贵阳专用2019中考数学总复习第二部分热点专题解读专题三与直角三角形相关的探究及应用针对训练.doc

1 第二部分　专题三　 1．求下列各式的值： (1)a，b，c 是△ABC 的三边，且满足 a2＝(c＋b)(c－b)和 4c－5b＝0，求 cosA＋cosB 的值； (2)已知 A 为锐角，且 tanA＝ 3，求 sin2A＋2sinAcosA＋cos2A 的值． 解：(1)由 a2＝(c＋b)(c－b)，得 c2＝a2＋b2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠C＝90°. 由 4c－5b＝0，得 b c＝ 4 5， ∴cosA＝ b c＝ 4 5，cosB＝ a c＝ 3 5， ∴cosA＋cosB＝ 7 5. (2)∵tanA＝ 3，∴∠A＝60°， ∴原式＝( 3 2 )2＋2× 3 2 × 1 2＋( 1 2)2＝ 3 2 ＋1. 2．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学 活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点 C，再在笔 直的车道 l 上确定点 D，使 CD 与 l 垂直，测得 CD 的长等于 24 米，在 l 上点 D 的同侧取点 A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°. (1)求 AB 的长；(结果保留根号) (2)已知本路段对校车限速为 45 千米/小时，若测得某辆校车从 A 到 B 用时 2 秒，这辆 校车是否超速？说明理由．(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73) 解：(1)由题意得在 Rt△ADC 中， tan30°＝ CD AD＝ 24 AD， 解得 AD＝24 3. 在 Rt△BDC 中，tan60°＝ CD BD＝ 24 BD， 解得 BD＝8 3. ∴AB＝AD－BD＝24 3－8 3＝16 3(米)． (2)∵校车从 A 到 B 用时 2 秒， ∴校车的速度为 16 3÷2＝8 3≈13.8(米/秒)．2 ∵13.8 米/秒＝49.68 千米/小时＞45 千米/小时， ∴这辆校车超速． 3．在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔 CD 的高度，他们首先在 A 处 安置测量器，测得塔顶 C 的仰角∠CFE＝30°，然后往塔的方向前进 50 米到达 B 处，此时测 得塔顶 C 的仰角∠CGE＝60°.已知测量器高 1.5 米，请你根据以上数据计算出古塔 CD 的高 度．( 3≈1.73， 2≈1.41) 解：∵∠CFE＝30°，∠CGE＝60°， ∴∠FCG＝30°，∴GC＝FG＝50 米， ∴sin60°＝ CE CG＝ 3 2 ，即 CE 50＝ 3 2 ， ∴CE＝25 3米， ∴CD＝CE＋DE＝25 3＋1.5≈44.75(米)． 答：古塔的高度约为 44.75 米． 4．某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管 AB 与支架 CD 所在直线 相交于点 O，且 OB＝OD，支架 CD 与水平线 AE 垂直，∠BAC＝30°，∠CDE＝45°，DE＝80 cm，AC＝180 cm. (1)求支架 CD 的长； (2)求真空热水管 AB 的长．(结果保留根号) 解：(1)在 Rt△CDE 中，∠CDE＝45°，DE＝80 cm，∴CD＝80×cos45°＝80× 2 2 ＝40 2 (cm)． 答：支架 CD 的长为 40 2 cm. (2)在 Rt△OAC 中，∠BAC＝30°，AC＝180 cm， ∴OC＝AC·tan30°＝180× 3 3 ＝60 3 (cm)， ∴OD＝OC－CD＝(60 3－40 2) cm， ∴AB＝AO－OB＝AO－OD＝60 3×2－(60 3－40 2)＝(60 3＋40 2) cm.3 答：真空热水管 AB 的长为(60 3＋40 2) cm. 5．(2018·梧州)随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为 开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布，为测量它的高度，测量人员在瀑 布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG＝27 m，GF＝17.6 m(注：C，G，F 三点在同一直 线上，CF⊥AB 于点 F)，斜坡 CD＝20 m，坡角∠ECD＝40°，求瀑布 AB 的高度．(参考数据： 3≈1.73 ， sin40°≈0.64 ， cos40°≈0.77 ， tan40°≈0.84 ， sin10°≈0.17 ， cos10°≈0.98，tan10°≈0.18) 　 解：如答图，过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N. 在 Rt△CMD 中，∵CD＝20 m，∠DCM＝40°， ∠CMD＝90°，∴CM＝CD·cos40°≈15.4 (m)， DM＝CD·sin40°≈12.8 (m)， ∴DN＝MF＝CM＋CG＋GF＝60 (m)． 在 Rt△BDN 中，∵∠BDN＝10°，∠BND＝90°， DN＝60 m，∴BN＝DN·tan10°≈10.8 (m)． 在 Rt△ADN 中，∵∠ADN＝30°，∠AND＝90°， DN＝60 m，∴AN＝DN·tan30°≈34.6 (m)． ∴AB＝AN＋BN＝45.4 (m)． 答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 m. 6．(2018·泸州)如图，甲建筑物 AD，乙建筑物 BC 的水平距离 AB 为 90 m，且乙建筑物 的高度是甲建筑物高度的 6 倍，从 E(A，E，B 在同一水平线上)点测得 D 点的仰角为 30°， 测得 C 点的仰角为 60°，求这两座建筑物顶端 C，D 间的距离．(计算结果用根号表示，不 取近似值)4 解：由题意知，BC＝6AD，AE＋BE＝AB＝90 m， 在 Rt△ADE 中，tan30°＝ AD AE，sin30°＝ AD DE，∴AE＝ AD 3 3 ＝ 3AD，DE＝2AD． 在 Rt△BCE 中，tan60°＝ BC BE，sin60°＝ BC CE， ∴BE＝ BC 3＝2 3AD，CE＝ 2 3BC 3 ＝4 3AD． ∵AE＋BE＝AB＝90 m，∴ 3AD＋2 3AD＝90， ∴AD＝10 3 m，∴DE＝20 3 m，CE＝120 m. ∵∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°，∠DEA＝30°，∠CEB＝60°，∴∠DEC＝90°， ∴CD＝ DE2＋CE2＝ 15 600＝20 39 m. 答：这两座建筑物顶端 C，D 间的距离为 20 39 m.