知识点038 相似和位似2016A.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. (2016山东威海，17，3)如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，则点B的对应点B'的坐标为 .‎ ‎ ‎ ‎【答案】(4，3)或(-8，-3)‎ ‎【逐步提示】先分别求得点A、B的坐标，再以点A为位似中心画出△BOC的位似图形△B'O'C'，有两种情况，再根据位似图形的特征确定点B′的纵坐标，进而求得点B的对应点B'的坐标。‎ ‎【详细解答】解：由题意得点A(-2，0)，点B(0，1)。又∵△BOC与△B'O'C'的相似比为1:3，∴点B′(x，3)或(x，-3)。∵点B′(x，3)或(x，-3)在直线y=x+1上，∴B′坐标为(4，3)或(-8，-3)，故答案为(4，3)或(-8，-3).‎ ‎【解后反思】‎ ‎【关键词】一次函数；位似图形；相似比；分类讨论；‎ ‎2. （2016山东东营，8，3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)、B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）‎ ‎ A．(－1，2) B．(－9，18) ‎ ‎ C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】本题考查位似与坐标，明确有两种情况，然后分别求出坐标． 【详细解答】解：分情况讨论：①若点A与其对应点A′在O的同侧，则点A′的坐标为（－3 ，6 ），即A′（－1,2）；②若点A与其对应点A′在O的两侧，则点A′的坐标为（－3，6），即A′（1,－2）．故选D． 【解后反思】解答本题易出现两处错误：一是漏解，忽视两种情况的存在；二是用反相似比．一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【关键词】位似与坐标 ‎3. ．（2016山东菏泽，7，3分）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′= A′C′=3，若∠B＋∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（ ）‎ A．25:9 B．5:3 C．: D．5:3‎ A ‎ B ‎ C ‎ A′ ‎ B′ ‎ C′ ‎ ‎【答案】A ‎【逐步提示】由等腰三角形△ABC与△A′B′C′的底角互余，启发我们作出它们底边上的高，可得两对相似三角形，进而利用相似三角形的性质可求△ABC与△A′B′C′的面积比．‎ ‎【详细解答】解：分别作AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′，则∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴∠B＋∠BAD=90°．又∵∠B＋∠B′=90°，∴∠BAD=∠B′，∴△ABD∽△B′A′D′，∴S△ABD:S△B′A′D′=AB2:A′B′2=25:9，∴S△ABD=S△B′A′D′．∵AB=AC，A′B′= A′C′，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，∴∠C＋∠C′=90°．同理，可得△ACD∽△C′A′D′，∴S△ACD:S△C′A′D′=AC2:A′C′2=25:9，∴S△ACD=S△C′A′D′．于是S△ABC=S△ABD＋S△ACD=S△B′A′D′＋S△C′A′D′=S△A′B′C′，∴S△ABC: S△A′B′C′=25:9，故选择A．‎ A ‎ B ‎ C ‎ A′ ‎ B′ ‎ C′ ‎ D′ ‎ D ‎ ‎【解后反思】（1）求两个三角形的面积比，常用的方法是：‎ ‎①若两个三角形相似，那么它们的面积比等于相似比的平方；‎ ‎②两个三角形对应底上的高相同或相等，则根据三角形的面积公式可得面积比等于底之比．‎ ‎（2）两角互余或互补的性质，直角三角形的角的特征，三角形的外角性质，以及与圆有关的角的性质，是我们构造相似三角形解决相关问题的重要依据．‎ ‎【关键词】直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质 ‎4. （ 2016山东泰安，20，3分）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD＝60°，PD交AB于点D．设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A D B P C 第20题图 O x y ‎2‎ ‎4‎ ‎-1‎ A D O x y ‎2‎ ‎4‎ ‎-1‎ B O x y ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ O x y ‎1‎ C ‎【答案】C ‎ ‎【逐步提示】本题考查了相似三角形的判定及性质、二次函数图象，解题的关键是通过相似三角形的性质得出关于x的解析式．由正△ABC可知，∠B＝∠C＝60°，又知道∠APD＝60°，可以看出是“一线三等角”的类型．所以可以通过两角对应相等来证明△BPD∽△CAP，得到对应线段成比例，因而可以得到y与x的函数关系式，通过关系式并结合所给图象作出选择． 【详细解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∵∠BPD＋∠APD＝∠C＋∠PAC，∴∠BPD＝∠PAC，∴△BPD∽△CAP，∴．∵BP＝x，BD＝y，∴PC＝4－x，∴，∴（0＜x＜4）．由函数关系式可知该函数是二次函数，故A和B选项错误，又∵a＝＜0，∴抛物线的开口向下，故D选项错误．故答案为C . 【解后反思】本题是一道代几综合题，考查的是相似三角形中“一线三等角”的类型．这类题型一般都是通过两角对应相等来证明相似的，推导角等的时候借助于三角形外角的性质．写比例式时要注意找准对应边．另外还有熟悉我们所学过的几种函数图象的特征：正比例函数和一次函数图象是一条直线，反比例函数图象是两条双曲线，二次函数的图象是一条抛物线． 【关键词】 相似三角形的判定和性质；二次函数的图象．‎ ‎5. （ 2016山东省烟台市，7，3分）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）‎ ‎【答案】A ‎【逐步提示】直接利用坐标原点为位似中心的位似图形的性质求出AD的长，然后△OAD∽△OBG，求出AO的长，即可确定C点的坐标．