知识点024 全等三角形2016A.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. (2016新疆建设兵团，4，5分）如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）‎ A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF ‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形常见判定方法．注意到题目中给出一组角相等，一组边相等，分别结合四个选项，找到不符号常见判定方法的那个选项．‎ ‎【详细解答】解：选项A可采用“ASA”来判定三角形全等，选项B可采用“SAS”来判定三角形全等，选项C可采用“AAS”来判定三角形全等，选项D为两边和其中一边的对角不能判定三角形全等，故选择D .‎ ‎【解后反思】此类问题容易出错的地方是由SSA就判定三角形全等，从而错选D选项.三角形全等的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，HL(直角三角形)．‎ ‎【关键词】 三角形全等的判定；‎ ‎(2016浙江金华，6，3分)如图，已知，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( ) ‎ A B ‎（第6题图）‎ D C A. AC=BD B.∠CAB＝∠DBA C.∠C＝∠D D.BC=AD ‎【答案】A ‎【逐步提示】将题目中的条件表示到图形中，再结合图形条件判断已有哪些条件，然后根据三角形全等的判定方法确定正确的选项．‎ ‎【解析】题目中已给出一角相等，图形中有一条公共边，即已有一边及一角对应相等，再需要一边或一角相等即可，A选项与两已知条件构成SSA不能确定两个三角形全等；B选项与两已知条件构成ASA能确定两个三角形全等；C选项与两已知条件构成AAS能确定两个三角形全等；D选项与两已知条件构成SAS能确定两个三角形全等，故选择A.‎ ‎【解后反思】对于添加条件从而判断两个全等三角形全等类问题的解题策略：首先理解题目中已存在的条件(包括已知条件及图形条件)，再根据三角形全等的五种判定方法[(1)三边对应相等的两个三角形全等SSS；(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等SAS；(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等ASA；(4)两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS；(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL]进行综合评判，从而确定需要添加的条件．‎ ‎【关键词】三角形全等的识别 ‎2.‎ ‎3. （ 2016四川省广安市，8，3分）下列说法：‎ ‎①三角形的三条高一定都在三角形内；‎ ‎②有一个角是直角的四边形是矩形；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；‎ ‎④两边及一角对应相等的两个三角形全等；‎ ‎⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．‎ 其中正确的个数有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】A ‎【逐步提示】本题考查了三角形的中线、高线、角平分线的概念，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定，平行四边形的判定等，解题的关键是掌握这些概念、定理等．‎ 因为直角三角形与钝角三角形的三条高不都在三角形内，故①错；至少有三个角是直角的四边形是才是矩形，故②错；③是菱形的定义，正确；满足④的条件时有可能形成“边边角”的情况，故错误；等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但它不是平行四边形，故⑤错误． 【详细解答】解：只有③正确，故选择A. 【解后反思】要理解三角形“三线”的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形的判定方法，这是正确解题的基础．能画图举反例，以排除不符合条件情形，也是解这类题的基本功，要多思考，勤积累．类似的问题还有：‎ 判断下列说法是否正确：‎ ‎（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.‎ 解：错误．如图1，作△ABC，使AB＝AC，在BC上取一点D（D点不与B、C重合且BD≠CD），连接AD.再以A为顶点，AD为一边，作∠EAD，使∠EAD＝∠ADC，且AE＝DC，连接DE.‎ 由上述画图方法，可知△ADC≌△DAE（SAS）.‎ 所以DE＝AC＝AB，∠AED ＝∠C＝∠B.‎ 即四边形ABCD有一组对边相等（DE＝AB）、一组对角相等（∠AED＝∠B），但却不是平行四边形（另一组对边AE和BD不平行也不相等）.‎ ‎（2）一组对边相等，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.‎ 解：错误．如图2，画两条相交直线，交点为O，在其中一条直线上截取OA＝OC，分别过A、C两点向另一条直线作垂线，垂足分别为E、F.在线段OF上取一点D（D点不与O、F重合），连接CD.再在线段OE的延长线上取一点B，使EB＝FD，连接AB.‎ 由上述画图方法，易知△COF≌△AOE（AAS），则CF＝AE，由“SAS”可判定△CFD≌△AEB，则CD＝AB.连接AD、BC，则四边形ABCD满足条件，却不是平行四边形.