单元检测五 四边形
(时间:90分钟 总分:120分)
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.当多边形的边数增加1时,它的内角和与外角和( )
A.都不变
B.内角和增加180°,外角和不变
C.内角和增加180°,外角和减少180°
D.都增加180°
答案B
2.李明设计了下面四种正多边形的瓷砖图案,用同一种瓷砖可以平面密铺的是( )
A.①②④ B.②③④
C.①③④ D.①②③
答案A
3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为AD边的中点,若菱形ABCD的周长为20,则OH的长为( )
A.2
B.52
C.3
D.72
答案B
4.
如图,矩形ABCD的周长为20 cm,两条对角线相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F,连接CE,则△CDE的周长为( )
A.10 cm B.9 cm C.8 cm D.5 cm
答案A
5.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,AF⊥DE于点O,则AODO等于( )
A.253 B.13 C.23 D.12
答案D
6.如图,P是矩形ABCD的边AD上一个动点,矩形的两条边AB,BC的长分别为3和4,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
8
A.125 B.65 C.245 D.不确定
答案A
7.如图,菱形ABCD由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成,则线段AC的长为( )
A.3 B.6 C.33 D.63
答案D
8.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
答案B
9.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图,点G在线段DK上,正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为( )
A.10 B.12 C.14 D.16
答案D
10.如图,将两张长为5,宽为1的矩形纸条交叉,让两个矩形对角线交点重合,且使重叠部分成为一个菱形.当两张纸条垂直时,菱形周长的最小值是4,把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度,在旋转过程中,得出所有重叠部分为菱形的四边形中,周长的最大值是( )
A.8 B.10 C.10.4 D.12
答案C
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.已知正六边形的边长为1 cm,分别以它的三个不相邻的顶点为圆心,1 cm长为半径画弧(如图),则所得到的三条弧的长度之和为 cm.(结果保留π)
答案2π
12.如图,两个全等菱形的边长为1 m,一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2 015 m停下,则这个微型机器人停在点 .
8
答案G
13.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE= .
答案125
14.如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是 .
答案2-1
15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8 cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1 cm,得到△EFG,FG交AC于点H,则GH的长等于 cm.
答案3
16.如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于12MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线AP,交边CD于点Q.若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为 .
答案15
三、解答题(56分)
17.(6分)已知,如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
(1)求证:△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由.
(1)证明∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC.
∵在△AFD和△CEB中,DF=BE,
∠DFA=∠BEC,AF=CE,
∴△AFD≌△CEB(SAS).
(2)解四边形ABCD是平行四边形,
理由如下:∵△AFD≌△CEB,
∴AD=CB,∠DAF=∠BCE.
8
∴AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
18.(8分)如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证:AB=CF;
(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.
证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DF(平行四边形两组对边分别平行),
∴∠BAE=∠F(两直线平行,内错角相等).
∵E是BC的中点,∴BE=CE.
在△AEB和△FEC中,∠BAE=∠F,∠AEB=∠FEC,BE=CE,
∴△AEB≌△FEC(AAS).
∴AB=CF(全等三角形对应边相等).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD(平行四边形的对边相等).
∵AB=CF,DF=DC+CF,
∴DF=2CF,∴DF=2AB.
∵AD=2AB,∴AD=DF.
∵△AEB≌△FEC,
∴AE=FE(全等三角形对应边相等).
∴ED⊥AF(等腰三角形三线合一).
19.(10分)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.
(1)解∵△ABE是等边三角形,FE⊥AB于点F,
∴∠AEF=30°,AB=AE,∠EFA=90°.
在Rt△AEF和Rt△BAC中,∠AEF=∠BAC,∠EFA=∠ACB,AE=AB,
∴△AEF≌△BAC(AAS).∴AC=EF.
(2)证明∵△ACD是等边三角形,
∴∠DAC=60°,AC=AD.
∴∠DAB=60°+30°=90°.
又EF⊥AB,∴∠EFA=90°=∠DAB.∴AD∥EF.
