课标通用甘肃省2019年中考数学总复习优化设计单元检测五四边形.docx

单元检测(五)　四边形 ‎(考试用时:90分钟　满分:120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.‎ 如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有(　　)‎ A.AC⊥BD B.AB=BC C.AC=BD D.∠1=∠2‎ 答案C 解析A.正确.对角线相等是平行四边形的菱形.B.正确.邻边相等的平行四边形是菱形.C.错误.对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形.D.正确.可以证明平行四边形ABCD的邻边相等,即可判定是菱形.‎ ‎2.‎ 如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则△ABC的周长是(　　)‎ A.14 B.16 C.18 D.20‎ 答案C 解析∵在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,‎ ‎∴AB=BC,∠AOB=90°,AO=4,BO=3,‎ ‎∴BC=AB=‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=5,‎ ‎∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18.‎ ‎3.‎ 如图,在矩形OACB中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图像经过点C,则k的取值为(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎ B.‎‎1‎‎2‎ C.-2 D.2‎ 答案A 解析∵A(-2,0),B(0,1),∴OA=2,OB=1,‎ ‎∵四边形OACB是矩形,‎ 12‎ ‎∴BC=OA=2,AC=OB=1,‎ ‎∵点C在第二象限,∴C点坐标为(-2,1),‎ ‎∵正比例函数y=kx的图像经过点C,‎ ‎∴-2k=1,∴k=-‎1‎‎2‎.‎ ‎4.如图,矩形纸片ABCD中,AD=4 cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,AE交DC于点O,若AO=5 cm,则AB的长为(　　)‎ A.6 cm B.7 cm C. 8cm D. 9cm 答案C 解析根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,‎ ‎∴∠BAC=∠ACD,∴∠EAC=∠ACD,‎ ‎∴AO=CO=5cm,‎ 在直角三角形ADO中,DO=AO‎2‎-AD‎2‎=3cm,AB=CD=DO+CO=3+5=8cm.‎ ‎5.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8,AB=5,则AE的长为(　　)‎ A.5 B.6 C.8 D.12‎ 答案B 解析连接EF,AE与BF交于点O,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AF,‎ ‎∴四边形ABEF是菱形,‎ ‎∴AE⊥BF,OB=‎1‎‎2‎BF=4,OA=‎1‎‎2‎AE.‎ ‎∵AB=5,在Rt△AOB中,AO=‎25-16‎=3,‎ ‎∴AE=2AO=6.‎ 12‎ ‎6.(2018山东临沂)如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法:①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案A 解析因为一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线AC⊥BD时,中点四边形是矩形,当对角线AC=BD,且AC⊥BD时,中点四边形是正方形,故④选项正确.‎ ‎7.‎ ‎(2018浙江宁波)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为(　　)‎ A.50° B.40° C.30° D.20°‎ 答案B 解析∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,‎ ‎∴∠BCA=180°-60°-80°=40°,‎ ‎∵对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,∴EO是△DBC的中位线,∴EO∥BC,‎ ‎∴∠1=∠ACB=40°.‎ ‎8.(2018山东威海)矩形ABCD与CEFG,如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=(　　)‎ A.1 B.‎2‎‎3‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎5‎‎2‎ 答案C 解析如图,延长GH交AD于点P,‎ 12‎ ‎∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,‎ ‎∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°,AD=BC=2,GF=CE=1,‎ ‎∴AD∥GF,∴∠GFH=∠PAH,‎ 又∵H是AF的中点,∴AH=FH,‎ 在△APH和△FGH中,‎ ‎∵‎‎∠PAH=∠GFH,‎AH=FH,‎‎∠AHP=∠FHG,‎ ‎∴△APH≌△FGH(ASA),‎ ‎∴AP=GF=1,GH=PH=‎1‎‎2‎PG,‎ ‎∴PD=AD-AP=1,‎ ‎∵CG=2、CD=1,∴DG=1,‎ 则GH=‎1‎‎2‎PG=‎1‎‎2‎‎×PD‎2‎+DG‎2‎=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎9.(2018江苏宿迁)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则△OCE的面积是(　　)‎ A.‎3‎ B.2 C.2‎3‎ D.4‎ 答案A 解析∵菱形ABCD的周长为16,‎ ‎∴菱形ABCD的边长为4,‎ ‎∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,‎ 又∵O是菱形对角线AC、BD的交点,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ 在Rt△AOD中,∴AO=AD‎2‎-OD‎2‎‎=‎‎16-4‎=2‎3‎,∴AC=2AO=4‎3‎,‎ ‎∴S△ACD=‎1‎‎2‎·OD·AC=‎1‎‎2‎×2×4‎3‎=4‎3‎,‎ 又∵O、E分别是中点,∴OE∥AD,‎ ‎∴△COE∽△CAD,∴OEAD‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴S‎△COES‎△CAD‎=‎‎1‎‎4‎,‎ 12‎ ‎∴S△COE=‎1‎‎4‎S△CAD=‎1‎‎4‎×4‎3‎‎=‎‎3‎.‎ ‎10.(2018山东潍坊)如图,菱形ABCD的边长是4 cm,∠B=60°,动点P以1 cm/s的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止,动点O以2 cm/s的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止.