‎ ‎（3）一组对角相等，且连接这一组对角的顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.‎ 解：错误．如图，画一个“筝形”ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC且AO≠OC，则该“筝形”满足条件，但它不是平行四边形.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 【关键词】 中线、高线、角平分线；矩形的判定；菱形的判定；全等三角形的判定；平行四边形的判定 ‎ ‎ 二、填空题 ‎1. （ 2016山东省枣庄市，17，4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△A´B´C´的位置，连接C´B，则C´B＝ ．‎ A B C B´‎ C´‎ ‎【答案】 ‎ ‎【逐步提示】本题考查了旋转、全等三角形、解直角三角形，解题的关键是通过旋转的性质及角度得出△ABB´为等边三角形．连接BB´，延长BC´交AB´于点H，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知△ABB´为等边三角形，然后再证明△ABC´≌△B´BC´，再利用等腰三角形三线合一，证明BH⊥AB´，然后分别求HC´与BH即可求C´B． 【详细解答】解：连接BB´，延长BC´交AB´于点H，∵∠C＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝＝2，由题意可知：AB´＝AB＝2，且∠BAB´＝60°，∴△ABB´为等边三角形，∴BB´＝AB，∠ABB´＝60°，又∵BC´＝BC´，B´C´＝AC´，∴△ABC´≌△B´B C´，∴∠ABC´＝∠B´ BC´＝30°，∴BH⊥AB´，且AH＝AB´＝1，∴BH＝＝，∵∠AC´B´＝90°，AH＝B´H，∴C´H＝AB´＝1，∴ C´B＝BH－C´H＝－1 ，故答案为 . ‎C´‎ A B H C B´‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解后反思】本题考查了旋转的知识，解这类题通常抓住变换前后的全等图形中对应边、对应角相等．当旋转角为60°时，可以得到等边三角形；当旋转角为45°时，可以得到等腰直角三角形． ‎ ‎【关键词】三角形全等的识别 ；全等三角形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理； ‎ ‎2. （ 2016四川省成都市，12，4分）如图，△ABC≌△A´B´C´，其中∠A＝36°，∠C´＝24°，∠B＝ ．‎ A C B C´‎ A´‎ B´‎ ‎【答案】120°．‎ ‎【逐步提示】本题考查了三角形全等的性质及三角形内角和定理，解题的关键是掌握有关的性质．先根据全等三角形对应角相等求出∠C，再利用三角形内角和定理可求出∠B． 【详细解答】解：∵△ABC≌△A´B´C´，∴∠C＝∠C´＝24°，∴ ∠B＝180°―∠A―∠C＝180°―36°―24°＝120° ，故答案为 120° . 【解后反思】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 【关键词】三角形的内角和；全等三角形的性质 三、解答题 ‎1. （ 2016山东省枣庄市，24，10分）如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，EP＝FP＝6，EF＝，∠BAD＝60°，AB＞．‎ ‎⑴求∠EPF的大小；‎ ‎⑵若AP＝10，求AE＋AF；‎ ‎⑶若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．‎ A B D C F P E ‎【逐步提示】本题考查了菱形的性质、等腰三角形三线合一性及全等三角形等知识，解题的关键是熟练掌握图形的性质和判定，善于转化．⑴过点P作PG⊥EF于G．根据等腰三角形三线合一性，得∠EPF＝2∠FPG，再解Rt△PFG，利用特殊角三角函数值求∠FPG的大小，即可得∠EPF；⑵作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N．根据菱形的对角线平分对角的性质，可证明△PME≌ △PNF，得ME＝NF，再利用三角函数求出AM＝AN ，通过线段和差得到AE＋AF与AM、AN 的关系，即可求值；⑶当E、F分别与A、B重合时，AP取最小值，当EF⊥AC时，AP取最大值．‎ ‎【详细解答】解：⑴如图，过点P作PG⊥EF于G．‎ ‎∵PE＝PF＝6，PG⊥EF，∴FG＝EG＝ EF＝，∠FPG＝∠EPG＝∠EPF．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在Rt△FPG中，sin∠FPG＝＝＝．‎ ‎∴∠FPG＝60°，∴∠EPF＝2∠FPG＝120°．‎ M A B D C F P E N G ‎⑵作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N．‎ ‎∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC＝∠BAC，AM＝AN ，PM＝PN ．‎ 在Rt△PME和Rt△PNF中，PM＝PN ，PE＝PF，‎ ‎∴Rt△PME≌Rt△PNF．∴ME＝NF．‎ 又AP＝10，∠PAM＝∠DAB＝30°， ‎ ‎∴AM＝AN ＝AP·cos30°＝10×＝．‎ ‎∴AE＋AF＝(AM＋ME)＋(AN－NF)＝AM＋AN＝．‎ ‎⑶如图，当△EFP的三个顶E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动时，点P在P1，P2之间运动，易知P1O＝P2O＝3，AO＝9，‎ ‎∴AP的最大值为12，AP的最小值为6． ‎O A B D C F P1‎ E P2‎ ‎【解后反思】运动型问题一般是图形在运动中产生函数关系问题或探究几何图形的变化规律问题，这类问题可细分为点动型、线动型、形动型．