知识点026 直角三角形、勾股定理及逆定理2016A.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. （2016山东东营，9，3分）在△ABC中，AB=10，AC=，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）‎ A．10 B．8 C．6或10 D．8或10‎ ‎【答案】C ‎【逐步提示】本题考查勾股定理，分类讨论思想．根据题意画出相应的图形，然后利用勾股定理分别求出BC的长． 【详细解答】解：如图①所示，在Rt△ABD中，BD=，在Rt△ACD中，CD=，∴BC=BD+CD=8+2=10．如图②所示，同理求出BD=8，CD=2，∴BC=BD－CD=8－2=6．故选C．‎ ‎【解后反思】解答本题易出现漏解的错误，即只考虑高在三角形内部的情况，而忽视高在外部的情况，而造成漏解．‎ ‎【关键词】勾股定理；分类讨论思想 ‎2. （ 2016山东潍坊，7，3分）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿射线OM方向滑动，下列各图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握能够观察到图中的OP是斜边AB上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP的长度始终保持不变，然后结合图形可选出答案． 【详细解答】解：连接OP，∵△AOB为直角三角形，∴．故点P下落路线为以O为圆心，OP为半径的一段圆弧，故选择D . 【解后反思】本题在解答时需掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而OP的长度不变，本题是来源于青岛版八下课本. 【关键词】直角三角形；‎ 14. ‎3. （ 2016山东省烟台市，14，3分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰△‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 .‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【逐步提示】利用等腰△ABC三线合一定理判断出，然后利用勾股定理即可求出OM的长，则点M对应的实数即可求出. 【详细解答】解： ∵A，B两点分别对应-3，3，即OA=OB，‎ 又∵△ABC为等腰三角形，∴, ∴ OM=OC== ，故答案为 . 【解后反思】1.本题考查数轴与点一一对应关系，需要借助数轴和勾股定理判断出字母对应的数值.‎ ‎2.在数轴上，数轴形象地反应了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，借助于数与形的相互转化来解决数学问题，数轴具有如下作用：‎ （1） 利用数轴可以用点直观地表示数.‎ （2） 利用数轴可以比较数的大小.‎ ‎（3）利用数轴可以解决绝对值问题.‎ ‎【关键词】等腰三角形；勾股定理；数轴；数形结合思想；‎ ‎4.‎ ‎5. (2016浙江杭州，9，3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m＜n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则( )‎ A．m2＋2mn＋n2＝0 　　　　 B．m2－2mn＋n2＝0 ‎ C．m2＋2mn－n2＝0 D．m2－2mn－n2＝0‎ ‎【答案】C．‎ ‎【逐步提示】本题考查了直角三角形从一个顶点出发的一条射线将原三角形分成两个等腰三角形条件下的两条直角边的数量关系，解题的关键是画出符合题意的图形后，利用数形结合思想将两条直角边m、n及其代数式表示直角三角形的三边后用勾股定理建立等量关系．在解题时，首先画出符合题意的图形，利用斜边的垂直平分线与较长直角边的交点，得到一个等腰直角三角形后就产生了两个等腰三角形；再将等腰直角三角形的斜边用n－m表示；最后由勾股定理，得到m、n的等量关系，化简后即可选择正确答案． ‎ ‎【解析】如下图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝m，BC＝n，过点A的射线AD交BC于点D，且将△ABC分成两个等腰三角形：△ACD和△ADB，则AC＝CD＝m，AD＝DB＝n－m．在Rt△ACD中，由勾股定理，得m2＋m2＝(n－m)2，2m2＝m2－2mn＋n2，从而m2＋2mn－n2＝0，故选择C．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解后反思】解答本题的关键在于将题意用图形语言表示出来，所以说几何画图是学习好数学的基本功之一．在本题中，两个等三角形一定有一个是等腰直角三角形，另一个等腰三角形也一定是顶角为135°(45°的邻补角)的等腰三角形，此时利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等来画原三角形斜边的中垂线即可．在解决了画图关后，如何用m、n的代数式表示等腰直角三角形的斜边就容易得多了，最后利用勾股定理不难探索出m、n的等量关系．综上所述，对于数学的学习，尤其是几何题，将文字语言、符号语言、图形语言三者之间的相互转换，就显得尤为重要了．‎ ‎【关键词】直角三角形；等腰三角形；勾股定理 ‎ ‎ ‎(2016淅江丽水，7，3分)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为 A.13 B‎.17 ‎ C.20 D.26‎ ‎【答案】‎ ‎【逐步提示】根据平行四边形的性质得到BC及OB+OC的长,从而求得△OBC的周长.‎ ‎【解析】由题意得BC=AD=8, OB+OC=(AC+BD)=9,所以△OBC的周长=8+9=17，故选择B.