‎ ‎【详细解答】解：∵正方形BEFG的边长是6，∴BE=EF=6，‎ ‎∵两正方形的相似比为1:3，∴,∴AB=BC=CD=AD=2，‎ 根据位似图形的性质可知，,即,‎ ‎∴OB=3，∴C点坐标为（3,2），故选择A .‎ ‎【解后反思】本题考查了坐标系中位似图形的坐标的确定，解题的关键是掌握以坐标原点为位似中心的位似图形的性质.解答这类问题要注意如下的问题：‎ ‎1.认真观察图形，把握图形中的隐含条件。 2. 图形的位似就是特殊的相似，位似图形的对应点和位似中心在同一直线上。 3. 位似图形有以下性质：（1）任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比：（2）当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x,y）,位似图形与原图形的位似比为k,则位似图形上的对应点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.‎ ‎【关键词】点的坐标；相似比；位似图形；正方形；数形结合的思想； ‎ ‎6.（2016山东淄博，11，4分）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D．已知l1与l2的距离为1．L2与l3的距离为3．则的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【逐步提示】本题考查勾股定理，全等三角形，相似的有关知识，解题关键是添加辅助线，将问题转化为常规几何图形问题解决. 如图添加辅助线，证得△BEC≌△CFA，即可找到解题思路. 【详细解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，垂足分别为F、E.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°.‎ ‎∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF.‎ ‎∵∠BFC=∠CEA=90°，BC=CA，∴△ACE≌△CBF.‎ ‎∴CE=BF=3，CF=AE=4.‎ ‎∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，‎ ‎∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7.‎ ‎∴AB==.‎ ‎∵l2∥l3，∴=. ∴DG=.‎ ‎∴BD=BG﹣DG=7－=.‎ ‎∴==. 故选择A.‎ ‎【解后反思】将等腰直角三角形置于平行线中，添加辅助线构造全等三角形是解题突破口.‎ ‎【关 键词】勾股定理，全等三角形，相似 ‎7. (2016新疆建设兵团，7，5分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（ ）‎ A．DE=BC B． C．△ADE∽△ABC D．S△ADE∶S△ABC=1∶2‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】本题考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握三角形相似的判定方法以及相似三角形面积比与相似比的关系．先根据D、E是中点，得到DE∥BC，然后可得△ADE∽△ABC，然后利用相似的性质分别进行判断．‎ ‎【详细解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥BC，DE=BC ‎∴∠ADE=∠B，‎ ‎∵∠A=∠A，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，故选择D .‎ ‎【解后反思】此类问题容易出错的地方是误以为相似三角形的面积比等于相似比而错选；相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；‎ ‎【关键词】 相似三角形的判定；相似三角形的性质；中位线；‎ ‎8. (2016浙江杭州，2，3分)如图，已知a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若＝，则＝( )‎ A． B． C． D．1 ‎ 第2题图 第3题图 第4题图 ‎【答案】B．‎ ‎【逐步提示】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是能利用平分线分线段成比例定理找到对应线段，列出比例式即可．‎ ‎【解析】∵a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，∴＝＝．故选择B．‎ ‎【解后反思】此类问题容易出错的地方是因找不准对应关系而出错．根据平行线分线段成比例定理，可以得出多组成比例线段，解题时要认准对应关系：如下图，已知a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，则有，，，，等等．‎ ‎【关.键词】图形的相似；平行线分线段成比例 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎9 (2016重庆A，8，4分)△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为( )‎ A. 1：2 B. 1：‎3 C. 1：4 D. 1：16 ‎ ‎【答案】C ‎ ‎【逐步提示】根据相似三角形的周长之比等于相似比直接判断. ‎ ‎【解析】∵△ABC与△DEF相似，且相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比=相似比=1：4，故选择C .‎ ‎【解后反思】在相似三角形中，对应边的比等于相似比，对应中线、对应高、对应角平分线的比等于相似比，对应周长的比也等于相似比，而相似三角形面积的比等于相似比的平方. ‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎ ‎ ‎ ‎10. （ 2016四川省巴中市，6，3分）如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（ ）‎ A.1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:1‎ ‎【答案】B ‎【逐步提示】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定及性质. 