DG，EG⊥BD，在△BEF与△BGF中，∠EBF=∠GBF，BF=BF，∠BFE=∠BFG=90°，∴△BEF≌△BGF，∴BE=BG，∴BE=ED=DG=BG，∴四边形EBGD是菱形；‎ ‎（2）∵由（1）知四边形EBGD是菱形，点H为对角线BD上的点，∴△BEH≌△BGH，即EH=HG，∴HG+HC=EH+HC，当E、H、C三点共线时，EH+HC最小，即HG+HC最小，∴HG+HC最小值为CE的长度；分别过点E、D向BC作垂线，垂足分别为N、M，在Rt△BEN与Rt△GDM中，BE=DG，EN=DM，∴Rt△BEN≌Rt△GDM，∴BN=GM，∵CN=NG+GM+CM，∴CN= NG+BN+CM，即CN= BG+CM，在△DCG中，DG=，∠DGC=∠ABC=30°，∠C=45°，∴，CM=DM=，∴CN= BG+CM=+=，在Rt△CEN中，EN=DM=，CN=，，∴HG+HC的最小值是10．‎ 方法二：‎ ‎∵由（1）知四边形EBGD是菱形，点H为对角线BD上的点，∴△BEH≌△BGH，即EH=HG，∴HG+HC=EH+HC，当E、H、C三点共线时，EH+HC最小，即HG+HC最小，∴HG+HC最小值为CE的长度；分别过点E、D向BC作垂线，垂足分别为N、M，在△DCG中，DG=，∠DGC=∠ABC=30°，∠C=45°，∴，CM=DM=，∴CN=MN+CM=DE+CM =+=，在Rt△CEN中，EN=DM=，CN=，，∴HG+HC的最小值是10．‎ ‎【解后反思】本题先通过已知条件让考生判断出结论，然后对结论进行证明，此类问题难度大，考生往往在判断结论时就出错，导致题目全部出错，本题的关系复杂，问题（2）求两条线段和的最小值问题转化为“将军饮马”问题，求CE的长度难度较大，注重考查了考生的推理能力.‎ ‎【关键词】全等三角形的判定综合 解直角三角形 菱形的判定 勾股定理 ‎23. （2016 镇江，22,6分）（本小题满分6分）‎ ‎(1)如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°，‎ ‎（1）求证：△ACB≌△BDA;‎ ‎(2)若∠ABC=35°，则∠CAO= °.‎ ‎【逐步提示】①‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 本题考查了本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是选择合适的方法证两个三角形全等．②要证△ACB≌△BDA，这两个三角形有一条公共边，再加已知条件，用“HL”定理来证这两个三角形全等;利用全等三角形的性质和直角三角形两锐角互余，可求出∠CAO的度数.‎ ‎【详细解答】解：（1）∵∠C=∠D=90°‎ ‎∴△ACB和△BDA是直角三角形…………………………（1分）‎ 在Rt△ACB和Rt△BDA中 ‎ …………………………（3分）‎ ‎∴Rt△ACB≌Rt△BDA …………………………（4分）‎ ‎（2）20°. …………………………（6分）‎ ‎【解后反思】（1）要证三角形全等，至少要有一组“边”的条件，所以一般情况下，我们一般先找对应边；（2）要证直角三角形全等，通常先考虑直角边、斜边定理（HL）；（3）在有一组对应边相等的前提下，我们通常找任意两组对应角相等即可；在有两组对应边分别相等的前提下，可以求第三组对应边相等，或者求两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角；若有三组对应边分别相等，则可以直接根据边边边（SSS）求解．此类问题容易出错的地方是容易用边边角来证两个三角形全等．‎ ‎【关键词】 全等三角形；斜边直角边；全等三角形的对应角相等；直角三角形两锐角互余 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费