上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：压轴题专题
宝山区、嘉定区
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
在圆中，、是圆的半径，点在劣弧上，，，∥，联结.
（1）如图8，求证：平分；
（2）点在弦的延长线上，联结，如果△是直角三角形，请你在如图9中画出
点的位置并求的长；
（3）如图10，点在弦上，与点不重合，联结与弦交于点，设点与点的
距离为，△的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
图8
图9
图10
图8
25.（1）证明：∵、是圆的半径
∴…………1分
∴…………1分
∵∥
23
∴…………1分
∴
∴平分…………1分
(2)解：由题意可知不是直角，
所以△是直角三角形只有以下两种情况:
和
① 当，点的位置如图9-1……………1分
图9-1
过点作,垂足为点
∵经过圆心 ∴
∵ ∴
在Rt△中，
∵ ∴
∵∥ ∴
∵ ∴
∴四边形是矩形
图9-2
∴
∴……………2分
②当，点的位置如图9-2
由①可知，
在Rt△中，
∴
……………2分
综上所述，的长为或.
说明：只要画出一种情况点的位置就给1分，两个点都画正确也给1分.
（3）过点作,垂足为点
图10
由（1）、（2）可知，
由（2）可得：
23
∵∴……………1分
∵∥∴……………1分
又,,
∴ ∴ ……………1分
∴
∴……………1分
自变量的取值范围为……………1分
长宁区
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、BD. 已知圆O的半径长为5 ，弦AB的长为8．
（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；
（2）如图2，设AC=x，，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．
图1
图2
备用图
第25题图tututu图
23
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，
∴OD⊥AB， （2分）
在Rt△AOC中，，AO=5，
∴ （1分）
， （1分）
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则由（1）可得AH=4，OH=3
∵AC=x，∴
在Rt△HOC中，，AO=5，
∴， （1分）
∴
（） （3分）
（3）①当OB//AD时， 过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD,垂足为点F，
则OF=AE， ∴
在Rt△AOF中，，AO=5，
∴ ∵OF过圆心，OF⊥AD，∴. （3分）
②当OA//BD时， 过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，
则由①的方法可得， 在Rt△GOD中，，DO=5，
∴，，
在Rt△GAD中，，∴ （ 3分）
23
综上得
崇明区
25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）
如图，已知中，，，，D是AC边上一点，且，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），，AE与BD相交于点G．
（1）求证：BD平分；
（2）设，，求与之间的函数关系式；
（3）联结FG，当是等腰三角形时，求BE的长度．
（备用图）
A
B
C
D
（第25题图）
A
B
C
D
G
E
F
25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
（1）∵， 又∵
∴ ∴ ……………………………1分
∵ ∴
又∵是公共角 ∴ …………………………1分
23
∴，
∴ ∴ ∴ ………………………1分
∴ ∴平分 ………………………1分
（2）过点作交的延长线于点
∵ ∴
∵， ∴ ∴ ……1分
∵ ∴ ∴ ∴…1分
∵ 即
∵ ∴ 又∵
∴ ……………………………………………………………1分
∴ ∴
∴ …………………………………………………………1分
（3）当△是等腰三角形时，存在以下三种情况：
1° 易证 ，即，得到 ………2分
2° 易证，即， …………2分
3° 易证 ，即 ………2分
23
奉贤区
25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分4分）
已知：如图9，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结BE、CD．
（1）若C是半径OB中点，求∠OCD的正弦值；
（2）若E是弧AB的中点，求证：；
（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．
图9
A
B
C
D
O
E
备用图
A
B
O
备用图
A
B
O
23
黄浦区
25．（本题满分14分）
如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.
（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；
（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.
23
25. 解：（1）过A作AH⊥BC于H，————————————————————（1分）
由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形.
在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=，
所以，——————————————————————（1分）
则.———————————————（2分）
（2）取CD中点T，联结TE，————————————————————（1分）
则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD.
∴∠AET=∠B=70°. ———————————————————————（1分）
又AD=AE=1，
∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°. ——————————————————（1分）
由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，————————————（1分）
所以∠AEC=70°＋35°=105°. ——————————————————（1分）
（3）当∠AEC=90°时，
易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，
则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，
得BH=1，于是BC=2. ——————————————————————（2分）
当∠CAE=90°时，
易知△CDA∽△BCA，又，
则（舍负）—————（2分）
易知∠ACE∠COB，∠COB =∠AOC，∴∠ACO >∠AOC，
∴此种情况不存在． （1分）
（ⅲ）当CO=CA时，
则∠COA =∠CAO=，
∵∠CAO >∠M，∠M=，∴>，∴>，
∴，∵，∴此种情况不存在． （1分）
松江区
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）
如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.
（1）求CE的长；
（2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.
① 如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长；
(备用图)
C
B
A
D
E
(第25题图)
C
B
A
D
E
② 如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长.
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25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）
(第25题图)
C
B
A
D
E
解：（1）∵AE∥CD
∴…………………………………1分
∵BC=DC
∴BE=AE …………………………………1分
设CE=x
则AE=BE=x+2
∵ ∠ACB=90°，
∴
即………………………1分
C
B
A
D
E
P
Q
∴
即…………………………………1分
（2）①
∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P
∴∠ACQ=∠P…………………………………1分
又∵AE∥CD
∴∠ACQ=∠CAE
∴∠CAE=∠P………………………………1分
∴△ACE ∽△PCA，…………………………1分
∴…………………………1分
即
∴ ……………………………1分
②设CP=t，则
∵∠ACB=90°，
∴
∵AE∥CD
23
∴……………………………1分
即
∴……………………………1分
若两圆外切，那么
此时方程无实数解……………………………1分
若两圆内切切，那么
∴
解之得………………………1分
又∵
∴………………………1分
徐汇区
25. 已知四边形是边长为10的菱形，对角线、相交于点，过点作∥交延长线于点，联结交于点.
（1）如图1，当时，求的长；
（2）如图2，以为直径作⊙，⊙经过点交边于点（点、不重合），设的长为，的长为；
① 求关于的函数关系式，并写出定义域；
① 联结，当是以为腰的等腰三角形时，求的长.
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杨浦区
25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
如图9，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E.
（1） 当圆P过点A时，求圆P的半径；
（2） 分别联结EH和EA，当△ABE△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围；
（3） 将劣弧沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值。
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