由三角形中位线定理，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质可得△ADE与△ABC的面积之比，从而得到△ADE的面积与四边形BCED的面积的比 【详细解答】解：∵点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，‎ ‎∴DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，且DE=BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积之比为1:4，‎ 从而△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为1:3，故选择B . 【解后反思】三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；平行线截三角形两边，截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 【关键词】三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质；‎ ‎11. （ 2016四川省绵阳市，11，3分）如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，则的值为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【逐步提示】本题考查了相似三角形的判定和性质．由菱形ABCD知AB∥CD，AD∥BC 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，可知图中存在多个相似三角形中的基本图形：“A”型“与”X“型．由基本图形得＝＝，所以HF＝HB①．类似地，HD＝AB，又BE＝AB，所以＝．由基本图形得＝＝，所以BG＝HB②，由①②可求的比值．‎ ‎【详细解答】解：设菱形ABCD的边长为．因为四边形ABCD是菱形，＝2，AE＝DF，所以AE＝DF＝，AF＝BE＝，AB∥CD，所以＝＝＝，所以HD＝AB＝，HF＝HB．因为AB∥CD，所以＝＝＝，所以BG＝HB．所以＝，故答案为B．‎ ‎【解后反思】（1）求线段的比通常利用平行线或相似三角形得到比例线段，然后再进行转化得到所求两线段的比．（2）遇到平行线，要联想到以下两个常用的基本图形（“A”型“与”X“型）．‎ ‎【关键词】菱形的性质；相似三角形的判定；转化思想．‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎1. (2016山东临沂，17，3分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，Bc上，DE∥BC，EF∥AB．若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【逐步提示】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质等．先证明△ADE∽△EFC，得出比例式；然后证明四边形BDEF是平行四边形，得出EF的长；最后将相关数据代入比例式求出FC的长． 【详细解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠FEC=∠A，∠AED=∠C，∴△ADE∽△EFC，∴=．又∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EF=BD=3，DE=BF=4，∵AB=8，BD=3，∴AD=5，∴=，∴FC=．‎ 故答案为. 【解后反思】相似三角形的判定方法有：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）对应角相等，对应边成比例 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ，两三角形相似（定义法）；（5）平行与三角形一边的直线和其它的两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似（平行法）．‎ ‎【关键词】平行线的性质；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质 ‎2.‎ ‎ (201 （ 2016四川乐山，13，3分）如图6，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB=___ __．‎ ‎【答案】2．‎ ‎【逐步提示】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，∴AD：AB=2：3，再由AD=4获解．‎ ‎【详细解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=2：3．∵AD=4，∴AB=6，∴DB=AB-AD=6-4=2，故答案为2．‎ ‎【解后反思】(1)利用相似三角形对应边成比例的性质是求线段长的重要方法. 运用相似求线段的长时，要首先根据相似三角形的判定条件找出相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例的性质建立比例式，通过比例式沟通已知线段与要求线段之间的关系；(2)相似三角形的基本图形，常见的有6种，图形及其关系如图所示．‎ ‎【关键词】相似三角形的判定；相似三角形的性质 ‎3. （ 2016四川省广安市，15，3分）如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为___________．‎ ‎【答案】21‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、梯形的面积公式等，解题的关键是能发现阴影部分的面积应直接用梯形的面积公式去求，而不是“大减小”、“小拼大”之类的转化法．如图，先证△ACP与△EFP全等，得PF＝PC，故PC＝CF＝4，进而得GP＝6－4＝2．再努力求出HM的长即大功告成．由题意，易知△ABM与△ACP相似，故，代入已知数据，可求得BM，进而求得HM，再由直角梯形的面积公式求得结果．‎ ‎ 【详细解答】解：由已知，在△ACP与△EFP中，∵AC＝2＋6＝8＝EF，∠APC＝∠EPF，∠ACP＝∠EFP＝90°，∴△ACP≌△EFP（AAS）．∴PF＝PC．∴PC＝CF＝4．∴GP＝6－4＝2．∵BM∥CP，∴△ABM∽△ACP．∴．∴．∴BM＝1．∴HM＝6－1＝5．∴图中阴影部分的面积为(PG＋HM)×GH＝(2＋5)×6＝21，故答案为21. 【解后反思】阴影部分是直角梯形，本题关键是求出阴影部分的上底和下底,利用全等推求上底，利用相似推求下底，难度中等．本题的已知数据设置巧妙，隐藏着证全等需要的条件．