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一、选择题
1. （ 2016安徽，8，4分）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC,则线段AC的长为（ ）
A.4 B.4 C.6 D.4
【答案】B.
【逐步提示】由∠B=∠DAC,又找到公共角∠C，得出△CAD∽△CBA，通过相似三角形的对应边成比例可求AC.
【详细解答】解：∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,∴△CAD∽△CBA，∴,∵AD是中线，∴CD=BC=4，∴,解得AC=4，故选择B .
【解后反思】求三角形的边的问题，在已知角相等的条件下，一般是证明三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式来求解.
【关键词】相似三角形，相似三角形的判定与性质
2. （ 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，7，3分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A． 1：16 B．1：4 C．1：6 D． 1：2
【答案】D
【逐步提示】本题考查了相似三角形的相关性质，解题的关键是掌握两个相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，由两个相似三角形的面积比得到两个相似三角形的相似比，进而得到它们的周长比；
【详细解答】解：因为如果两个相似三角形的面积比是1：4，所以它们的相似比是1：2，而相似三角形的周长比等于相似比，即1：2，故选择D.
【解后反思】相似三角形的对应线段、周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即若相似比为k，对应线段、周长的比为k，面积比为k2；若面积比为，则相似比为．
【关键词】 相似三角形的性质；
3. （2016甘肃兰州，3，4分）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【逐步提示】先明确△ABC与△DEF的关系，再根据相似三角形的性质求对应中线的比.
【详细解答】解：因为△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质“相似三角形对应中线之比等于相似比，故选择A .
【解后反思】相似三角形常用的性质有，相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，对应中线、角平分线、高的比等于相似比.
【关键词】相似三角形；相似三角形的性质
4. （2016甘肃兰州，6，4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若,则= （ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【逐步提示】因为DE∥BC,故可根据三角形一边的平行线性质定理得出比例式，再根据比例式求得答案．
【详细解答】解：在△ABC中，因为DE∥BC，所以，又，所以=，故选择C .
【解后反思】三角形一边的平行线性质定理得出比例式一定要注意线段“对应”关系.
【关键词】平行线分线段成比例
5. （ 2016河北省，15，2分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
【答案】C
【逐步提示】本题考查了相似三角形的判定，对于选项A和B，根据“两角对应相等两个三角形相似”可进行判断；对于选项C和D，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似” 可进行判断.
【详细解答】解：如图，对于选项A，∵∠C是公共角，∠DEC=∠A=78°，∴△DEC∽△BAC，同理选项B中剪下的阴影三角形与原三角形也相似；对于选项C，∵，， ∴.但∠B与∠A不一定相等，故△BFE与△BAC不一定相似；对于选项D，∵AF=4-1=3，AD=6-4=2，∴，， ∴.又∵∠A是公共角，∴△AFD∽△ACB.综上可知，答案为选项C.
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【解后反思】1.相似三角形的判定方法有：①如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；④平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
2.在应用判定方法②时，要注意相等的角必须是成比例两边的夹角.
【关键词】 相似三角形的判定
6.（ 2016湖北省十堰市，5，5分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A/B/C/.已知OB=3OB/,则△A/B/C/与△ABC的面积比为（ ）
A/
A
B
B/
C
C/
O
A. 1:3 B.1:4 C.1:8 D.1:9
【答案】D
【逐步提示】本题以位似图形为依托，主要考查两个三角形的面积比等于它们的相似比的平方，解题的关键是找出△A/B/C/与△ABC的相似比.解题的思路：要求△A/B/C/与△ABC的面积比，就是要求△A/B/C/与△ABC的相似比，由OB=3OB/，转移到它们的相似比是1：3.
【详细解答】解：因为△A/B/C/与△ABC是位似图形，所以△A/B/C/∽△ABC ；因为OB=3OB/，所以OB/:OB=A/B/=1:3; 所以△A/B/C/与△ABC的面积比为1：9故选择D .
【解后反思】由相似比求面积的比是重点，而本题把位似图形综合在一起求面积比，却是相似形中的一个难点.解答此类问题规律：由相似比求面积比要平方，而由面积比，求相似比则要开方，取算术平方根，但要注意比的顺序.
【关键词】图形的相似 ; 相似三角形的性质; 位似图形
7. （2016湖南湘西，17，4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为
A．−3 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【逐步提示】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方得出S△ABC=9是解题关键．由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求得△ABC的面积，最后代入S△ABC－S△ADE可得结果．
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【详细解答】解：∵DB=2AD，∴AB=3AD，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴，S△ABC=9S△ADE=9，∴S四边形DBCE=S△ABC－S△ADE=9－1=8．故选择D .