‎ ‎【解后反思】平行四边形的对角线互相平分,平行四边形的对边相等,对角相等.‎ ‎【关键词】平行四边形的性质；；；；‎ ‎6.‎ ‎ (2016浙江衢州，5，3分)如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(　　)‎ A.45° 　　B.55°　　　　‎ C.65°　　　　　D.75°‎ M D C B A ‎【答案】A.‎ ‎【逐步提示】利用平行四边形和平行线的性质即求.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】在▱ABCD中，∵AD∥BC，∠A＝135°，∴∠B＝45°，又∵AB∥DC，∴∠MCD＝∠B＝45°，故选择A.‎ ‎【解后反思】利用平行四边形的性质可以寻求线的平行关系，而平行线可以转换角的关系.‎ ‎【关键词】平行线的性质、平行四边形的性质、角的计算.‎ 二、填空题 ‎1. (2016天津，18，3分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点.‎ ‎(I)AE的长等于 .‎ ‎(II)若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度尺的直尺，画出线段PQ，并简要说明P，Q的位置是如何找到的(不要求证明) .‎ ‎【答案】(I)；‎ ‎(II)如图，AC与网格线相交，得点P；取格点M，连接AM并延长与BC相交，得点Q．连接PQ，线段PQ即为所求．‎ ‎【逐步提示】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质，三角函数等知识．解题的关键是分析题意并构造出如图所示的三个全等的三角形．在解答本题时，应先从结论AP=PQ=PB出发，通过构造全等三角形，分析出点P与点Q的形成过程，由此得出用直尺画出点P与点Q的方法．‎ ‎【解析】(I)AE==．‎ ‎(II)如图，过A．Q作铅垂线，过A．B．P作水平线，构造三个全等且两直角边比为1:2的直角三角形．设BH=PK=QG=a，则QH=PG=AK=2a．则①BN=BH+PG+PK=a+2a+a=4a；②QR=QG+AK=a+2a=3a；③AR=KP+PG=a+2a=3a．‎ 在网格中，∵BN=6，BN=4a，∴a=1.5，∴AK=2a=3，过点K的水平线与AC的交点即为点P．‎ ‎∵QR=AR=2a，∠ARQ=90°，∴∠RAQ=45°，∴点Q在AM的延长线上，由此可确定点Q．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解后反思】在解答有关格点的问题时，应注意分析已作图形的特点，通过逆推找出用于直尺作图的网格点或直线的交点，从而得出作图的过程．‎ ‎【关键词】 勾股定理；矩形的性质；全等三角形的性质；格点作图；‎ ‎2.(2016浙江舟山，16，4分)如图，在直角坐标系中，点A．B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【逐步提示】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意能将点Q运动的总路程正确分解成几段路径之和. 根据已知条件在Rt△AOB中求出OB=，AB=2. 设AB的中点为C，当点P运动一周时，点Q运动的总路程可以分解为点P从“O→B”、“ B→C”、“C→A”、“ A→O”四段路径之和.‎ ‎【解析】∵A(－1，0)，∴OA=1.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴AB=2，OB=.设AB的中点为C.当点P从点O→B运动时，点Q运动的路径长(自右到左)为；当点P从点B→C运动时，点Q运动的路径长(自左到右)为1；当点P从点C→A运动时，点Q运动的路径长(自右到左)为2－；当点P从点A→O运动时，点Q运动的路径长(自左到右)为1；因此当点P运动一周时，点Q运动的总路程为+1+2－+1=4，故答案为4 .‎ ‎【解后反思】本题的难点是点P在B→A运动过程中，点Q运动的路径长，化解该难点的方法一是抓住“AB的中点C”这个特殊的零界点，而是关注点P到达A．C．B这三个特殊点时，线段AQ相应的长度，由此可确定点Q运动的路径长.‎ ‎【关键词】特殊角三角函数值的运用；点的位置的确定；实验操作题型；动线题型 ‎ ‎ ‎3.‎ ‎（2016四川省广安市，24，8分）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，画四种图形，并直接写出其周长（所画图形相似的只算一种）.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ 周长＝ 周长＝ ‎ ‎ ‎ 周长＝ 周长＝ ‎ ‎【逐步提示】本题考查了直角三角形的画法及勾股定理的运用，解题的关键是利用格点画出90°角.本题中，可以画出的直角三角形的两条直角边可以有以下几种关系：两直角边相等、一条直角边等于另一条直角边的2倍、一条直角边等于另一条直角边的3倍、一条直角边等于另一条直角边的4倍等. 【详细解答】解：第一种（四选一）： ‎ 周长＝ 周长＝ 周长＝ 周长＝ ‎ 第二种（二选一）：‎ 周长＝ 周长＝ ‎ 第三种： 第四种： 第五种： ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 周长＝ 周长＝ 周长＝ ‎ ‎【解后反思】（1）在网格中通过画两个45°角的和画出直角；（2）相同边长的正方形网格，如果线段在网格线上，可以通过数网格得到线段的长度，如果线段不在网格线上，还需要结合勾股定理解决问题．‎ ‎【关键词】直角三角形 ；勾股定理；网格数学题型 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费