第三章 实数
本章总结提升
问题1 平方根和立方根
平方根与算术平方根有什么关系？平方根与立方根有什么关系？开方运算与乘方运算是什么关系？如何求一个数的平方根和立方根？
例1 (1)求2，，，的平方根和算术平方根；
(2)求，－27的立方根．
例2 已知某正数的两个平方根分别是2a－7和a＋4，b－12的立方根为－2.
(1)求a，b的值；
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(2)求a＋b的平方根．
【归纳总结】 开方运算与乘方运算互为逆运算，注意理解两者之间的互逆关系．
问题2 实数的分类与识别
什么是无理数？什么是实数？你知道有哪三种具有明显特征的无理数类型？
例3 把下列各数填入相应的横线内：
，3.1416，，，π，－0.，－，1.0121121112，，1.212212221…(两个“1”之间依次多一个“2”)．
属于有理数的有：______________________________________________；
属于无理数的有：______________________________________________.
【归纳总结】 三种具有明显特征的无理数类型：
一是开方开不尽的数；二是化简后含π的数；三是有特殊结构的数[如－0.5252252225…(两个“5”之间依次多图、一个“2”)]．
问题3 实数的运算
实数的运算顺序是什么？它和有理数的运算顺序有什么异同？实数运算的结果有什么特点？
例4 计算：(1)|－3|－＋×＋(－2)2；
(2)＋－×[(－)2＋()3]．
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【归纳总结】 关于实数的运算，要把握以下两点：
(1)有理数的运算法则和性质在实数中仍然适用．(2)无理数的运算有两种形式，一种是保留无理数形式，即保留准确值；另一种是取近似值，把无理数运算转化为有理数运算，用哪种形式要依据题目的要求而定．
问题4 数形结合思想在实数中的运用
当借助数轴解决数学问题时，可以运用数形结合思想解决问题，应该如何利用数轴进行实数的化简呢？
例5 实数a，b在数轴上的对应点A，B的位置如图3－T－1所示，化简：a＋b－－.
图3－T－1
【归纳总结】 通过数轴比较出各数的大小，然后利用绝对值、平方根、立方根的性质去绝对值符号和根号．
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详解详析
【整合提升】
例1 解：(1)∵2＝，＝，
∴2的平方根是±，算术平方根是.
∵＝，＝，
∴的平方根是±，算术平方根是.
∵＝4，(±2)2＝4，
∴的平方根是±2，算术平方根是2.
∵＝＝3，(±)2＝3，
∴的平方根是±，算术平方根是.
(2)∵＝8，23＝8，
∴的立方根是2.
∵(－3)3＝－27，
∴－27的立方根是－3.
[点评] (1)求平方根的方法是逆向思维的方法，即根据平方根的概念，利用平方运算求出“平方后得到已知数的是哪个数”，也就是利用“开平方”与“平方”互为逆运算这个关系；(2)求带分数的平方根时，要先把带分数化为假分数；(3)对于含有乘方运算和根号(开方运算)的数，求其平方根时，宜先做完运算再求所得数的平方根，以防发生错误，如求2的平方根，不可把题中的“平方”与“开平方”相抵消，求的平方根则要防止变成求16的平方根，而求的平方根，要防止错答为“3”或“±3”；(4)求的立方根要防止错答为“－2”；(5)防止认为－27的立方根不存在的错误．
例2 解：(1)由题意得2a－7＋a＋4＝0，解得a＝1；b－12＝－8，解得b＝4.
(2)因为a＋b＝5，所以a＋b的平方根为±.
例3 解：属于有理数的有：3.1416，，，－0.，1.0121121112，；
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属于无理数的有：，π，－，1.212212221…(两个“1”之间依次多一个“2”)．
例4 解：(1)原式＝3－4＋×(－2)＋4＝3－4－1＋4＝2.
(2)原式＝5－2－×(3－3)＝3.
例5 解：由图可知，b
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