【解后反思】此类问题容易出错的地方是误以为相似三角形的面积比等于相似比，或弄错相似比
【关键词】相似三角形的判定和性质
第17题图
8. (2016湖南省永州市，10，4分)圆桌面(桌面中间有一个直径为0．4m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后， 在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1．2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是( )
A．0．324m2 B．0．288m2 C．1．08m2 D．0．72m2
【答案】D
【逐步提示】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键在于掌握相似三角形的性质．根据相似三角形对应边的比等于对应高的比分别求出阴影部分大小两个圆的半径，即可得到阴影部分的面积．
【详细解答】解：设阴影部分大圆半径为R，小圆半径为r，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，则有，解得R=0．9，r=0．3，所以S阴== = 0．72m2，故选择 D．
【解后反思】相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分的比都等于相似比．
【关键词】相似三角形的性质
9.（2016江苏盐城，7，3分）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E．在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【逐步提示】
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本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．直接利用“平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似”，或设法用“两角对应相等，两三角形相似”来进行判定．
【详细解答】解：法一：在平行四边形ABCD中，∵CD∥AB，∴△AEF∽△DEC；∵AD∥BC，∴△AEF∽△BCF；法二：在平行四边形ABCD中，∵CD∥AB，∴∠D=∠EAB，∠E=∠E，∴△AEF∽△DEC；同理可证△AEF∽△BCF，故选择C．
【解后反思】熟练掌握相似三角形的判定方法是解决此类问题的关键．相似三角形的判定方法有：1．两角分别相等的两三角形相似；2．两边成比例且夹角相等的两三角形相似；3．三边成比例的两三角形相似；4. 平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似（A型或X型）．
【关键词】平行四边形的性质；相似三角形的判定
二、填空题
1. （2016贵州省毕节市，19，5分）在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝ ，AB＝3，则BD＝____________．
B
C
D
（第19题图）
A
【答案】
【逐步提示】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是能判断出用相似求解，并能正确列出比例式．题中已知一对相等的角，隐含着一对相等的角（公共角），用“AA”法可证△ABC∽△CBD，根据相似表达式写出边的比例式，再代入已知数，即可求得．
【详细解答】解：∵∠BCD＝∠A，∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD．∴，即，∴3BD＝8，∴BD＝，故答案为.
【解后反思】本题易错点是找错了对应边，导致结果错误．为此，在写相似表达式时就要像写全等表达式那样，对应顶点的字母写在对应的位置上，这样也有利于正确写出边的比例式，保证结果正确．
【关键词】 相似三角形的判定；相似三角形的性质；
2. （ 2016河南省，15，3分）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3. 点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N. 当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为__________________.
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【答案】或
【逐步提示】本题考查了是以平行线（实际是以为矩形）为图形背景进行折叠即轴对称的图形变换求长度的综合运用，解题的关键是线段三等分点的分类以及在直角三角形中利用勾股定理和相似求线段长度.思路：由线段MN的三等分点有两个分为两种情况：①MB′=2NB′=2；②NB′=2MB′=2.当①MB′=2NB′=2时，在Rt△AMB′中，由折叠可知AB′=AB=3，利用勾股定理求出AM长，再由Rt△AMB′～RtB′NE对应边成比例求出NE长最后求BE长；当②NB′=2MB′=2时，在Rt△AMB′中，由折叠可知AB′=AB=3，利用勾股定理求出AM长，再由Rt△AMB′～RtB′NE对应边成比例求出NE长最后求BE长
【详细解答】解：（1）当①MB′=2NB′时，∵AB⊥BC，AD∥BC
∴ AB⊥AD，又∵MN⊥AD
∴∠BAM=ABN=AMN=90°
∴四边形ABNM是矩形
∴MN=AB=3，BN=AM，∠MNB=90°
由折叠得∠AB′E=∠ABE=90°，AB′=AB=3
∵MB′=2NB′,∴MB′=MN=2，NB′=1
在Rt△AMB′中，AM=
易证Rt△AMB′～RtB′NE
∴∴NE==
∴BE=AN-NE==
（2）当NB′=2MB时，∵AB⊥BC，AD∥BC
∴ AB⊥AD，又∵MN⊥AD
∴∠BAM=ABN=AMN=90°
∴四边形ABNM是矩形
∴MN=AB=3，BN=AM，∠MNB=90°
由折叠得∠AB′E=∠ABE=90°，AB′=AB=3
∵NB′=2MB′,∴NB′=MN=2，MB′=1
在Rt△AMB′中，AM=
易证Rt△AMB′～RtB′NE
∴∴NE==
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∴BE=AN-NE=， 故答案为或 .
【解后反思】本题的重难点是在矩形为图形背景，在折叠变换的基础上，从线段的三等分点的角度，借助直角三角形利用勾股定理和相似求线段长度.．一般思维模式是本题型是以特殊的四边形为背景，线段的三等分点结合折叠转化条件求线段长度的题型，一般按线段的三等分点不同进行分类，折叠问题求线段长度一般是围绕关键点（B′），借助或构造直角三角形，利用勾股定理、三角函数或相似求解线段长度．注意作辅助线时一般关注已知线段或四边形边的方向，作辅助线平行或垂直于它们．
【关键词】矩形的判定和性质；三等分点；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；相似
3. （ 2016湖北省黄冈市，14，3分）如图，已知ΔABC,ΔDCE,ΔFEG,ΔHGI是四个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG,GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI,交FG于点Q,则QI= 。
【答案】
【逐步提示】本题考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键就是掌握三角形相似的判定方法，并能运用三角形相似的性质求线段的长。由四个三角形全等可知∠ACB=∠FGE,则GQ∥AC,所以,GI和CI的长度已知，只要求出AI的长度即可。求AI的长可以通过判定ΔABC和ΔIBC相似来解决.
【详细解答】解：∵ ΔABC,ΔDCE,ΔFEG,ΔHGI是四个全等的等腰三角形，
∴GI=EG=CE=BC=1， ∴BI=4，
∵AB=2， ∴， ∴ΔABC∽ΔIAB, ∴,
∴AI=4.
∵∠ACB=∠FGE, ∴GQ∥AC.
∴, ∴
故答案为 .
