几何证明专题
宝山区、嘉定区
23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图6，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在边的延长线上，且满足，联结、，与边交于点.
（1）求证；；
图6
（2）如果，求证：.
23.证明：（1）∵四边形是正方形
∴，……1分
∴ ∵
∴ ∴………1分
∵ ∴……1分
∴……………………1分
∴△≌△ ………………………1分
∴ ……………………………1分
（2）∵四边形是正方形 ∴平分和
∴ ，……1分
图6
∵ ∴
∵ ∴………1分
∴ ∴
∵,
∴
∴…………………1分
∴△∽△…………1分
12
∴……1分
∵
∴…………1分
长宁区
23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
第23题图
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E在BC的延长线，联结AE分别交BD、CD于点
G、F，且．
（1）求证：AB//CD；
（2）若，BG=GE，求证：四边形ABCD是菱形．
23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
证明：（1）∵ ∴ （2分）
∵ ∴ （1分）
∴ （2分）
（2）∵，
∴四边形ABCD是平行四边形 ∴BC=AD （1分）
∵ ∴ 即
又 ∵ ∴∽ （1分）
∴
∵ ∴
∵ ∴
∵BG=GE ∴ ∴ （3分）
∴BC=CD （1分）
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴平行四边形ABCD是菱形. （1分）
12
崇明区
23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）
（第23题图）
A
B
K
M
C
D
E
如图，是的中线，点D是线段上一点（不与点重合）．交于点，，联结．
（1）求证：；
（2）求证：．
23．（本题满分12分，每小题6分）
（1）证明：∵
∴ ……………………………………………………1分
∵
∴ ……………………………………………………1分
∴ ……………………………………………………1分
∴ ………………………………………………………1分
∵ 是△的中线
∴ ………………………………………………………1分
∴ ………………………………………………………1分
（2）证明：∵
∴ ………………………………………………………2分
又∵
∴ ………………………………………………………2分
又∵
12
∴四边形是平行四边形 …………………………………………1分
∴ ………………………………………………………1分
A
C
D
E
图7
B
奉贤区
23．（本题满分12分，每小题满分各6分）
已知：如图7，梯形ABCD，DC∥AB，对角线AC平分∠BCD，
点E在边CB的延长线上，EA⊥AC，垂足为点A．
（1）求证：B是EC的中点；
（2）分别延长CD、EA相交于点F，若，
求证：．
黄浦区
23．（本题满分12分）
如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.
（1）求证：BE=BF；
（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.
23. 证：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD=CD，∠A=∠C，——————————————————（2分）
12
又E、F是边的中点，
∴AE=CF，——————————————————————————（1分）
∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2分）
∴BE=BF. ——————————————————————————（1分）
（2）联结AC、BD，AC交BE、BD于点G、O. ——————————（1分）
∵△BEF是等边三角形,
∴EB=EF，
又∵E、F是两边中点，
∴AO=AC=EF=BE.——————————————————————（1分）
又△ABD中，BE、AO均为中线，则G为△ABD的重心，
∴,
∴AG=BG，——————————————————————————（1分）
又∠AGE=∠BGO，
∴△AGE≌△BGO，———— ——————————————————（1分）
∴AE=BO，则AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，—— —————————————————（1分）
所以∠BAD=60°，则∠ADC=120°，
即∠ADC=2∠BAD. ——— ——————————————————（1分）
金山区
23．（本题满分12分，每小题6分）
如图7，已知AD是△ABC的中线， M是AD的中点， 过A点作AE∥BC，CM的延
E
A
F
M
B
D
图7
C
长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形．
12
23．证明：（1）∵AE//BC，∴∠AEM=∠DCM，∠EAM=∠CDM，……………………（1分）
又∵AM=DM，∴△AME≌△DMC，∴AE＝CD，…………………………（1分）
∵BD=CD，∴AE=BD．……………………………………………………（1分）
∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形．……………………………（2分）
（2）∵AE//BC，∴．…………………………………………………（1分）
∵AE=BD=CD，∴，∴AB=3AF．……………………………（1分）
∵AC=3AF，∴AB=AC，…………………………………………………………（1分）
又∵AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°．……………………（1分）
∴四边形AEBD是矩形．……………………………………………………（1分）
静安区
C
第23题图
A
B
D
E
F
23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）
已知：如图，在平行四边形ABCD中， AC、DB交于点E，
点F在BC的延长线上，联结EF、DF，且∠DEF=∠ADC．
（1）求证：；
（2）如果，求证：平行四边形ABCD是矩形．
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
C
A
B
第23题图
D
E
F
证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD//BC ，AB//DC
