知识点026 直角三角形、勾股定理及逆定理2016.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. （ 2016安徽，10，4分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6，BC=4.P是△ABC内部的一个懂点，且满足∠PAB=∠PBC.则线段CP长的最小值为（ ）‎ A. B‎.2 C. D.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【逐步提示】先根据三角形内角和和已知条件求出∠APB=900,并根据圆周角定理判断出动点P的活动轨迹，把问题转化为圆外一点与圆上动点的最值问题，最后根据勾股定理即可求解. 【详细解答】解：如图，∵AB⊥BC,∴∠ABP+∠CBP=900,∵∠CBP=∠BAP,∴∠ABP+∠BAP=900,∴∠APB=900,∴点P在以AB为直径的⊙E落在△ABC内部的部分，当点C,P,E在一条直线上时，CP取最小值，此时由勾股定理得CE==5，CP=CE-PE=5-3=2.，故选择B . ‎ ‎【解后反思】在动态问题中求两点之间距离的最值问题，一般应先确定动点的活动规律，再运用相关知识求解，此类问题与圆结合的较多. 【关键词】最值问题，圆的性质，勾股定理，动态问题 ‎2. （ 2016江苏省连云港市，7，3分）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为、、；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为、、．其中，，，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【逐步提示】本题考查了勾股定理的应用，找出这些面积之间的关系是解题的关键．先根据等边三角形的面积公式和扇形的面积公式，得出，，之间的关系以及，，之间的关系，最后可得出结论．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 【详细解答】解：设直角三角形的三边长为a，b，c；则，，，∵，∴；‎ 设图2中的扇形的圆心角为，则，，，同样得到，∴，故选择C ． 【解后反思】由于等边三角形的面积是与边长的平方成正比例的，扇形在圆心角相同的情形下也是与半径即边长的平方成正比例的，而勾股定理又是与边长的平方有关的，于是可得出以及之间的关系，从而使问题得以解决． 【关键词】勾股定理；等边三角形的面积；扇形的面积；；‎ ‎3. （2016江苏省无锡市，10，3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B‎1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（ ）‎ ‎ A． B． C．3 D．‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【逐步提示】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理以及中位线等，解题的关键是构造出求A1D边长所需的直角三角形，本题的思路是要求A1D的长度，过点D作DE⊥A1B，求出A1E和DE，利用勾股定理可求出A1D的长度，可先证明△ACA1、△BCB1为等边三角形，再利用中位线和等边三角形的性质求出A1E和DE的长．‎ ‎【详细解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴∠A＝60°，AB＝4，‎ ‎∵CA＝CA1，∴△ACA1为等边三角形，∴∠A1CA＝∠CA1B1＝60°，AA1＝2，‎ ‎∴A1B1∥AC，∴A‎1F是△ABC的中位线，即A‎1F＝AC＝1，‎ ‎∵∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∴∠BCB1＝∠ACA1＝60°，‎ ‎∵CB＝CB1，∴△BCB1为等边三角形，∵F为BC中点，‎ ‎∴B‎1F为等边△BCB1的高，∴B‎1F＝＝3，‎ 过点D作DE⊥A1B，∵D为BB1的中点，DE∥BF，∴E为B‎1F的中点，‎ ‎∴EF＝1.5，DE＝BF＝，‎ 在Rt△A1DE中，A1D＝＝，故选择A .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 E F ‎【解后反思】本题解题思路，求“斜”线长，常考虑构造直角三角形，本题有两个中点，点A1和点D，与中点想中位线也是常用思路，总之本题综合了好几个知识点，平时多积累解题经验特别重要．‎ ‎【关键词】勾股定理；等边三角形的性质；中位线；旋转；转化思想；好题；‎ ‎4. （2016江苏省宿迁市，7，3分）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（ ）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎ ‎ ‎ （第7题图）‎ ‎【答案】B ‎【逐步提示】根据翻折前后对应的线段相等，可以知道AB=BF，又M为BC中点，故BM=1，在直角△BMF中，利用勾股定理即可求出FM的长． 【详细解答】‎ 解：∵四边形ABCD是正方形 ‎∴AB=BC=2‎ ‎∵M、N是一组对边的中点 ‎∴ MN⊥BC，且BM=1‎ ‎∵△BEF是由△BEA翻折得到的，‎ ‎∴AB=BF 在Rt△BFM中，FM=，故选择B ． 【解后反思】折叠问题是属于轴对称变换，折叠后图形的形状和大小不变，三角形折叠后得到的三角形与原三角形全等，对应边和对应角相等。勾股定理是求线段长度的常用方法，当在一个直角三角形中知道关于边的两个条件，即可使用勾股定理求出直角三角形的各边长，要熟练掌握． 