【解后反思】相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)④两角对应相等(AA)
【关键词】相似三角形的判定 ；相似三角形的性质；全等三角形的性质。
4. （ 2016湖南省郴州市，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，1），C（0，1），以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC
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放大为原图形的2倍，记所得矩形为．B的对应点为，且在OB的延长线上，则的坐标为 ．
【答案】（4，2）
【逐步提示】本题考查了位似图形性质，位似分为同侧位似和异侧位似，两个位似图形的对应点到位似中心的距离比就等于位似比，解题的关键是弄清是内位似还是外位似．由于本题要求B的对应点为在OB的延长线上，所以只能是一种情况----同侧位似，又知道B（2，1），位似比为2：1，便可知道的坐标．
【详细解答】解：∵矩形为与矩形OABC关于原点位似，且位似比为2，∴，∵B（2，1），且在OB的延长线，∴（4，2）.
【解后反思】位似图形是两个相似图形，且满足对应的连线交于同一个点．由于位似分为同侧位似和异侧位似，所以在求位似中心坐标和对应点的坐标时容易出现丢解的错误．如果已经确定了对应点的位置，那么情况就剩下一种，就如此题一样．如果位似图形是以原点为位似中心的，且位似比为k，那么点A（x，y）的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）．
【关键词】位似图形；相似比；
5. （2016湖南省衡阳市，16，3分）若∆ABC与∆DEF相似且面积之比为25∶16，则∆ABC与∆DEF的周长之比为 。
【答案】:
【逐步提示】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方．第一步，确定两个三角形相似，且面积比为25∶16，将25∶16化为的形式；第二步，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方”、“相似三角形周长之比等于相似比”确定答案。
【详细解答】解：∵△ABC∽△DEF，且 ，∴，故答案为:.
【解后反思】相似三角形常用性质有：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，对应中线、角平分线、高的比等于相似比．
【关键词】 相似三角形；相似三角形的性质
6.（2016湖南省衡阳市，17，3分）若圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的圆心角为90゜，则该圆锥的母线长为 。
【答案】16
【逐步提示】本题考查的是圆锥的有关计算，解题的关键是熟练地掌握扇形的弧长计算公式．第一步，先根据圆心角为90°，半径（该圆锥的母线长）为计算出圆锥的侧面展开图即扇形的弧长，第二步，再根据扇形的弧长即是圆锥的底面周长列出方程，即可得到答案．
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【详细解答】解：根据题意可知：扇形的弧长＝，解得：=16，故答案为16.
【解后反思】对于圆锥的侧面展开图的扇形半径l、扇形圆心角n和圆锥底面圆半径r，有一个著名的公式非常受用： ．
【关键词】 圆中的计算问题；圆锥的侧面积与全面积
7. （ 2016湖南省湘潭市，13，3分）如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则EF= .
A
B
C
D
E
F
a
b
c
【答案】2
【逐步提示】（1）本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理中线段的对应关系．（2）根据a∥b∥c，可得，结合已知条件中点B是线段AC的中点及DE的长度可求得EF的值.
【详细解答】解：∵a∥b∥c，∴.又∵点B是线段AC的中点，DE=2，∴，解得EF=2，故答案为2.
【解后反思】根据平行线分线段成比例定理，可以得出多组成比例线段，解题时要认准对应关系，找出已知条件最多的一组进行解答.
【关键词】行线分线段成比例定理
8. （ 2016年湖南省湘潭市，13，3分）如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE =2，则EF=________.
A
D
a
B
E
C
F
b
c
【答案】2
【逐步提示】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是掌握平行线等分线段定理中线段的对应关系．先得到一组平行线在一条直线上截得的线段相等，再得出在另一条直线上截得的线段相等，求出相应线段的长。
【详细解答】解：∵点B是线段AC的中点，∴AB=BC，又∵直线a∥b∥c，∴EF=DE=2，故答案为2 .
【解后反思】平行线等分线段定理内容：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
【关键词】相似 ；平行线等分线段定理；；；
9.（ 2016江苏省连云港市，15，3分）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于．若，则 ▲ ．
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【答案】
【逐步提示】本题考查的是有关矩形折叠的计算，利用折叠图形的性质是解题的关键．设折叠中相等的线段EH=HC=x，在Rt△DEH中利用勾股定理要求出DH的长；再利用△NEA∽△EHD求出EN的长，最后利用线段的大小求出NM的长．
【详细解答】解：由折叠可知：DE=1，HC=EH，EM=BC，
设EH=HC=x，则DH=2-x，在Rt△DEH中，∵EH2=DE2+DH2，∴，解得x=，DH=2-=，∵∠A=∠NEH=∠D，∴∠AEN+∠DEH=∠DEH+∠EHD=90°，
∴∠AEN=∠EHD，∴△NEA∽△EHD，∴，∴，∴EN=，
∴MN=EN-EN=BC-EN=2-=，故答案为．
【解后反思】有关图形的折叠计算，其解题步骤：
一折：看怎么折，折痕在那儿；
一等：看折叠图形中有那些相等的线段和相等的角，有时找到折叠图形中的对称轴，注意连接对称轴上的点与线段两个端点的距离的线段；
一设：选择相等的线段或角，并设其为x；
一勾：即用勾股定理，有时还需要作垂线构造直角三角形来进行勾股计算；
一比：即用相似三角形来求线段之间的关系，通过在有直角折叠的图形中，而用勾股定理解决不了问题时，使用；
一解：解由勾股定理或相似三角形的比形成的方程．
【关键词】图形的折叠 ；相似三角形；勾股定理；；
10. （2016江苏省南京市，15，2分）如图，AB、CD 相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD．EF 是△ODB 的中位线，且EF＝2，则AC 的长为 ▲ ．
【答案】
【逐步提示】本题考查了相似三角形的性质和三角形中位线的性质，解题的关键是运用三角形中位线的性质求得DB的长．然后再运用相似三角形的性质求得AC的长．
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【详细解答】解：EF 是△ODB 的中位线，且EF＝2，所以DB=2EF=4；因为AC∥BD，所以△OAC∽△ODB，所以AC:DB=OC:OD，即为AC:4=2:3，所以AC=．故答案为．
【解后反思】三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．而两条直线平行，可以得到成”8”字型的两个三角形相似．另外，判定两个三角形相似的方法还有：两边成比例夹角相等；三边分别成比例；两角分别相等．本题也可以先用三角形中位线的性质求的OE=1．5，再运用△OAC∽△OFE计算AC的长．
【关键词】 四边形；平行四边形；中位线；相似；相似三角形；相似三角形的判定；相似三角形的性质；
11. （2016江苏泰州，11，3分）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1:3，则△ADE与△ABC的面积之比为________.
