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课时训练(八)分式方程及其应用
|夯 实 基 础|
一、选择题
1．[2017·河南]解分式方程－2＝，去分母得( )
A．1－2＝－3
B．1－2＝3
C．1－2x－2＝－3
D．1－2x＋2＝3
2．若关于x的分式方程 ＋3＝有增根，则增根为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝3 D．x＝－3
3．[2016·梅州]对于实数a，b，定义一种新运算“”：ab＝，这里等式右边是实数运算．例如，13＝＝－，则方程x(－2)＝－1的解是( )
A．x＝4 B．x＝5
C．x＝6 D．x＝7
4．[2017·乌鲁木齐]2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是( )
A.－＝5
B.－＝5
C.＋5＝
D.－＝5
5．[2016·潍坊]关于x的方程＋＝3的解为正数，则m的取值范围是( )
A．m＜
B．m＜且m≠
C．m＞－
D．m＞－且m≠－
二、填空题
6．[2017·常德]分式方程＋1＝的解为________．
7．[2017·威海]方程＋＝1的解是________．
8．若代数式与的值相等，则x＝________．
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9．[2017·攀枝花]若关于x的分式方程＋3＝无解，则实数m＝________．
三、解答题
10．解方程：
(1)[2017·眉山]＋2＝.
(2)[2017·无锡]＝.
11．[2016·岳阳]我市某学校开展“远足君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24 km，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6 h，求学生步行的平均速度是多少千米/时？
12．[2017·广州]甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．
(1)求乙队筑路的总公里数；
(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5∶8，求乙队平均每天筑路多少公里．
|拓 展 提 升|
13．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的数，如：min{3，5}＝3.按照这个规定，方程min{－2，－3}＝－的解为( )
A．－2 B．－3 C. D.
14．[2016·杭州]已知关于x的方程＝m的解满足(0＜n＜3)，若y＞1，则m的取值范围是________．
15．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图K8－1所示的两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)：
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
图K8－1
现有19张硬纸板，裁剪时，x张用A方法，其余用B方法．
(1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数．
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
参考答案
1．A [解析] ∵1－x＝－，
∴原方程可变形为－2＝－，
方程两边同时乘以最简公分母，
得：1－2＝－3，
故选A.
2．A [解析] 方程两边都乘x－1，
得7＋3(x－1)＝m.
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∵原方程有增根，
∴最简公分母x－1＝0，
解得x＝1.
当x＝1时，m＝7，符合题意．
3．B [解析] 依题意，得x(－2)＝，所以原方程化为＝－1，即＝1，解得x＝5.
4．A [解析] 设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树(1＋20%)x万棵，根据等量关系“原计划植树天数－实际植树天数＝5”可列方程－＝5，故选A.
5．B [解析] 方程化简得2x＝－2m＋9，
∴x＝.
∵方程＋＝3的解是正数，
∴－2m＋9＞0，解得m＜.
当x＝3时，x＝＝3，则有m＝，
∴m的取值范围为m＜且m≠.
6．x＝2 [解析] ①方程两边同时乘以x，得2＋x＝4；②解方程得：x＝2；③检验，原方程成立，故方程的解为x＝2.
7．x＝3 [解析] ＋＝1，－＝1，3－x－1＝x－4，x＝3.经检验x＝3是原方程的根．
8．4 [解析] 由题意得＝，两边同时乘以x(x＋2)，得6x＝4(x＋2)，解得x＝4，经检验x＝4是原分式方程的根．
9．7或3 [解析] 将分式方程化为整式方程得7＋3(x－1)＝mx，整理得x＝4，∵分式方程无解分为整式方程无解和整式方程的解为分式方程的增根两种情况，∴①当整式方程无解时，m－3＝0，即m＝3；当整式方程的解为增根时，x＝1，∴m－3＝4，即m＝7.
10．解：(1)方程两边同乘x－2，得1＋2(x－2)＝x－1，解得x＝2，经检验，x＝2是增根，∴原方程无解．
(2)方程两边都乘以(2x－1)(x＋2)，化为整式方程5(x＋2)＝3(2x－1)．解这个整式方程，得x＝13.经检验，x＝13是原分式方程的解，∴原分式方程的解是x＝13.
11．解：设学生步行的平均速度是x km/h，
则服务人员骑自行车的平均速度是2.5x km/h，
根据题意－3.6＝，解得x＝4，
经检验x＝4为原方程的解，且满足实际意义．
答：学生步行的平均速度是4 km/h.
12．解：(1)60×＝80(公里)，即乙队筑路的总公里数为80公里．
(2)设甲队平均每天筑路5x公里，乙队平均每天筑路8x公里，
根据题意，得－20＝，
解得x＝.
经检验，x＝是原方程的解且符合题意，
×8＝.
答：乙队平均每天筑路公里．
13．D
14.＜m＜ [解析] 方程组的解为根据y＞1，得2n－1＞1，解得n＞1.
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又由0＜n＜3得1＜n＜3，∵n＝x－2，∴1＜x－2＜3，即3＜x＜5，取倒数得＜＜，两边同乘2，得＜＜.又∵＝m，∴＜m＜.
15．解：(1)∵裁剪时，x张用A方法，
∴裁剪时，(19－x)张用B方法，
∴侧面的个数为6x＋4(19－x)＝2x＋76，底面的个数为5(19－x)＝95－5x.
(2)由题意，得＝，解得x＝7，
∴盒子的个数为＝30.
答：若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．
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