解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径．‎ ‎【关键词】全等三角形的性质 ；三角形全等的识别；等腰三角形的性质；特殊角三角函数值的运用；动点题型 ‎2. (2016重庆A，19，7分)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE//DF，EC=BD，AC=FD. 求证：AE=FB. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【逐步提示】由CE//DF，可知∠ACE=∠D. 利用“SAS”可以判定△ACE≌△FDB，即可判定AE=FB. ‎ ‎【详细解答】证明：∵CE//DF，∴∠ACE=∠D. ‎ 在△ACE和△FDB中，‎ ‎∵EC=BD，∠ACE=∠D，AC=FD，‎ ‎∴△ACE≌△FDB(SAS). ‎ ‎∴AE=FB. ‎ ‎【解后反思】利用三角形全等是证明两条线段或两个角相等的重要方法. 证明两个三角形全等必须有一组对应边相等的条件，判定两个三角形全等的方法主要有“SAS”、“ASA”、“AAS”和“SSS”，对于直角三角形，还有“HL”，结合全等三角形的判定方法，可寻找所需要的条件. 当题目中出现平行线时，可根据平行线的性质得到相等的角，还要注意公共线段、公共角、重合线段、重合角在得到相等线段和相等角的作用. ‎ ‎【关键词】全等三角形的识别；全等三角形的性质 ‎ ‎ (2016重庆B，19，7分)如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．‎ ‎【逐步提示】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC≌△CED，然后根据全等三角形对应角相等即可证明∠B=∠E．‎ ‎【详细解答】证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAC=∠ECD，‎ 在△ABC和△CED中，‎ ‎∴△ABC≌△CED(SAS)，‎ ‎∴∠B=∠E．‎ ‎【解后反思】利用三角形全等是证明两个角或两条线段相等的重要方法. 证明两个三角形全等必须有一组对应边相等的条件，判定两个三角形全等的方法主要有“SAS”、“ASA”、“AAS”和“SSS”，对于直角三角形，还有“HL”，结合全等三角形的判定方法，可寻找所需要的条件. 当题目中出现平行线时，可根据平行线的性质得到相等的角，还要注意公共线段、公共角、重合线段、重合角在得到相等线段和相等角的作用. ‎ ‎【关键词】全等三角形的识别；全等三角形的性质 ‎ ‎ 3.(2016重庆B，25，12分)已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD=BC，DE⊥CE，DE=CE，连接AE，点M是AE的中点.‎ ‎(1)如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；‎ ‎(2)如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证MN⊥AE；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(3)如图3，将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索的值并直接写出结果.‎ ‎ ‎ ‎【逐步提示】(1)先证明△ACE是直角三角形，根据CM=AE，求出AE即可解决问题．‎ ‎(2)如图，延长EN至点F，使NF=EN，连接BF，连接AF.先证明△NBF≌△NDE，可得BF=DE=CE，∠FBN=∠NDE.根据题意可得∠ACE=∠ACB+∠DCE-∠DCB =90°-∠DCB，只要证出∠ABF=90°-∠DCB.即可证明∠ACE=∠ABF，又AB=AC，利用“SAS”可证出△ABF≌△ACE，进而可得∠FAB=∠EAC，所以有∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠EAC +∠BAE=∠BAC=90°，又MN是△EAF的中位线.根据三角形的中位线的性质可得MN∥AF，从而∠NME=∠FAE=90°，可证MN⊥AF.‎ ‎(3)如图5，连接DM并延长到点G，使MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F．‎ 可得△AMG≌△EMD，∴AG=DE=EC，∠GAM=∠DEM，‎ ‎∴AG∥DE，∴∠F=∠DEC=90°，∵∠FAC+∠ACF=90°，∠BCD+∠ACF=90°，∴∠FAC=∠BCD=30°∴∠BAG=∠ACE=120°，‎ 在△ABG和△CAE中，∴△ABG≌△CAE，∴BG=AE，‎ ‎∵BN=ND，DM=MG，∴MN是△DBG的中位线，∴BG=AE=2MN，‎ 设BC=‎2a，则CD=a，DE=EC=a，AC=a，CF=a，AF=a，EF=a，∴AE=a，∴MN=a，∴. ‎ ‎【详细解答】(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=4，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AC=AB=4，BC=，∠ACB=∠ABC=45°.‎ ‎∵CD=BC，∴CD=.‎ ‎∵DE⊥CE，DE=CE，‎ ‎∴△CDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DCE=∠CDE=45°，‎ ‎∴CE=CD·sin45°=2.