（第11题图）
【答案】
【逐步提示】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求得结果．
【详细解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．故答案为．
【解后反思】此类问题容易出错的地方是误以为相似三角形的面积比等于相似比，而错填.
【关键词】相似三角形的判定和性质
12. （2016江苏泰州，13，3分）如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A’B’C’的位置时，A’B’恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为 cm.
（第13题图）
【答案】
【逐步提示】本题考查了平移的性质，解题的关键是如何运用平移的性质解题．根据平移的性质得A’ B’∥ AB，所以△COB’∽△CAB，结合O为AC的中点，得B’ 为BC的中点，从而求得平移的距离为B B’ .
【详细解答】解：由题意得A’ B’∥ AB，，∴△COB’∽△CAB，∴，∴，∴，故答案为 .
【解后反思】本题也可连接A A’，由A A’∥ B B’， A A’= B B’，再证明△AOA’∽△COB’， A A’= B’ C，所以B C’= B’ C= .
【关键词】平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
13. （2016江苏省宿迁市，11，3分）若两个相似三角形的面积比为1:4
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，则这两个相似三角形的周长比是 ．
【答案】1:2
【逐步提示】根据相似三角形的面积比、周长比分别与相似比的关系，即可解决问题
【详细解答】
解：因为两个相似三角形的面积比为1:4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以这两三角形的相似比为1:2 ；又“相似三角形的周长比等于相似比，所以这个两个相似三角形的周长比为1:2．故答案为 1:2 ．
【解后反思】相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；
【关键词】 相似三角形的性质
14. （2016山东滨州15，4分）如图，矩形ABCD中，，，点E在对角线BD上，且，连接AE并延长交CD于点F，则 ．
【答案】．
【逐步提示】先通过勾股定理计算出BD的长度，因为BE长度已知，可计算出DE的长度，△ABE∽△FDE，可计算出DF的长度，从而求出CF与CD的比值．
【详细解答】解：在Rt△BCD中，，，由勾股定理可得，
，∴BD=3，∵，∴DE=1.2，∵AB∥DF，∴△ABE∽△FDE，∴，，解得，，，因此，所以，故答案为．
【解后反思】通常情况下，当题目中出现平行线时，经常会用到相似三角形的相关知识；
求线段的比值问题，通常运用勾股定理或运用相似三角形对应边成比例建立线段之间的关系使问题得以解决．
【关键词】 勾股定理 相似三角形的性质 相似三角形的判定
三、解答题
1. （ 2016安徽，23，14分）如图1，A,B分别在射线OM,ON上，且∠MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP,△OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC,QD交于点R.
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①如图2，若∠MON=1500，求证：△ABR是等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ,求∠MON大小和的值.
【逐步提示】（1）由三角形的中位线性质得到线段的平行与相等关系，在△PCE和△EDQ中选用适当的方法判断它们全等；（2）①连接OR,先由线段垂直平分线的性质证得RA=RB，再证明△ABR有一个内角是600，根据等边三角形的判定方法可得出结论；②先证△PEQ是直角三角形，在利用条件△ARB∽△PEQ,得到△PEQ是等腰直角三角形，进而求出∠MON的度数，利用直角三角形的性质和勾股定理求出的值.
【详细解答】解：（1）证明：∵点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点，∴DE＝OC,DE∥OC,CE＝OD,CE∥OD,∴四边形ODEC是平行四边形，∴∠OCE=∠ODE.∵△OAP,△OBQ都是等腰直角三角形，∴∠PCO=∠QDO=900,∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO+∠ODE=∠EDQ,∵PC=AO=CO=ED,CE=OD=OB=DQ,∴△PCE≌△EDQ.…………5分
（2）①证明：如图2，连接OR,∵PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线，∴AR=OR=BR,∠ARC=∠ODR,∠ORD=∠BRD.在四边形OCRD中，∵∠OCR=∠ODR=900,∠MON=1500,∴∠CRD=300,∴∠ARB=∠ARO+∠BRO=2∠CRO+2∠ORD=2∠CRD=600,∴△ABR为等边三角形.…………9分
②如图3，由（1）知EQ=PE,∠DEQ=∠CPE,∴∠PEQ=∠CED-∠CEP-∠DEQ=∠ACE-∠CEP-∠CPE=∠ACE-∠RCE=∠ACR=900,即△PEQ为等腰直角三角形.∵△ARB∽△PEQ,∴∠ARB=900,于是在四边形OCRD中，∴∠OCR=∠ODR=900,∠CRD=∠ARB=450,∴∠MON=1350.此时P,O,B在一条直线上，△PAB是直角三角形且∠APB为直角，∴AB=2PE=2PQ=PQ,∴.…………14分
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【解后反思】1.证明两个三角形全等的方法有：SAS,ASA,AAS,SSS,本题在证明三角形全等时运用了SAS；2.证明三角形时等边三角形可证明它的三条边相等，也可以先证明有两条边相等，再证有一个角是600；3.求两条线段的比值问题，可以证它们所在的两个三角形相似、可以利用平行线、可以把它们转化到特殊的三角形（如等边三角形、等腰直角三角形）中、也可以借助某条线段作为桥梁，建立要求的两条线段与“桥梁线段”的关系，使问题得以解决.