【关键词】 正方形的性质；翻折；勾股定理；；‎ 二、填空题 ‎1. （ 2016安徽，14，5分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论：①∠EBG=450；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=S△FGH；④AG+DF=FG.其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）‎ ‎【答案】①③④.‎ ‎【逐步提示】由折叠得到相等的角和相等的线段，结合矩形的性质可求∠EBG的度数；在Rt△DEF和Rt△FGH中根据勾股定理建立方程分别求出DE,GH,FG的长，根据相似三角形的判定方法对②进行判断，根据三角形面积公式对③进行判断.④可以根据各线段的长度直接进行判断. 【详细解答】解：由折叠知∠ABG=∠FBG,∠FBE=∠CBE,∴∠EBG=∠ABC=450,①正确；又BC=BF=10，由勾股定理求得AF==8，DF=2，设CE=EF=x,由勾股定理得x2=22+(6-x)2,x=,DE=;又AB=BH=6，HF=4，设AG=GH=y,由勾股定理y2+42=(8-y)2,y=3,GF=5，∵,∴△DEF与△ABG不相似，②错误；S△ABG=，S△FGH==6，故③正确；AG+DF=3+2=5=FG,④正确，故答案为①③④. 【解后反思】1.凡涉及到折叠的问题，我们都找到其中的相等的角和相等的边；2.在直角三角形中，根据勾股定理若能建立关于一个未知数的方程，那么这个直角三角形的三边的长就可以分别求出来，这是我们解决直角三角形问题时常用的方法之一. 【关键词】 折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定，矩形的性质，三角形的面积 ‎2. （ 2016甘肃省天水市，16，4分）如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB翻折，点A落在A′位置，若OB＝，tan∠BOC＝，则A′的坐标为______．‎ x O C B A A′‎ y ‎【答案】(－，)．‎ ‎【逐步提示】本题是坐标系中的图形折叠问题，考查了坐标与图形的性质，主要涉及轴对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定等知识以及勾股定理的灵活运用．解题的关键是过点A′作A′E⊥OC于点E，将问题转化为求线段A′E和OE的长，然后根据第二象限的点的坐标特征得到点A′的坐标．其中最关键的是求线段A′E和OE的长．先根据OB＝，tan∠BOC＝，求出BC＝1，OC＝2．再设OC与A′B交于点F，由折叠及矩形的性质可证FO＝FB．然后设OF＝x，得FB＝x，CF＝2－x，进而在Rt△BCF中运用勾股定理构建方程求出x 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 值，得到线段OF的长．最后，在Rt△OA′F中，结合A′E是斜边OF上的高及折叠产生的OA′＝OA＝1，综合运用勾定理及面积的不同表示方法就可求得A′E和OE的长．‎ ‎【详细解答】解：如图，过点A′作A′E⊥OC于点E，设OC与A′B交于点F．‎ x O C B A A′‎ y E F ‎∵OB＝，tan∠BOC＝＝，‎ ‎∴BC＝1，OC＝2．‎ ‎∵四边形OABC是矩形，‎ ‎∴∠OAB＝90°，AB∥OC，OA＝BC＝1．‎ ‎∴∠OBA＝∠FOB．‎ 由折叠，知∠OBA＝∠FBO，‎ ‎∴∠FOB＝∠FBO．‎ ‎∴FO＝FB．‎ 设OF＝x，则FB＝x，CF＝OC－OF＝2－x．‎ 在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC2＋CF2＝FB2，‎ ‎∴12＋(2－x)2＝x2，解得x＝，∴OF＝．‎ 又由折叠，知OA′＝OA＝1，∠OA′F＝∠OAB＝90°，‎ ‎∴A′F＝＝＝．‎ ‎∴S△OA′F＝OA′·A′F＝OF·A′E，‎ ‎∴1×＝×A′E，解得A′E＝．‎ 又在Rt△OA′E中，OE＝＝＝．‎ ‎∴点A′的坐标是(－，)．‎ 故答案为(－，)．‎ ‎【解后反思】本题还可以从相似三角形的角度思考解决．如在求出OF＝BF＝后，可得CF＝OC－OF＝2－＝，然后通过证明△OA′E∽△BFC，产生相似比＝＝，得到＝＝，从而求出线段A′E和OE的长．这类沿着矩形对角线翻折的矩形折叠问题中，“等腰三角形△FOB”是一个基本图形结构，必须熟识并掌握其证明方法．‎ ‎【关键词】矩形的性质；轴对称变换；锐角三角函数的定义；勾股定理；在坐标系中求解几何图形中点的坐标；方程思想；数形结合思想；面积法．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3. （ 2016湖北省十堰市，14，3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=‎2‎cm,AD=‎4cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长__________cm.‎ ‎【答案】4‎ ‎【逐步提示】本题属于平面几何的计算题，主要涉及到平行四边形的性质、勾股定理、三角形的周长等；解题的关键是△DBC比△ABC的周长长等于BD-AC;解题的思路是根据平行四边形的性质和勾股定理，分别表示出△DBC的周长与△ABC的周长，找出BD-AC的值即可. 【详细解答】解： 如图，设AC与BD交于点F,因为AB=‎2cm,AD=‎4cm,AC⊥BC，所以 AC=;因为平行四边形ABCD中，所以，AF=FC,BF=DF; BF=, BD=10;因为△DBC的周长=BD+BC+CD=10+AB,△ABC的周长=AB+BC+6,所以△DBC比△ABC的周长长4.