又AC=EF(已证),AC=AD,
∴AD=EF.
∴四边形ADFE是平行四边形.
20.(10分)如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A'B'CD'(此时,点B'落在对角线AC上,点A'落在CD的延长线上),A'B'交AD于点E,连接AA',CE.
8
求证:(1)△ADA'≌△CDE;
(2)直线CE是线段AA'的垂直平分线.
证明(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADC=90°.
∴∠A'DE=90°.
根据旋转的方法可得,∠EA'D=45°.
∴∠A'ED=45°.
∴A'D=ED.
在△ADA'和△CDE中,AD=CD,∠ADA'=∠CDE,A'D=ED,
∴△ADA'≌△CDE.
(2)∵AC=A'C,
∴点C在AA'的垂直平分线上.
∵AC,A'C是正方形ABCD,正方形A'B'CD'的对角线,∴∠CAE=∠CA'E=45°.
∵AC=A'C,CD=CB',
∴AB'=A'D.
在△AEB'和△A'ED中,∠EAB'=∠EA'D,∠AEB'=∠A'ED,AB'=A'D,
∴△AEB'≌△A'ED,
∴AE=A'E.
∴点E也在AA'的垂直平分线上.
∴直线CE是线段AA'的垂直平分线.
21.(10分)如图,△ADC,△ABE,△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.
(1)当AB≠AC时,证明四边形ADFE为平行四边形;
(2)当AB=AC时,顺次连接A,D,F,E四点所构成的图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应的条件.
(1)证明∵△ABE,△BCF为等边三角形,
∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,
∠ABE=∠CBF=60°.
∴∠FBE=∠CBA.
∴△FBE≌△CBA.
∴EF=AC.
又△ADC为等边三角形,∴CD=AD=AC.
∴EF=AD.同理可得AE=DF.
∴四边形ADFE是平行四边形.
(2)解构成的图形有两类,一类是菱形,一类是线段.
当图形为菱形时,∠BAC≠60°(或A与F不重合、△ABC不为正三角形);
当图形为线段时,∠BAC=60°(或A与F重合、△ABC为正三角形).
8
22.(12分)如图,点A和动点P在直线l上,点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作Rt△ABQ,使∠BAQ=90°,AQ∶AB=3∶4,作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧,PC=4,过点C作直线m⊥l,过点O作OD⊥m于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF=32CD,以DE,DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x.
(1)用关于x的代数式表示BQ,DF;
(2)当点P在点A右侧时,若矩形DEGF的面积等于90,求AP的长;
(3)在点P的整个运动过程中,
①当AP为何值时,矩形DEGF是正方形?
②作直线BG交☉O于另一点N,若BN的弦心距为1,求AP的长(直接写出答案).
解(1)在Rt△ABQ中,∵AQ∶AB=3∶4,AQ=3x,
∴AB=4x,∴BQ=5x.
又OD⊥m,l⊥m,∴OD∥l.
设OD与AB的交点为H,如图①.
∵OB=OQ,∴AH=BH=12AB=2x,
∴CD=2x,∴FD=32CD=3x.
(2)∵AP=AQ=3x,PC=4,
∴CQ=6x+4.
作OM⊥AQ于点M(如图①),∴OM∥AB.
图①
∵☉O是△ABQ的外接圆,∠BAQ=90°,
∴点O是BQ中点,∴QM=AM=32x,
∴OD=MC=92x+4.
∵OE=12BQ=52x,∴ED=2x+4,
∴S矩形DEGF=DF·DE=3x(2x+4)=90,
解得x1=-5(舍去),x2=3,
∴AP=3x=9.
(3)①若矩形DEGF是正方形,则ED=FD.
Ⅰ.点P在点A的右侧时(如图①),
∴2x+4=3x,解得x=4,∴AP=3x=12.
Ⅱ.点P在点A的左侧时,
ⅰ.当点C在点Q右侧,
(ⅰ)0
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