【关键词】几何综合，全等三角形，相似三角形，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的中位线，等边三角形的判定，直角三角形的性质等
2. （ 2016福建福州，25，12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC·CD 的大小关系；
（2）求∠ABD 的度数．[来源:学科网
【逐步提示】本题主要考查的是二次根式混合运算、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理，证得△ABC∽△BDC是解题的关键．（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BC2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△ABC∽△BDC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．
【详细解答】解：（1）∵
∴
∵
∴
∴
（2） ∵
∴,即
又,
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∴△ABC∽△BDC
∴
又
∴
∴,
设，则
∴
∴
解得
∴
【解后反思】本题通过相似三角形性质列方程来解决问题，体现了数形结合、方程思想的综合应用．相似三角形的判定方法有：
（1）平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似;
（2）有两个角对应相等的两三角形相似
(3) 有两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
(4) 有三边对应成比例的两个三角形相似
【关键词】相似三角形的判定；相似三角形的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形的内角和；二次根式混合运算；方程与函数思想
3. （ 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，26，10分）如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OA2=OE·OF．
第26题图
【逐步提示】本题考查平行四边形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，解题的关键第（1）小题是熟知平行四边形的判定方法，第（2）小题是找到一个中间量架起两个比例式；（1）要证四边形ABCD为平行四边形，由已知条件EC∥AB，所以只要证AD∥CF即可，利用∠ABF作为中间量（桥梁）架起∠C与∠EDA即可证明AD∥BC，从而证得四边形ABCD为平行四边形；
（2）要证OA2=OE·OF，此为乘积式，考虑将其改为比例式，结合第（1）小题的结论EC∥AB可得；由AD∥BC可得，通过等量代换得到：即OA2=OE·OF．
【详细解答】（1）证明：∵ EC∥AB，
∴ ∠C=∠ABF． 1分
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又 ∵ ∠EDA=∠ABF，
∴ ∠C=∠EDA． 2分
∴ AD∥BC， 3分
∴ 四边形ABCD是平行四边形． 4分
（2）证明：∵ EC∥AB，
∴ . 5分
又 ∵ AD∥BC，
∴ , 6分
∴ , 7分
∴ ． 8分
【解后反思】平行四边形的判定方法有多种，究竟选用哪一个判定方法，这得依据已知条件来进行判断，这需要我们对所有的判定定理有深入了解，例如这道题已知一组对边平行，则考虑选用两组对边分别平行的四边形是平行四边形或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对于待证明的乘积式，应该考虑将其改为比例式，然后利用相似三角形或者平行线分线段成比例定理进行证明，另外，此类几何问题需要对题目图形进行整体观察、局部分析，找到起桥梁作用的中间量，例如这道题中的∠ABF和．
【关键词】平行四边形的判定和性质 ；相似三角形的判定和性质；平行线分线段成比例定理；等量代换；
4. （2016广东省广州市，23，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=－x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(，)，点D的坐标为（0，1）．
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x 轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
A
D
C
O
x
y
【逐步提示】（1）已知直线AD上的两点A，D的坐标，故可直接用待定系数法确定其解析式；（2）显然，需分∠BEC为直角或∠BCE为直角两种情况进行探讨，在利用比例式求解相关线段长度时，也可充分利用点E在直线AD上的条件，借助解析式计算坐标．
【详细解答】解：设直线AD的解析式为y=kx+b，把A(，)，D(0，1)代入，得
解得
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∴直线AD的解析式为y=x+1．
（2）当y=0时，x+1=0，解得x=－2．∴B(－2，0)，OB=2．
∵点D的坐标为（0，1），∴OD=1．
由勾股定理，得BD==．
∵y=－x+3与x轴交于点C，∴C(3，0)，OC=3．∴BC=5．
如图，△BOD与△BCE相似，有两种情况：
①当△BOD∽△BE1C时，有，即，
解得BE1=2，CE1=．
设点E1的纵坐标为h，根据三角形的面积公式，有BC·h=E1C·BE1，即5h=×2，∴h=2．
当y=2时，x+1=2，解得x=2．∴E1 (2，2)．
②当△BOD∽△BCE2时，CE2⊥x轴，此时点E2的横坐标为3，纵坐标y=×3+1=，∴E2 (3，)．
综上可知，当△BOD与△BCE相似时，点E的坐标为(2，2)或(3，)．
A
B
E2
E1
D
C
O
x
y
【解后反思】（1）确定一次函数解析式的常用方法是待定系数法，一般只需两个点的坐标即可．
（2）在平面直角坐标系中，很多几何图形与函数的综合题，最基本的方法就是由点的坐标求相关线段的长度，根据相关线段的长度表示点的坐标，这是解决该类问题最基本的途径，也是沟通解证思路的重要入手点．在此前提下，再结合几何证明与函数解析式的确定等相关知识，逐步探寻解决问题的最终途径即可．
