第七章 圆
第一节 圆的有关概念及性质
1．(2017庆阳中考)如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝( A )
A．58° B．32° C．64° D．72°
(第1题图)
(第2题图)
2．(2017兰州中考)如图，在⊙O中，＝，点D在⊙O上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝( B )
A．45° B．50° C．55° D．60°
3．(乐山中考)如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，则∠ACD＝40°，则∠CAB＝( B )
A．10° B．20° C．30° D．40°
,(第3题图)) ,(第4题图))
4．(2017泸州中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( B )
A. B．2 C．6 D．8
5．(2017新疆建设兵团中考)如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE.若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为( A )
A．12 B．15 C．16 D．18
,(第5题图)) ,(第6题图))
6．(2016唐山友谊中学一模)如图，一个宽为2 cm的刻度尺(单位：cm)，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为____cm.
7．(黑龙江中考)直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦AB所对的圆周角是__30°或150°__．
8．(巴中中考)如图所示，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝55°，则∠A＝__35°__．
,(第8题图)) ,(第9题图))
9．(2016唐山友谊中学一模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为__2__．
10．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值为____.
11．(安徽中考)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
解：(1)连接OQ.∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tanB＝，∴OP＝3tan30°＝，在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，∴PQ＝＝；
(2)连接OQ.在Rt△OPQ中，PQ＝＝，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，∴PQ长的最大值为＝.
12．(2018中考预测)已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB，CD之间的距离为( D )
A．17 cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm或7 cm
13．(聊城中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E, 连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为( B )
A．45° B．50° C．55° D．60°
,(第13题图)) ,(第14题图))
14．(杭州中考)如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A，C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则( D )
A．DE＝EB B.DE＝EB
C.DE＝DO D．DE＝OB
15．(2017盐城中考)如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若∠ACB＝70°，则∠ADB＝__110°__．
,(第15题图)) ,(第16题图))
16．(2017宜宾中考)如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果CD＝，则AD＝__4__．
17．(龙东中考)如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值为__2__．
18．(河南中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.
(1)求证：MD＝ME;
(2)填空：①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝________；
②连接OD，OE，当∠A的度数为________时，四边形ODME是菱形．
解：(1)如图所示，连接AE，BD，DE.在Rt△ABC中，点M是AC的中点， ∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA.∵四边形ABED是圆内接四边形， ∴∠ADE＋∠ABE＝180°， 又∠ADE＋∠MDE＝180°， ∴∠MDE＝∠MBA. 同理可证：∠MED＝∠MAB，∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME；
(2)①2；②60°
19．(德州中考)如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状：________；
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
解：(1)等边三角形；
(2)PA＋PB＝PC.证明：如图，在PC上截取PD＝PA，连接AD.∵∠APC＝60°， ∴△PAD是等边三角形，∴PA＝AD，∠PAD＝60°.又∵∠BAC＝60°， 则∠BAC＝∠DAB＋∠DAC＝60°，∴∠PAB＝∠DAC. ∵AB＝AC, ∴△PAB≌△DAC，∴PB＝DC. ∵PD＋DC＝PC, ∴PA＋PB＝PC；
(3)当点P为的中点时，四边形APBC面积最大．理由如下：如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E, 过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接BO.
∵S△PAB＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF，
∴S四边形APBC＝AB(PE＋CF)．∵当点P为的中点时，PE＋CF ＝PC, PC为⊙O直径， ∴四边形APBC面积最大. ∵△ABC为圆内接正三角形，∴∠BOF＝60°.又∵⊙O的半径为1，∴在Rt△BOF中，BF＝OBsin60°＝，∴AB＝2BF＝，∴S四边形APBC＝×2×＝.
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