‎ F ‎ 【解后反思】平行四边形的对边相等和对角线互相平分、勾股定理是初中数学中的重点，但是，求出△DBC比△ABC的周长长等于BD-AC，却是一个难点，需要应用整体的数学思想进行处理.解法拓展：本题也可以过点D作DE⊥BC于E，用勾股定理计算后完成. 【关键词】勾股定理; 平行四边形的性质;‎ 三、解答题 ‎1. （ 2016甘肃省天水市，25，10分）（1）（3分）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；‎ ‎（2）（3分）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；‎ ‎（3）（4分）运用（1），（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：‎ 如图3，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝‎100米，AC＝AE，求BE的长（结果保留根号）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎【逐步提示】本题是一道几何综合问题，考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形、等腰直角三角形以及正方形的性质，勾股定理．解题的关键是（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，即得图形．再利用“SAS”证得△CAD≌△EAB，即可利用全等三角形的对应边相等证得BE＝CD．（2）猜想BE＝CD，证明方法和（1）相同．（3）“按图索骥”，根据（1）、（2）的经验，以AB为直角边向△ABC外作等腰直角△ABD，∠BAD＝90°，则AD＝AB＝‎100米，∠ABD＝45°，然后利用勾股定理先在Rt△ABD中求出BD的长，再在Rt△DBC中求出CD的长，即得BE的长．‎ ‎【详细解答】解：（1）完成作图，如下图所示．‎ 证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，‎ ‎∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°．‎ ‎∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB．‎ ‎∴△CAD≌△EAB．‎ ‎∴CD＝EB，即BE＝CD．‎ ‎（2）BE＝CD．说理如下：‎ ‎∵四边形ABFD和ACGE都是正方形，‎ ‎∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．‎ ‎∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB．‎ ‎∴△CAD≌△EAB．‎ ‎∴CD＝EB，即BE＝CD．‎ ‎（3）如图，由（1）（2）的解题经验可知，以AB为直角边向△ABC外作等腰直角△ABD，∠BAD ＝90°，则AD＝AB＝‎100米，∠ABD＝45°，‎ ‎∴BD＝100．‎ 连接CD，则由（2）可得BE＝CD．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A B D ‎∵∠ABC＝45°，‎ ‎∴∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝90°．‎ 在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100，‎ ‎∴CD＝＝＝100．‎ ‎∴BE的长为‎100米．‎ ‎【解后反思】运用构造法解几何题时，可以根据题设条件或结论所具有的性质、特征，构造出满足条件或结论的一个基本图形生成新的结论，从而在条件与结论之间架起一座“桥”，把一个复杂问题的条件明朗化，使问题获得简捷明了的解答方法．（1）（2）这两问的共性是围绕等边三角形和正方形能产生含有公共顶点的两组相等的边，并在这一顶点处通过角的和差计算得到新的相等的两个角，具备“SAS”的全等三角形结构．求解第（3）问的难点是运用构造法在图3中构造出该图形结构．这对同学们的知识学习迁移的能力有较高要求．另外，尺规作图问题是近几年中考热点题型，需要同学们熟练掌握五种基本尺规作图：1. 作一条线段等于已知线段．2. 作一个角等于已知角．3. 平分已知角．4. 作一条线段的垂直平分线．5. 经过直线外一点作这条直线的垂线．‎ ‎【关键词】等边三角形；三角形全等的识别；全等三角形的性质；正方形的性质；勾股定理；画线段；综合法证明；学习型阅读理解问题；构造法．‎ ‎2. （ 2016湖南省益阳市，20，10分）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．‎ 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．‎ 根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x 作AD⊥BC于D，设BD = x，用含x的代数式表示CD 利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【逐步提示】按学习小组给出了下面的解题思路进行解答．‎ ‎【详细解答】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13， 设，∴． ‎ ‎ 由勾股定理得：， ，‎ ‎∴，解之得：．∴．‎ ‎∴．‎ ‎【解后反思】根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型是解答此题的关键． 【关键词】勾股定理；方程模型 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费