（3）当用语言表述两个三角形相似时，如本题中“△BOD与△BCE相似”，由于未指明两三角形的对应元素，故往往需要分类讨论全面获解，这与用相似符号表示不尽相同，应引起注意．
【关键词】确定一次函数的解析式；一次函数的图象和性质；点的坐标；相似三角形的判定与性质；勾股定理；待定系数法；分类讨论思想
5. （ 2016湖北省黄石市，24，9分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝．
（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；
（2）如图2，在（1）的条件下，若＝45°，求证：DE2＝BD2＋CE2；
（3）如图3，若＝45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．
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图2
图3
图1
【逐步提示】本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，综合性较强，解题的关键是利用轴对称以及相关图形的性质和判定得到△CEF是直角三角形．（1）由轴对称变换知DE＝EF，∠DAE＝∠FAE＝，进而得到＝＝1，∠DAF＝＝∠BAC，利用“两边对应成比例且夹角相等”证明；（2）证明△ABD≌△ACF，得到BD＝CF；证明∠ECF＝90°，又由轴对称变换知DE＝EF，最后在Rt△CEF利用勾股定理证明；（3）类比第（2）问的证明思路求解．
【详细解答】解：（1）∵D，F关于直线AE对称，
∴DE＝EF，∠DAE＝∠FAE＝． [来源:学|科|网]
∴∠DAF＝＝∠BAC．
∵AB＝AC，AD＝AF，
∴＝＝1．
∴△DAF∽△BAC．
（2）∵∠DAF＝＝∠BAC，
∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF．
又∵AB＝AC，AD＝AF，
∴△BAD≌△CAF．
∴BD＝CF，∠ACF＝∠ABD．
∵∠BAC＝＝2×45°＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝45°．
∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝90°．
∴EF2＝EC2＋CF2．
∵BD＝CF，DE＝EF，
∴DE2＝EC2＋BD2．
（3）还成立．
证明：如图，∵D，F关于直线AE对称，
∴AD＝AF，DE＝EF，∠DAE＝∠FAE＝．
∴∠DAF＝＝∠BAC．
∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠CAF＝∠BAD．
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又∵AB＝AC，AD＝AF，
∴△BAD≌△CAF．
∴BD＝CF，∠ACF＝∠ABD
∵∠BAC＝＝2×45°＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝45°．
∴∠ECF＝180°－∠ACB－∠ACF＝90°．
∴EF2＝CF2＋CE2．
∵EF＝DE，CF＝BD，
∴DE2＝BD2＋CE2．
【解后反思】此题属于结论探究题，也是动点题型．由于点的位置的变化，导致图形变化，但“变化之中有不变”，结论始终成立．一般地，这类问题的一个重要特点是：解题思路具有关联性，即解题方法类似，这是一个重要的解题经验．本题第（2）问的解题方法可用于解答第（3）问．
.【关键词】轴对称变换；等腰三角形的性质；全等三角形；勾股定理．
6.（2016湖北宜昌，23，11分）在 △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10．D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B，C不重合）．以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比），【版权所有：21教育】
EF∥BC．
（1）求∠D的度数；
（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH，
①如图1，连接GH，AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；
②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求的值．
（第23题图1） （第23题图2供参考用） （第23题图3供参考用）
【逐步提示】本题考查了直角三角形的判定，正方形判定，相似三角形的性质与判定，函数最值问题等，解题的关键是掌握直角三角形、相似三角形的判定与性质，矩形、正方形等知识的综合运用，结合题意进行线段、数量与面积的等量转化，构建方程求解．
【详细解答】解：（1）∵AB2+AC2=62+82=102=BC2
∴∠CAB=90°
又∵△DEF∽△ABC
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∴∠BAC＝∠D=90°
(2) ①四边形AGDH是正方形。
证明：如图1，延长ED交BC于点M，延长FD交于BC于点N
∵△DEF∽△ABC
∴∠B＝∠E
又∵EF∥BC
∴∠B＝∠EMC
∴EF∥BA
∴∠E＝∠EMC
∴∠B＝∠EMC
∴ED∥BA
同理FD∥AC
∴四边形AGDH是平行四边形。
又∵∠D=90°
∴四边形AGDH是矩形。
又AD⊥GH
∴四边形AGDH是正方形。
②当D点在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大
其理由是：如图2，点D在内部时，延长DGD到,过作M⊥AC于点M，则四边形GMA面积大于矩形ADH的面积。
∴当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大
按上述理由，只有当D点在BC边上时，面积才有可能最大。
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如图3，D在BC上时，易证明DG∥AC，
∴△DBG∽△ABC，
∴,即
∴，所以AH=8-
∴
当AG=时，最大，此时DG=AH=4.