∴∠BAD+∠ADC=180°，……………………………………（1分）
12
又∵∠BEF+∠DEF =180°, ∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF……（1分）
∵∠DEF=∠ADC∴∠BAD=∠BEF， …………………………（1分）
∵AB//DC， ∴∠EBF=∠ADB …………………………（1分）
∴△ADB∽△EBF ∴ ………………………（2分）
(2) ∵△ADB∽△EBF,∴, ………………………（1分）
在平行四边形ABCD中，BE=ED=
∴
∴, ………………………………………（1分）
又∵
∴,△DBF是等腰三角形 …………………………（1分）
∵∴FE⊥BD, 即∠DEF =90° …………………………（1分）
∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分）
∴平行四边形ABCD是矩形 …………………………（1分）
闵行区
23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）
A
B
E
G
C
F
D
（第23题图）
如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．
（1）求证：；
（2）求证：四边形ADGF是菱形．
23．证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．
∵∠BAC=2∠C，∴∠BAF=∠C=∠EAC．…………………………（1分）
又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．……………………………（1分）
∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，
∴．…………………………………………………（1分）
∴．………………………………………………………（1分）
12
∴．………………………………………………（1分）
（2）∵FG∥AC，∴∠C=∠FGB，∴∠FGB=∠FAB．………………（1分）
∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，
∴．∴AF=FG，BA=BG．…………………………（1分）
∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，
∴．∴∠BAD=∠BGD．……………………………（1分）
∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，
∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．……………………………………（1分）
又∵FG∥AC，∴四边形ADGF是平行四边形．……………………（1分）
∴AF=FG．……………………………………………………………（1分）
∴四边形ADGF是菱形．……………………………………………（1分）
普陀区
23．（本题满分12分）
已知：如图9，梯形中，∥，∥，与对角线交于点，∥，且.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）联结，又知⊥，求证：.
A
B
C
D
E
F
G
图9
23． 证明：
（1）∵ ∥，∥，∴四边形是平行四边形． （2分）
∵∥，∴． （1分）
同理 ． （1分）
12
得＝
∵，∴． （1分）
∴四边形是菱形． （1分）
（2）联结，与交于点．
∵四边形是菱形，∴，⊥． （2分）
得 ．同理．
∴． （1分）
又∵是公共角，∴△∽△． （1分）
∴． （1分）
∴． （1分）
青浦区
23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）
图7
如图7，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC、BD 交于点M，点E在边 BC上，且
，联结AE，AE与BD交于点F．
（1）求证：；
（2）联结DE，如果，
求证：四边形ABED是平行四边形.
23．证明：（1）∵AD//BC，∴， （1分）
∵，∴， （1分）
∴AE//DC， （1分）
∴． （1分）
∵AD//BC，∴， （1分）
∴， （1分）
即．
（2）设，则，． （1分）
12
由，得，
∴， （1分）
∴． （1分）
∵AD//BC，∴， （1分）
∴， （1分）
∴四边形ABED是平行四边形. （1分）
松江区
23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）
如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，
(第23题图)
F
A
C
D
E
B
F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：（1）四边形BCEF是菱形；
（2）.
23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）
证明：
(1) ∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE…………………………………………………1分
∵AE⊥BE
∴∠AEB=90°
∵F是AB的中点
∴………………………………………………1分
∴∠FEB =∠FBE…………………………………………………1分
∴∠FEB =∠CBE…………………………………………………1分
∴EF∥BC…………………………………………………1分
∵AB∥CD
(第23题图)
F
A
C
D
E
B
∴四边形BCEF是平行四边形…………………………1分
12
∵
∴四边形BCEF是菱形……………………………………1分
(2) ∵四边形BCEF是菱形,
∴BC=BF
∵
∴AB=2BC ………………………………………………1分
∵ AB∥CD
∴ ∠DEA=∠EAB
∵ ∠D=∠AEB
∴ △EDA∽△AEB………………………………………2分
∴ …………………………………………1分
∴ BE·AE=AD·AB
∴ …………………………………1分
徐汇区
23. 在梯形中，∥，，，点在对角线上，且.
（1）求证：；
（2）延长交于点，如果，
求证：.
12
杨浦区
23、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，
且∠AGE=∠CGN。
（1） 求证：四边形ENFM为平行四边形。
（2） 当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN.
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