由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
第5讲 古典概型
1．(2016·唐山统考)抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1，4；4，1；2，5；5，2；3，6；6，3，共6种情况，所以向上的点数之差的绝对值为3的概率为P＝＝，故选B.
2．(2016·江西省师大附中检测)高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.五人排队，甲、乙相邻的排法有AA＝48(种)，若甲、丙相邻，此时甲在乙、丙中间，排法有AA＝12(种)，故甲、丙相邻的概率为＝.
3．(2016·洛阳统考)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，所以所求概率P＝＝.
4．(2016·亳州高三质量检测)已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.易知过点(0，0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
共4个，由古典概型知概率为＝.
5．(2016·商丘模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数， b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2＞b2的有6个基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事件的概率为＝.
6．(2016·河南省三市调研)现有3位男生和3位女生共6位同学随机站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有2位女生相邻的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.6位同学随机排成一排，有A种排法，其中男生甲不站两端，有且仅有2位女生相邻的排法分两种情况：当甲排在2或5号位置时，各有2AAA＋AA＝60种排法；当甲排在3或4号位置时，各有2AAA＋AA＝84种排法，故所求概率为＝，故选B.
7．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，现乙还有一次不少于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．
解析：由题意得，基本事件总数为10，满足要求的有8个，
所以所求概率为＝.
答案：
8．(2016·南昌一模)将a，b，c，d四封不同的信随机放入A，B，C，D 4个不同的信封里，每个信封至少有一封信．其中a没有放入A中的概率是________．
解析：将四封不同的信随机放入四个不同的信封中，每个信封至少有一封信的放法有A＝24种，其中信a放入A中的结果有A＝6种，故“信a没有放入A中”的概率为1－＝1－＝1－
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
eq \f(1,4)＝.
答案：
9．(2016·忻州高三联考)某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是________．
解析：男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是1－＝.
答案：
10．在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．
解析：点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情况，只有(2，1)，(2，2)这两种情况满足在圆x2＋y2＝9内部，所以所求概率为＝.
答案：
11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．
解：(1)由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．
使得a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3，1)、(6，2)，所以事件a⊥b的概率为＝.
(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10.
共有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)6种使得|a|≤|b|，其概率为＝.
12．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间
[10，20)
[20，30)
[30，40]
人数
(2)从得分在区间[20，30)内的运动员中随机抽取2人，
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
解：(1)4，6，6.
(2)①得分在区间[20，30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}共15种．
②“从得分在区间[20，30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种．
所以P(B)＝＝.
1．(2016·淄博一模)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.对于a与b各有6种情形，故总数为36种．
两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，故概率为P1＝＝，两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，
所以P2＝＝，
因为点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，
所以＋＜，
解得－＜m＜，故选D.
2．(2016·江苏省扬州中学模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．
解析：将一枚骰子抛掷两次共有36种结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，属于古典概型．方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2，其包含的结果有：(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(4，4)，(5，4)，(6，4)，(5，5)，(6，5)，(5，6)，(6，6)，共19种，由古典概型概率计算公式可得P＝.
答案：
3．(2016·青岛检测)某市甲、乙两社区联合举行“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人．
(1)若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；
(2)若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率．
解：(1)记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A1、B1、C1，乙社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A2、B2、C2，
则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有(A1，A2)，(A1，B2)，(A1，C2)，(B1，A2)，(B1，B2)，(B1，C2)，(C1，A2)，(C1，B2)，(C1，C2)，共9个．
其中选出的两个表演项目相同这一事件包含的基本事件有(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，共3个，所以所求概率P1＝＝.
(2)记甲社区表演队中表演跳舞的1人为a1，表演笛子演奏的2人分别为b1、b2，表演唱歌的3人分别为c1、c2、c3.
则从甲社区表演队中选2人的所有基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个．其中至少有一位表演笛子演奏这一事件包含的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共9个，所以所求概率P2＝＝.
4．已知集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}，Q＝{y|y＝2n－1，1≤n≤2，n∈N*}，M＝P∪Q.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，试计算：
(1)点A正好在第三象限的概率；
(2)点A不在y轴上的概率；
(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的概率．
解：由集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}可得P＝{－6，－4，0}，由Q＝{y|y＝2n－1，1≤n≤2，n∈N*}可得Q＝{1，3}，则M＝P∪Q＝{－6，－4，0，1，3}，因为点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，所以满足条件的点A的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6，0)，(－6，1)，(－6，3)，…，(3，3)，共25种．
(1)点A正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A正好在第三象限的概率P1＝.
(2)点A在y轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0，0)，(0，1)，(0，3)，共5种，故点A不在y轴上的概率P2＝1－＝.
(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的可能情况为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(3，1)，(1，3)，(3，0)，(0，3)，(1，1)，共8种，故点A落在区域x2＋y2≤10上的概率P3＝.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付