即当AG=3, ＡＨ＝４，最大,
在Rt△BGD中，BD==5则DC=BC-BD=5
即D为BC上的中点时，最大,
∴又在Rt△ABC中，AD==5
∴PA=AD=5
延长AP交BC于点Q，
∵EF∥BC,QF⊥EF
∴QP⊥BC
∴QP是EF、BC之间的距离
∴D是EF的距离为PQ的长。
在Rt△ABC中，,
∴AQ=4.8
又△DEF∽△ABC
∴
【解后反思】（1）判定两个三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS，判定两个直角三角形全等还有方法HL，应根据具体条件灵活选择适当的判定方法，同时注意挖掘图形中的隐含条件，如公共角、公共边、对顶角、角的和差等．（2）判定一个四边形是正方形有三种方法：一是证有一个角是直角，有一组邻边相等，且是平行四边形；二是证有一个角是直角，且是菱形；三是证有一组邻边相等，且是矩形．（3）相似三角形的判定方法有：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或延长线），所截得的三角形与原三角形相似；②两角分别相等的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似.（4）
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相似三角形的对应高之比，对应角平分线之比，对应中线之比，周长之比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
【关键词】全等三角形；矩形的判定；正方形的判定；相似三角形的判定与性质
7. （ 2016湖南省郴州市，26，12分）如图1，矩形ABCD中，AB＝7cm，AD＝4cm，点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且DF＝acm，点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm／s的速度运动．连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE的面积为y．当0≤t≤1时，△PAE的面积y（）关于时间t（s）的函数图象如图2所示．连结PF，交CD于点H．
（1）t的取值范围为 ．AE＝ cm；
（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM．当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；
（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1cm／s的速度运动．如果P、Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动．连结PQ、QH，若cm，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由．
【逐步提示】本题考查的是矩形为背景下的动点问题，翻折问题．解题的关键是巧妙的运用相似三角形，寻找线段间的数量关系和比例关系．（1）由于点P在AB边上运动，且速度为2cm／s，即0≤2t≤7，可以确定t的取值范围；结合0≤t≤1时，图2的函数图象，能得到y与t的函数关系式，因为，即y＝，可以求出AE的长．
（2）将△HDF沿线段DF进行翻折，可得到HD＝DM，若四边形PAMH为菱形，则有AP＝AM＝MH＝2DM，因为AD＝4，∠ADM＝90°，由勾股定理可以求出DM，即可求出AP，又因为AP＝2t，即可列式求出t值．
（3）因为△PQH若构成直角三角形，则可能有∠PQH＝90°，或∠PHQ＝90°，每种情况下都可构造“一线三等角”证明相似．由于Q比P晚走1s，所以EQ＝t－1，所以QD表示为4－t，因为知道cm，所以DH也可以用“A”字型相似表示出来，写出正确的比例式就可计算出每种情况下的t值了．
【详细解答】解：（1）∵P在边AB上运动，速度为2cm／s，∴0≤2t≤7，∴0≤t≤；
∵由图2可得当0≤t≤1时，y＝t，∵，∴y＝，即t＝，∴AE＝1．
（2）∵将△HDF沿线段DF进行翻折得到△MDF，∴HD＝DM＝，又∵四边形PAMH为菱形，∴AP＝AM＝MH＝2DM，∵AD＝4，∠ADM＝90°，∴在Rt△ADM中，，∴，∴DM＝，∴AP＝2t＝，
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∴t＝．
（3）∵P先出发1s后Q再从E出发，∴AP＝2t，EQ＝t－1，∴QD＝4－1－（t－1）＝4－t．∵四边形ABCD是矩形，AB∥CD，∴△FDH∽△FAP，∴，∴，
∴．由题意可知，若△PQH为直角三角形，则有两种情况：∠PQH＝90°，或∠PHQ＝90°．当∠PQH＝90°时，∵∠A＝∠QDH＝90°，∴∠APQ＋∠AQP＝90°，∵∠AQP＋∠DQH＝90°，∴∠APQ＝∠DQH，∴△APQ∽△DQH，∴，∴，∴t＝2；．当∠PHQ＝90°时，过P作PM⊥CD于点M，同理可证△PMH∽△HDQ，∴
，∵PM＝AD＝4，∴，解得．∴当t＝2或时△PQH为直角三角形．
【解后反思】动点问题本身就是初中数学的一个难点，根据运动的路径判断取值范围较为常见，要认真审题，看在哪些线段上运动，由动点和函数结合的题，往往求出的解析式是分段函数．此题还体现了一线三等角的构造，这是解决相似三角形时常用的方法．体现了数学中的转化思想、分类讨论思想．
【关键词】 菱形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；动点题型
8. （ 2016湖南省怀化市，21，8分）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上.已知BC＝40 cm，AD＝30 cm .
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积.
【逐步提示】根据题意，运用相似三角形的判定与性质，此时可解.
（1）根据正方形的对边平行，可得△AEH∽△ABC；
（2）利用相似三角形对应边成比例列式，解之可得正方形EFGH的边长，进而得到正方形的面积.
【详细解答】解：（1）∵四边形EFGH是正方形，
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∴EH∥FG，EF＝FG＝GH＝EH，
∴AEH∽△ABC；
（2）如图，HE与AD交于点P，
由（1）知AEH∽△ABC，
∴.
∵AD是BC边上的高，
∴四边形EFDP是矩形，
∴PD＝EF.
∵EF＝FG＝GH＝EH，
∴AP＝AD－PD＝AD－EF＝AD－EH.
∴.
解得EH＝( cm).
∴EH2＝()2＝ （cm 2）.
∴这个正方形的边长为 cm，面积为 cm 2.
【解后反思】此题主要考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.此题的易错点是列比例式时，比例线段不对应.
【关键词】相似三角形的应用 ；正方形的性质
9.（2016湖南省湘潭市，21，6分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD、OB.
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径.
A
B
C
D
O
E
【逐步提示】（1）根据同弧所对的圆周角相等，可以得到这两个三角形有两对角相等，然后根据有两角对应相等的两个三角形相似证明即可.
（2）根据垂径定理，可以证明E为AB的中点，设⊙O的半径为r，则OE=r-2，根据勾股定理可得一个关于r的方程，解方程即可.
【详细解答】解：（1）根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠A=∠D，∠C=∠B，∴△AEC∽△DEB.
（2）∵CD⊥AB，∴BE==4，设⊙O的半径为r，则OE=r-2，于是，在Rt△OEB中，有，解得，即⊙O的半径为5.
【解后反思】已知弦的长和弓形的高，求圆的半径，是垂径定理常见的题型，方法是设出圆的半径，利用勾股定理建立方程求解.
【关键词】圆周角；垂径定理；勾股定理；解方程；相似三角形的判定
10. （2016湖南省湘潭市，25，10分）如图，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF
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的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F.