若点P,Q同时出发运动了t秒,记△BPQ的面积为S cm2,下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是(　　)‎ 答案D 解析当0≤t0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是　　　　　. ‎ 12‎ 答案-2‎ 解析∵四边形ABOC是正方形,‎ ‎∴点B的坐标为-b‎2a,-b‎2a.‎ ‎∵抛物线y=ax2过点B,‎ ‎∴-b‎2a=a-b‎2a2,‎ 解得b1=0(舍去),b2=-2.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共58分)‎ ‎19.(6分)(2018湖南湘潭)如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O.‎ ‎(1)求证:△DAF≌△ABE;‎ ‎(2)求∠AOD的度数.‎ ‎(1)证明∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠DAB=∠ABC=90°,AD=AB,‎ 在△DAF和△ABE中,‎ AD=AB,‎‎∠DAF=∠ABE=90°,‎AF=BE,‎ ‎∴△DAF≌△ABE(SAS).‎ ‎(2)解由(1)知,△DAF≌△ABE,‎ ‎∴∠ADF=∠BAE,‎ ‎∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°,‎ ‎∴∠AOD=180°-(∠ADF+∠DAO)=90°.‎ ‎20.(10分)(2018湖南娄底)如图,已知四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过O点作EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F.‎ 12‎ ‎(1)求证:△AOE≌△COF;‎ ‎(2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.‎ ‎(1)证明∵OA=OC,OB=OD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,‎ 在△AOE和△COF中,‎‎∠EAO=∠FCO,‎OA=OC,‎‎∠AOE=∠COF,‎ ‎∴△AOE≌△COF(ASA).‎ ‎(2)解结论:四边形BEDF是菱形,‎ ‎∵△AOE≌△COF,∴AE=CF,‎ ‎∵AD=BC,∴DE=BF,∵DE∥BF,‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形,‎ ‎∵OB=OD,EF⊥BD,∴EB=ED,‎ ‎∴四边形BEDF是菱形.‎ ‎21.(10分)(2018贵州安顺)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.‎ ‎(1)求证:AF=DC;‎ ‎(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.‎ ‎(1)证明∵AF∥BC,‎ ‎∴∠AFE=∠DBE,‎ ‎∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,‎ ‎∴AE=DE,BD=CD,‎ 在△AFE和△DBE中 ‎∠AFE=∠DBE,‎‎∠FEA=∠BED,‎AE=DE,‎ ‎∴△AFE≌△DBE(AAS),‎ ‎∴AF=BD,∴AF=DC.‎ ‎(2)解四边形ADCF是菱形,‎ 证明:AF∥BC,AF=DC,‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形,‎ ‎∵AC⊥AB,AD是斜边BC的中线,‎ ‎∴AD=‎1‎‎2‎BC=DC,‎ ‎∴平行四边形ADCF是菱形.‎ 12‎ ‎22.(10分)(2018江苏连云港)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.‎ ‎(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;‎ ‎(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.‎ ‎(1)证明∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,‎ ‎∵E是AD的中点,∴AE=DE,‎ 又∵∠FEA=∠CED,‎ ‎∴△FAE≌△CDE(ASA),‎ ‎∴CD=FA,‎ 又∵CD∥AF,‎ ‎∴四边形ACDF是平行四边形;‎ ‎(2)解BC=2CD.‎ 证明:∵CF平分∠BCD,‎ ‎∴∠DCE=45°,‎ ‎∵∠CDE=90°,‎ ‎∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,‎ ‎∵E是AD的中点,∴AD=2CD,‎ ‎∵AD=BC,‎ ‎∴BC=2CD.‎ ‎23.(10分)(2018山东潍坊)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.‎ ‎(1)求证:AE=BF;‎ ‎(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.‎ ‎(1)证明∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴BA=AD,∠BAD=90°,‎ ‎∵DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,‎ ‎∴∠AFB=90°,∠DEA=90°,‎ ‎∵∠ABF+∠BAF=90°,∠EAD+∠BAF=90°,∴∠ABF=∠EAD,‎ 在△ABF和△DAE中‎∠BFA=∠DEA,‎‎∠ABF=∠EAD,‎AB=DA,‎ 12‎ ‎∴△ABF≌△DAE(AAS),‎ ‎∴BF=AE;‎ ‎(2)解设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,‎ ‎∵四边形ABED的面积为24,‎ ‎∴‎1‎‎2‎·x·x+‎1‎‎2‎·x·2=24,解得x1=6,x2=-8(舍去),‎ ‎∴EF=x-2=4,在Rt△BEF中,BE=‎4‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=2‎13‎,‎ ‎∴sin∠EBF=EFBE‎=‎4‎‎2‎‎13‎=‎‎2‎‎13‎‎13‎.‎ ‎24.(12分)(2018四川自贡)如图,抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点.‎ ‎(1)求直线AD及抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?‎ ‎(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.‎ 解(1)把(1,0),(-3,0)代入函数解析式,得a+b-3=0‎‎9a-3b-3=0‎,解得a=1‎b=2‎,‎ 抛物线的解析式为y=x2+2x-3;‎ 当x=-2时,y=(-2)2+2×(-2)-3,解得y=-3,即D(-2,-3).‎ 设直线AD的解析式为y=kx+b,将A(1,0),D(-2,-3)代入,得 k+b=0‎‎-2k+b=-3‎‎,解得k=1‎b=-1‎,直线AD的解析式为y=x-1;‎ ‎(2)设P点坐标为(m,m-1),Q(m,m2+2m-3),l=(m-1)-(m2+2m-3)‎ 化简,得l=-m2-m+2‎ 配方,得l=-m+‎1‎‎2‎2+‎9‎‎4‎,当m=-‎1‎‎2‎时,l最大=‎9‎‎4‎;‎ ‎(3)DR∥PQ且DR=PQ时,PQDR是平行四边形,‎ 由(2)得0