‎ ‎∵∠ACE=∠DCE+∠ACB=45°+45°=90°，‎ ‎∴在Rt△ACE中，AE=.‎ ‎∵点M是AE中点，∴CM=AE=.‎ ‎(2)证明：如图4，延长EN至点F，使NF=EN，连接BF，连接AF.‎ ‎∵点N是BD的中点，∴BN=DN.‎ ‎∵∠BNF=∠DNE，∴△NBF≌△NDE.‎ ‎∴BF=DE，∠FBN=∠NDE，‎ ‎∵DE=CE，∴BF=CE.‎ ‎∵∠ACE=∠ACB+∠DCE-∠DCB，‎ ‎∴∠ACE=45°+45°-∠DCB=90°-∠DCB.‎ 在△BCD中，∵∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∠BDC=∠NDE+∠CDE，又∵∠CDE=45°，‎ ‎∴∠DBC+∠NDE=135°-∠DCB.‎ ‎∵∠ABF=∠DBC+∠FBN-∠ABC，∠FBN=∠NDE，‎ ‎∴∠ABF=∠DBC+∠NDE-∠ABC=135°-∠DCB-45°=90°-∠DCB.‎ ‎∴∠ABF=∠ACE.‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴△ABF≌△ACE.‎ ‎∴∠FAB=∠EAC ‎∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，‎ ‎∴∠FAB+∠BAE=90°，即∠FAE=90°.‎ ‎∵点M是AE中点，NF=NE，‎ ‎∴MN是△EAF的中位线.∴MN∥AF.‎ ‎∴∠NME=∠FAE=90°.‎ ‎∴MN⊥AF.‎ ‎(3)解：.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解后反思】本题综合考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形.在几何问题的求解或证明中，全等三角形起着很重要的作用，应该充分利用已知条件和图形找出图中的全等三角形，根据全等三角形对应边、对应角分别相等的性质可实现等边、等角的代换，而当要证明的两线段之间或两角之间没有直接联系时，往往需要通过等量代换适当转换来求解.．‎ ‎【关键词】三角形全等的识别；全等三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理 ‎ ‎ ‎4.‎ ‎5. （ 2016四川泸州，18，6分）如图，C是线段AB的中点，CD=BE， CD∥BE.求证：∠D=∠E.‎ ‎【逐步提示】要证明两个不同三角形中的两个角相等，可以证明这两个角所在的两个三角形全等，从而选择合适的判定方法证明两个三角形全等. 【详细解答】证明：∵C是线段AB的中点，∴AC=CB，∵CD∥BE，∴∠ACD=∠CBE，在△ACD和△CBE中，‎ ‎∴△ACD≌△CBE, ∴∠D=∠E. 【解后反思】证明两个三角形全等，一般情况下是已知两个条件去找第三个全等条件，有以下几种情况：‎ ‎（1）已知两边；（2）已知两角；（3）已知一边及其邻角；（4）已知一边及其对角，找余下的任一角.‎ ‎【关键词】三角形全等的判定方法 ‎5. （ 2016四川南充，19，8分）已知ΔABN和ΔACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.‎ ‎ (1)求证：BD=CE；‎ ‎(2)求证：∠M=∠N.‎ ‎【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定与性质；解题的关键是证明三角形全等．（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．‎ ‎【详细解答】解：（1）证明：在△ABD和△ACE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SAS），‎ ‎∴BD=CE；‎ ‎（2）证明：∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，‎ 即∠BAN=∠CAM，‎ 由（1）得：△ABD≌△ACE，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ 在△ACM和△ABN中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACM≌△ABN（ASA），‎ ‎∴∠M=∠N．‎ ‎【解后反思】根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证明思路如下：‎ 已知条件 寻找的条件 选择的判定方法 两角 夹边或一角对边 ASA或AAS 一角及其对边 任一角 AAS 一角及其邻边 角的另一边或边的另一邻角或边的对角 SAS或ASA或AAS 两边 夹角或另一边或直角 SAS或SSS或HL ‎【关键词】全等三角形的性质；三角形全等的识别 ‎6 （ 2016四川省宜宾市，18，6分）如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC.‎ 求证：BC=AD ‎ ‎ ‎【逐步提示】已知∠CAB=∠DBA，可得AO=BO,因而可证明△BOC≌△AOD,结论成立. 【详细解答】证明：∠CAB=∠DBA，‎ ‎ 所以AO=BO ‎ 在 △BOC和△AOD 中 ‎ ∠CBD=∠DAC（已知）‎ ‎ OB=OA(已证)‎ ‎ ∠CBD=∠DAC（已证）‎ ‎ △BOC≌△AOD（ASA）‎ ‎ 所以BC=AD 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 【解后反思】除了上面的证明方法外，也可以证明△BAC≌△ABD(ASA)‎ ‎【关键词】 全等三角形的性质与判定；等腰三角形的性质与判定 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费