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专题限时集训(十九) 复数、数学归纳法
(对应学生用书第155页)
[建议A、B组各用时：45分钟]
[A组 高考题、模拟题重组练]
一、复数
1．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.
C. D．2
B [∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.]
2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
A [由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．]
3．若z＝4＋3i，则＝( )
A．1 B．－1
C.＋i D.－i
D [∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，
∴＝＝－i.]
4．设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B.
C. D．2
A [由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.]
5．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
B [∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴解得a＝0.故选B.]
6．若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i B．1－2i
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C．－1＋2i D．－1－2i
B [法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.
法二：由已知条件2z＋＝3－2i①，得2＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，的方程组，得z＝1－2i.故选B.]
7．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
【导学号：68334158】
5 2 [(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.
所以a2＋b2＝5，ab＝2.]
8．若复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，其中m是实数，则＝________.
i [由题意，得m(m－1)＝0且(m－1)≠0，得m＝0，所以z＝－i，＝＝i.
二、数学归纳法
9．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增添的代数式为________．
2(2k＋1) [假设n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3…×(2k－1)成立；那么n＝k＋1时左边应为[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k－1][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，即从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应添乘的式子是＝＝2(2k＋1)．]
10．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是________．
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 [1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，由上述式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n－1项，且第一项为n，则最后一项为3n－2，等式右边均为2n－1的平方．]
11．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
＋＋…＋＋＋>－ [观察不等式中各项的分母变化知，n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋>－.]
[B组 “8＋7”模拟题提速练]
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一、选择题
1．已知复数z＝，则z－|z|对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [∵复数z＝＝＝＋i，
∴z－|z|＝＋i－＝＋i，其对应的点所在的象限为第二象限．故选B.]
2．已知i为虚数单位，若＝，则a的值为( )
A．i B．－i
C．－2i D．2i
C [∵＝，∴a＝＝＝－2i，故选C.]
3．(2016·浙江镇海中学模拟)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
D [对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2，命题为真；对于选项B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2，命题为真；对于选项C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，所以z1·1＝z2·2，命题为真；对于选项D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，所以z≠z，命题为假．]
4．复数z＝(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数＝( )
A．－1－2i B．－1＋2i
C．1＋2i D．1－2i
A [依题意得z＝＝＝－1＋2i，因此＝－1－2i，故选A.]
5．设复数z1和z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z1＝3－2i，则z1·z2＝( )
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A．－5－12i B．－5＋12i
C．－13＋12i D．－13－12i
B [复数z1＝3－2i在复平面内对应的点为(3，－2)，其关于原点对称的点的坐标为(－3,2)，所以z2＝－3＋2i，z1·z2＝(3－2i)(－3＋2i)＝－5＋12i，故选B.]
6．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.]
7．若复数z满足(＋i)z＝3i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A.＋i B.－i
C．1＋i D．1－i
D [依题意得z＝＝＝1＋i，则复数z的共轭复数为1－i，选D.]
8．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
A [假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．]
二、填空题
9．设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的虚部为________．
－1 [∵z＝1－i(i为虚数单位)，
∴＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝－2i＝－i，故其虚部为－1.]
10．在复平面上，已知直线l上的点所对应的复数z满足|z＋i|＝|z－3－i|，则直线l的斜率为________．
－ [设z＝x＋yi(x，y∈R)，∵|z＋i|＝|z－3－i|，∴|x＋(y＋1)i|＝|(x－3)＋(y－1)i|，
∴x2＋(y＋1)2＝(x－3)2＋(y－1)2，
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∴6x＋4y－9＝0，则直线l的斜率为－.]
11．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是_____________项．
2k [f(2k)＝1＋＋＋…＋，f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此，f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．]
12．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．
[当n＝k＋1时左边的代数式是＋＋…＋＋，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是＋－＝.]
13．复数的值是________．
－1 [＝＝＝－1.]
14．已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为________．
2－i [＝(x－xi)＝1－yi，所以x＝2，y＝1.]
15．设复数z1＝3＋2i，z2＝1－i，则＝________. 【导学号：68334159】
5 [＝
＝|3＋2i＋(1＋i)|＝|4＋3i|＝5.]
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