是一个不错的题目． 【关键词】 全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质；梯形的面积公式 ‎4. （ 2016四川省凉山州，17，4分）如图，的面积为12，点、分别是、边的中点，则梯形的面积为 ____________.‎ A D E B C ‎（第17题图）‎ ‎【答案】9‎ ‎【逐步提示】DF为△ABC的中位线，可知DE∥AB且 ，可知△ADE∽△ABC且相似比为 ，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 可求出△ADE的面积，用△ABC的面积减去△ADE的面积即为梯形DBCE的面积.‎ ‎【详细解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥AB且，；∴△ADE∽△ABC，∴ ，即（cm²） ，∴ （cm²）故答案为9.‎ ‎【解后反思】面积法的依据是图形整体面积都与各个部分面积之和 ‎5. （ 2016四川省绵阳市，16，3分）△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为________．‎ ‎【答案】（2，3）或（－2，－3）．‎ ‎【逐步提示】本题考查了位似的性质．由△OAB缩小为原来的，可知相似比为，利用位似图形点的坐标规律求解．‎ ‎【详细解答】解：因为△OAB缩小为原来的，所以相似比为，所以点A（4，6）的对应点A′的坐标为（×4，×6）或（×4，×6），即（2，3）或（－2，－3），故答案为（2，3）或（－2，－3）．‎ ‎【解后反思】以原点为位似中心的两个位似图形中，如果相似比为，那么点（，）的对应点的坐标为（，）（两位似图形在原点的同侧）或（，）（两位似图形在原点的两侧）．‎ ‎【关键词】在坐标系中求解几何图形中点的坐标；位似图形．‎ ‎6新疆，13，5分)如图所示，△ABC中，E、F分别是边AB．AC上的点，且满足，则△AEF与△ABC的面积比是________.‎ A E F B C ‎【答案】1:9‎ ‎【逐步提示】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．由已知的比例式可得两个三角形的对应边成比例，从而得到两个三角形相似，并且得到相似比，再由相似三角形的性质得到两个三角形的面积比．‎ ‎【解析】∵∴ ∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC 且相似比为1:3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方 得△AEF与△ABC的面积比是1:9，故答案为1:9 .‎ ‎【解后反思】1.(1)要证明两个三角形相似，最常用的方法是根据两个角对应相等来证明，然后再考虑两边对应成比例且夹角相等，最后考虑三边对应成比例.(2)通常情况下，当题目中出现平行线时，经常会用到相似三角形的相关知识.‎ ‎2. 相似三角形的对应线段、周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【关键词】相似；相似三角形；相似三角形的判定；相似三角形的性质；‎ ‎7.(2016浙江金华，15，4分)如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D,AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 . ‎ ‎ ‎ ‎【答案】2或5‎ ‎【逐步提示】认真读题，根据图形分析要使△DEB′为直角三角形，可以画出如下两种情况的图形，再分别求得BD的长. ‎ ‎【解析】因为∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定得得AB=10．要使△DEB′为直角三角形，可以画出两种情况的图形：当∠EDB′=90°时(左图)，∠B′AC=∠B′=∠B，设BD=DB′=4x,则ED=3x,tan∠B′AC= tan∠B=CE:AC=6:8 =CE:6,解得CE=,所以+4x +3x=8,解得x=2;‎ 当E与C重合时，即当∠DCB′=90°时(右图)，法一：设BD=x,则DE=CD= 8-x,EB′=CB′=AB′-AC=AB-AC=4，在Rt△CDB′中，CD2+CB′2=D B′2，所以42+(8-x)2=x2，解得x=5．法二：CB′=EB′=AB′-AC=AB-AC=4,tan∠B′= tan∠B=6:8=CD：CB=CD：4,解得CD=3,所以BD=5,故答案为2或5 .‎ ‎【解后反思】折叠前后的两个图形全等，根据题意画出满足条件的两个图形，再根据相似三角形的知识或三角函数知识求得相关线段的长度．‎ ‎【关键词】相似三角形；分类讨论；三角函数 ‎8.(2016浙江舟山，15，4分)如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是 .‎ ‎【答案】7‎ ‎【逐步提示】本题考查了相似三角形的判定方法及其性质的应用，解题的关键是正确求出的值. 由DE∥‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 AB得△CFE∽△CAB，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得的值，结合已知条件，可转化为的值，注意到△CFE、△CDE属于同高的两个三角形，它们的面积之比等于相应的底之比，由此可求出DE的长，进而求出DF的长.‎ ‎【解析】∵DE∥AB，∴△CFE∽△CAB，∴ =()2=()2=. ∵△ABC和△DEC的面积相等，∴=. 又△CFE、△CDE在DE边上的高相同，结合三角形的面积公式，得= .∵EF=9，∴DE=16，从而DF=DE－EF=10－9=7. 故答案为 7 .‎ ‎【解后反思】解决本题的两个要点：一是关注到相似三角形中的基本图形“A型”的运用；二是将相似三角形的面积之比结合已知条件转化为同高的两个三角形的面积之比.‎ ‎【关键词】相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形的面积公式.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎1. （2016山东东营，24，10分）‎ 如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90º，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF,BD⊥CF成立.‎ ‎（1）当△ABC绕点A逆时针旋转（0º