C
D
A
B
G
E
F
（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；
（2）知识探究：
①如图乙，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；
②在顶点G的运动过程中，若，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；
（3）问题解决：
如图丙，已知菱形边长为8，BC=7，CF=，当t＞2时，求EC的长度.
C
D
A
B
（G）
E
F
C
D
A
E
F
G
B
C
D
A
E
F
G
B
图甲
图乙
图丙
【逐步提示】（1）易证△ABC和△ACD都是等边三角形，然后利用ASA证明△ABE和△ACF全等，从而证明EC+CF=BC；（2）①当G在AC的中点时，EC和CF都缩小到原来的一半，于是EC+CF=BC；②当时，，于是EC和CF都缩小到原来，于是EC+CF=BC；（3）利用边长是8、BG=7，计算出AG的长，从而计算出t的值，求出EC+CF的长度，减去CF的长度，即可得到EC的长度.
【详细解答】（1）∵四边形ABCD为菱形，且∠BAD=120°，∴∠B=60°，易证△ABC与△ACD都是等边三角形，且它们全等，于是∠ACF=60°，∵∠BAE+∠EAC=∠EAC+CAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴BE=CF，∴EC+CF=BC.
（2）①EC+CF=BC；②EC+CF=BC.
（3）如图丙，作BH⊥AC于H，易证H是AC中点，即AH=4，且HB=4，∵BG=7，∴=1，∴GC=4-1=3，∴t=，根据第（2）小题的结论，有EC+CF=×8=3.
【解后反思】灵活地掌握菱形的性质和等边三角形的判定是解决本题的突破口，另外相似的意识、位似的意识，在本题中也得到充分的体现.
【关键词】
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全等三角形的识别；等边三角形的判定；菱形的性质；勾股定理；三角形全等的识别；全等三角形的性质；动点题型；相似多边形的性质
11. （ 2016年湖南省湘潭市，21，6分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD、OB。
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径。
A
C
O
E
D
B
【逐步提示】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握与圆有关的性质.
（1）先寻找两个三角形相似的条件：一对对顶角，还有一对同弧所对的圆周角；（2）由CD⊥AB，运用垂径定理求出AE、BE的长，再由（1）中的相似求出CE的长，从而求出⊙O的直径。
【详细解答】解：（1）∵，
∴∠C＝∠DBE，在△ACE和△DEB中，
,
∴△ACE∽△DEB；
（2）∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径，
∴BE＝CE=AB＝4，∵△ACE∽△DEB∴，即，∴CE=8，∴CD=10，⊙O的半径为5.
【解后反思】在解题中，通过寻找两个角相等来证明两个三角形相似的居多，。利用“同弧或等弧所对的圆周角相等” 是圆中常见寻找等角的方法；在涉及圆的性质问题时，通常是运用垂径定理或圆周角定理得到相等的角和线段的相等或垂直关系，使问题得以解决。另解：设OB＝x，则OE＝OD－DE＝x－2，根据勾股定理得：（x－2）2＋42＝x2，解得：x＝5，即⊙O的半径为5.
【关键词】圆 ；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理；相似三角形；
12. （ 2016湖南省益阳市，22，14分）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD 的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．
（1）计算矩形EFGH的面积；
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．
图①
图②（备用）
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图③
【逐步提示】（1）先运用直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半、直角三角形中斜边上的路线等于斜边的一半和三角形中位线性质求得，再在中求出∠ADC=60°，在求出GF，最后可求矩形EFGH的面积；
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．我们发现：在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分为三角形或直角梯形．可设矩形移动的距离为则，分矩形与△CBD重叠部分为三角形或直角梯形两种情况求出矩形平移的距离
（3）先在22题解图3确定旋转角的位置，再作于，在Rt△H2QG1中运用勾股定理求出DQ的值，最后由锐角三角函数的定义求出的值．
22题解图1
【详细解答】解：（1）如22题解图1，在中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2， 又∵D是AB的中点，∴AD=1，．
又∵EF是的中位线，∴，
在中，AD=CD, ∠A=60°，∴∠ADC=60°．
在中，60°，
∴矩形EFGH的面积．
（2）如22题解图2，设矩形移动的距离为则， 当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，则， ， ∴．（舍去）．
22题解图2
当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则，
重叠部分的面积S=, ∴．
即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是．
（3）如22题解图3，作于．
22题解图3
设，则，又，．
在Rt△H2QG1中， ，
解之得（负的舍去）．
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∴．
【解后反思】（1）本题综合考查了在运动背景中考查矩形矩形与△CBD重叠部分的面积变化情况，平稳与旋转的性质、解直角三角形和图形运动中特殊位置等知识，解题的关键是准确把握图形中运动变化中的特殊位置应用图形的性质解决相关问题．此外，这类问题往往由于图形变化的位置不确定，需要结合图形运用分类讨论思想逐一分析所有可能的结果．
（2）图形的平移、旋转、翻折变换是全等变换，变换不改变图形的形状和大小，解决此类问题的时候，要紧紧抓住图形变换前后的不变量来解决问题；（2）求线段的长，常根据题中的条件，利用勾股定理或锐角三角函数或相似三角形的性质构造方程模型求解．
【关键词】直角三角形性质；三角形的中位线定理；三角形、矩形、直角梯形的面积；锐角三角函数的定义；图形平移与旋转的特征
13. (2016湖南省永州市，27，12分)问题探究：
1．新知学习
若把将一个平面图形分成面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”(例如圆的直径就是圆的“面径”)
2．问题解决
已知等边三角形ABC的边长为2．
(1)如图一，若AD⊥BC，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；
(2)如图二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；
(3)如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点(0
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